金融與混沌

一、 引言

混沌（Chaos）科學是20世紀人類三大科學成就之一。混沌一詞是1975年作為數學名詞首次在科學文獻上出現的，它是確定性系統變化極端復雜和行為不可預測的同義語。20多年來，它以科學史上空前的速度發展成為具有豐富的非線性物理背景和深刻數學內涵的現代學科。作為兩棲于物質科學與數學科學的邊緣學科，混沌理論的影響早已超出數理學科，旁及到化學、生物及社會科學并進入金融領域。混沌運動只發生在非線性系統中。金融市場的行為是不完全隨機性的，市場內各部分之間并不是相互獨立的，也不是具有可疊加性的線性系統，價格的變化并非是不相關的，所以線性的交易系統無法描述自然界中的市場，投資者不能將過去的信息用線性的模式套用為現在的行動，而非線性的模式恰好提供了各部分之間的相互作用，表示多種因素之間會發生耦合及相互影響，并具有復雜性及多樣化的特征，它還提供了豐富的可能性及假設，所以很接近于現實的市場中生產者及消費者的行為。因此，混沌理論讓我們用新的角度觀察市場，使我們進一步看清市場行為的基本框架及實質，深入廣泛地研究自然現象及金融市場更為廣大的未知領域。

二、 混沌理論——一種新的思維

非線性系統雖然和線性系統一樣是確定性的，但是后者具有解析解，而非線性系統的運動不可能用解析的方法求解。目前只能在給定參量和初值后，依照一定的確定性關系用計算機按迭代法對其演變進行數值計算。混沌理論絕不僅僅代表新的交易技術，它是一種嶄新的世界觀。事實上，在20世紀70年代中期以前，我們缺乏大型電腦與其他相關設備，所以無法在數學與函數的基礎上來處理這種世界觀，混沌理論是第一個以嚴謹的數學方法，處理復雜形式(生命與非生命的形式)與混亂流動的模型。雖然非線性技術應用于市場分析，對數學能力有一定的要求，但很有前景。在金融市場中，政府的一項意外聲明、氣候的突然變化、作物報告的公布、某主要國家的一項政治或經濟行動，都可能強化或減弱市場中的既有趨勢。市場對于外來沖擊的回應顯然是一種混沌的現象，趨勢的新方向并不是牛頓理論中的線性工具可有效預測的。這種現象似乎創造一個全然混沌的世界。然而，實際的結果完全不是設想的那樣悲觀景象，眾人擔憂的無秩序并未出現。最初呈現瘋狂波動的市場的價格走勢，最終仍將回復至某種形式——這是所謂的“奇異吸引因子”。

混沌運動的一個普遍的重要特征是對初值極端敏感性，對兩次只是初值略微不同的混沌運動，它們的差異隨時間增加變得越來越大。當初值有微小差異，則其后各時刻兩運動的差異將隨時間按指數規律增大，這是一種爆炸式的擴張，初差之絲毫而后偏差萬里。在混沌運動中，可用Lyapunov exponent來判斷混沌的出現，不同初值的混沌運動之間的差異的迅速擴大給混沌運動帶來嚴重的后果。由于從原則上講，初值不可能完全準確地給定，因而在任何實際給定的初值條件下，我們對混沌運動的演變的預測可能性就將按指數規律減小到零。這就是說，我們對稍長時間之后的混沌運動不可能作出預測！確定性和可預測性之間的聯系被切斷了，混沌運動雖然仍是確定性的，但它同時又是不可預測的。混沌就是確定性的混亂!

對于傳統著重處理的有解析解的線性系統，不同初值的諸運動之間的差異只是隨時間線性地擴大。這種較慢的離異使得實際上運動對初值不再特別敏感；因而實際上可以預測，但是即使這樣，如果要預測非常遠的將來的運動狀態，那也是不可能的!對決定性系統的這種認識是對傳統習慣的一次巨大沖擊，它表明在自然界中確定和混亂(或隨機)并存而且緊密聯系。牛頓力學長期以來只是對理想世界作了理想的描述，向人們灌輸了確定性的可預測性是普遍規律的思想。混沌現象的發現和研究，使人們認識到這樣的“理想世界”只對應于自然界中實際的線性系統的很小一部分，即那些“典型的”例子。對整個自然界來說，它并不具有典型性，線性的金融市場只是非線性市場的一種特例。由線性理論得出的結論并不適用于更大范圍的非線性系統。對這更大范圍的非線性系統，必須用新的思想加以重新認識和研究。確定性的不可預測性這種思想早在19世紀末就由法國的偉大數學家龐加萊在研究三體問題時提出來了。對于三個星體在相互引力作用下的運動，他列了一組非線性常微分方程，他的研究結果是：三體問題是不可積的，這組方程沒有解析解。此系統的軌道非常雜亂，以至于他“甚至連想也不想要把它們畫出來”。于是他設計了一些新的幾何方法來說明這種復雜的運動。但他的這種思想中的某些部分由于其數學上的奇特和艱難，長期以來，未引起人們足夠的關注。

混沌概念的復蘇和興旺是在美國氣象學家洛倫茲1961年發現了氣候演變的混沌現象之后。為了研究大氣對流對天氣的影響，洛倫茲對實際情況進行簡化，拋掉許多次要因素，建立了一組(3個)非線性方程。解他的方程只能用數值解法——給定初值，然后一次一次地迭代。他當時只有一臺真空管計算機，速度大約是每秒一次迭代。1961年冬的一天，他在某一初值的設定下已算出一系列氣候演變的數據。當他再次開機想考察這一系列的更長期演變時，為了省事，不再從頭算起，他把該系列中的一個中間數據當作初值輸人，然后按同樣程序進行計算。他本希望得到和上次已得系列的后半段相同的結果，但是出乎意料，經過短時間的重復后，新的計算很快就偏離了原來的系列。他很快意識到這并非計算機出了故障，問題出在他這次輸入的初值數據上。計算機儲存的是6位小數0．506 127，但他打印出的只3位小數0．506，他這次輸入的就是這幾位數字。原本以為這千分之幾的差異無關緊要，但是就是這初值的微小差異導致了結果序列的逐漸分離。憑數學的直觀，他感到這里出現了違背經典概念的新現象，其實際的重要性可能是驚人的。他得出的結論是：長期的天氣預報是不可能的。他把這種天氣對于初值的極端敏感反應用一個很風趣的詞“蝴蝶效應”來表述。引用暢銷名著《混沌——開創一門新科學》的作者格萊克的說法，蝴蝶效應是指“今天在北京一只蝴蝶扇動一下翅膀，可能下月在紐約引起一場暴風雨。”可見非線性科學給我們帶來新的思維方式，它對自然科學及社會科學及至金融領域都 會產生深遠的影響。

對判斷金融市場一個時間序列是混沌的還是隨機的，同樣可以通過計算該序列的最大Lyapunov- exponent，如果Lyapunov exponent是正值，則可判定時間序列是混沌的，反之則是隨機的。例如:對于股票價格它是時間的函數，實際上我們能觀察到的是一個可用x(t)表示的時間序列，對于給定時間間隔，在某段時間內，可得到一有限數量的數據集合，選擇一合理嵌入維數m，就可構造一個以該數據集合中數據為分量的m維空間。其中的點可用另一序列表示，假設數據從t0開始，可得到起始點P0，然后在歐氏距離意義下找出空間中與起始點最近的點P0′，兩點的距離為L(t0)。再稍后的時刻t1，此時P0演變為P1，P0′演變為P0″，計算出P1與新點的距離，記為L‘(t1)，接著尋找一替換點P1′，使其滿足P1P0″與夾角P1P1′及 距離都充分小。如果空間中存在滿足以上條件的替換點，計算出P1與該替換點的距離，往后重復以上演變過程，直至走完軌跡的所有點集，到達最后一個時間點。我們用下式可計算出Lyapunov exponent (計算機疊代) ：

l1即為最大 Lyapunov exponent，M為總的替換次數。

該算法有一個不足之處，根據這個算法，時間序列應該是一個無窮序列，而在實際應用中所遇到的股票價格數據一般都是有限的，這樣如果中間某步尋找替換點的時候，達到了最后的點，則演化就無法進行下去，因此需對原方法進行改進，如果出現這種情況則重新尋找替換點。此時放寬對角度的限制，尋找一個次優的替換點，這樣一直可以繼續到最后。在n趨于無窮的時，計算的結果與前面所講述的結果是一致的。當我們把股票價格作為研究對象時，運用以上的算法對一個時間序列進行計算，可得到不同的嵌入維度m所算得的Lyapunov exponent，我們根據相應的計算方法，可得出相應的嵌入維度圖同嵌入維度之間的關系，并可以分析出，股票價格的時間序列存在著混沌吸引因子，隨著m的增加，Lyapunov exponent趨于穩定。根據混沌理論的相空間重構可以確定起嵌入維度，根據最佳相關維數我們可以確定影響某公司在一段時間的普通股收盤價的因素，根據Lyapunov exponent與可預報時間尺度的關系，還能決定對股票價格進行準確的預報的時間長度（大約天數），在此時間之外的中期或長期預測是無多大意義的。

同樣根據上述理論我們也可以對其他經濟現象進行混沌的存在性進行檢測或者驗證。例如：上證指數是描述股市變化總體特征，是一個晴雨表，對關聯限維度及最大的Lyapunov exponent計算，可判斷上證指數的時間序列如同股票價格的波動、期貨價格的波動、匯率的波動一樣存在混沌現象。當我們得出影響這—經濟序列的最優嵌入維度，這一維度就是實踐中影響這一經濟現象的各個因素。例如：得出匯率波動影響的維度為4，那么影響這一波動的因素大致可能是國際收支、國家銀外匯儲備、利率、通貨膨脹等。通過對這些因素的分析我們可以抓住影響匯率波動的主要因素，以便我們對市場進行有效的分析。通過對Lyapunov exponent的計算表明，當傳統方法對經濟時間序列的分析所遇到的困難時，有必要考慮其中的非線性機制。

四、金融市場的動蕩與分形

混沌理論表明：在任何混亂、生命系統與無秩序的現象中，都可以發現分形幾何學的蹤影。分形幾何是混沌理論的一種工具，分形分析為氣象學、地質學、醫學、期貨交易等，各個研究領域帶來了革命性的發展，并能提供分析市場的技巧。它以一種截然不同的新的觀念及截然不同的方法處理市場信息，這項新的觀念將深切影響我們的未來。分形分析是一種強而有力的新范式，配合著量子力學與相對論，它們使伽利略以來的科學世界趨于完備。一個非線性系統，并非在任何條件下都做混沌運動。只有當某個參量到達某閾值時，系統才進入混沌狀態。在此之前，系統的運動可能出現周期岔，而且相繼分岔時的值的間隔越來越小。1978年費根鮑姆發現，相繼出現分岔的值的間隔之比趨于一常數，即所謂費根鮑姆常數，它顯示了倍周期分岔系列的一種通性。

分形幾何可以衡量變動，樹木的每一次分叉，河流的每一次彎曲，市場的每一次轉折點，都是決策點，分形實際上是代表分形的維度。假定你從遠處觀察一個幾十厘米大的線團，它看起來就像一個點，而點的維度為零。逐漸走近線團時，你發現它是一個線團，并且具有三個維度。當你非常接近它時，你發現它由單一維度的線所構成。如果你以高倍率放大鏡觀察它，你發現線也具有三個維度。所以，這完全取決于觀察的角度，線團可以是零維度，其次是三維度，再次是一維度，最后又是三維度。

市場中的情況也是如此，你的角度或你當時采用的范式，將決定你會看見什么。事實上，你當時的角度便是你的范式。如果你是由線性的角度觀察，你將無法看見“真實的”市場，并在交易中處于不利的地位。當原因與結果之間的關系并不確定時，便產生非線性的現象。在牛頓的世界里，原因與結果之間存在必然的關系，在歐幾里得幾何學中，所有的形狀都具有平滑而規則的性質。然而，這兩種方法都無法解釋市場的行為。非線性有非線性的性質，相同大小的原因可能導致不同的結果。例如，利率上漲10個基點(原因)對于特定市場造成的影響(結果)并不一定。

分形也可以衡量不規則性。金融市場愈不規則而動蕩愈劇烈時，分形數便愈大。在市場行情的反轉點，分形數也將到達相對最大值。所以，趨勢反轉時，當時的分形數將大于附近的分形數。因為市場是由人類，價格與時間等活動構成的一種非線性的混亂系統， 而市場行為僅是個別交易者分形行為的綜合體，而此綜合體也非常類似于個別的行為，所以金融市場是觀察分形結構的好場所。自然界中，時間與混亂程度產生復雜結構，沒有隨機性，如果我們可以找到市場的分形結構，就可以了解市場的行為，可以察覺到其中的秩序與可預測性。

混沌理論不是根據過去的行為建立模型，并將它套用于未來，該理論以一個嶄新而刺激的思維模式去觀察市場。目前用混沌理論研究金融市場已經成為了金融領域的前沿科學，它給我們帶來新的思維及新的市場預測方式，前景光明。