三直線斜率之商為定值的本質與推廣*

廣東省東莞市第四高級中學(523220) 謝忠忠

一、試題呈現

題目(2024 屆廣東省四高三第一次聯考)已知過原點O的直線交橢圓E:于A,B兩點,R(2,0),?ABR面積的最大值為

(1)求橢圓E的方程;

(2)連AR交橢圓于另一個交點C,又分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,求的值.

答案: (1)E:

二、推廣探究

結論1已知過原點O的直線交橢圓1(a > b >0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交橢圓于另一個交點C,取點分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

證明設A(x1,y1),C(x2,y2),AC的方程為x=ty+n,將其與橢圓方程聯立得到

將結論1 中的橢圓換成雙曲線與拋物線,可以得到相應的結論2 和3.

結論2已知過原點O的直線交雙曲線E:1(a >0,b >0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交雙曲線于另一個交點C, 取點分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結論3已知過原點O的直線交拋物線E:y2=2px(p>0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交拋物線于另一個交點C,取點P(-n,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結論2 和3 的證明與結論1 類似,不再贅述.

進一步,可否將過原點的直線推廣為過任意一點的直線呢? 通過GeoGebra 驗證發現結論也成立,故將其進行推廣得到:

結論4已知過點Q(p,q)的直線交橢圓E:1(a > b >0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交橢圓于另一個交點C,取點分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結論5已知過點Q(p,q) 的直線交雙曲線E:于A,B兩點,R(n,0), 連AR交雙曲線于另一個交點C,取點,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結論6已知過點Q(p,q) 的直線交拋物線E:y2=2px(p>0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交拋物線于另一個交點C,取點P(-n,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結論4,5 和6 的證明與結論1 類似,不再贅述.