淺析教育技術與數學模型方法

【摘要】本文主要從教育技術學的理論、方法、實踐等方面分析、論述了教育技術與數學模型方法之間的密切聯系，指出對于教育技術學科建設和發展而言，數學模型方法正發揮著越來越重要的作用，闡述了數學模型方法對教育技術的學科研究和發展的重要作用和意義。

【關鍵詞】教育技術，系統方法，數學模型方法，學科發展

【中圖分類號】G423.04 【文獻標識碼】B【論文編號】1009—8097（2006）01—0008—05

近幾十年來，隨著科學技術的迅猛發展，人類的知識總量在不斷增長、知識更新的速度也日益加快，不斷涌現的新技術、新學科都與數學密切相關。特別是由于計算機技術的發展，使數學的應用范圍更廣泛，幾乎沒有哪個行業不用到數學，特別是一些重大的突破性創造常常要借助于數學。數學與其它科學與技術的關系更加密切，不僅物理、化學、生物、天文、地理、工程技術靠數學支撐，而且許多人文科學、社會科學也大量運用數學，這恰好印證了馬克思的判斷：一門科學只有成功地運用數學時，才算達到了完善的地步^[1]。

在科學技術的發展中，數學最早成為一門橫斷學科，數學方法得到普遍的應用，其中數學模型方法更加受到人們的重視。它不僅是數學理論研究的一種經典方法，而且也是研究自然界和社會實際問題的一般方法。可以預言，隨著科學數學化地發展和電子計算機廣泛應用，數學模型方法將會進入科學技術研究的一切領域^[2]。對于教育技術學科建設和發展而言，數學模型方法正發揮著越來越重要的作用，從教育技術學科的理論基礎到其實踐領域，從其自身的學科性質到由其所拓展的研究方向，無不體現數學模型方法的重要意義。

一、數學模型方法及其優越性

科學數學化就是把實踐中提出的問題，利用數學理論和計算方法，給出正確的數學描述。運用數學方法解決自然科學、工程技術、經濟科學、軍事科學和管理科學中的實際問題，多數人認為其工作程序是：實際問題一數學化—數學模型—檢驗—應用。可見數學模型是用數學方法解決實際問題的重要環節，從實際問題中提煉、建立數學模型就要用到數學模型方法^[2]。

數學模型方法(mathematical modelling method)簡稱MM方法。它是根據研究的目的將研究的某種事物系統，采用數學形式化語言把該系統的特征和數量關系，抽象出一種數學結構的方法，這種數學結構就叫數學模型。也就是把所考察的實際問題，化為數學問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究，使實際問題得以解決的一種數學方法。其一般模式見圖一^[3]。

所謂數學模型，就是根據研究的目的，將所研究的客觀事物的過程和現象的主要特征、主要關系，采用形式化的數學語言概括地或近似地表達出來。具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、框圖、程序等，用以描述客觀事物的特征及其關系。通常意義下，數學模型常常是指那些直接描述現實原型的數學關系結構。例如，反映某個物體外形的幾何圖形；反映某個交通運輸問題的線路；反映某種變化的數學圖表或函數式等。廣義地說，數學中的各種基本概念，如各種數、向量、集合、群、環、域、線性空間、函數空間等，它們都是以各自相應的現實原型為背景而加以抽象出來的最基本概念，都可以叫做數學模型。一個實際系統的數學模型，就是對其中某些特征的變化規律作出最精煉的概括^[4]。

數學建模則是指對現實世界的某一特定對象，為了某一特定目的，做出一些重要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構即數學模型，用它來解釋特定現象的現實性態，預測對象的未來狀況，提供處理對象的優化決策和控制，設計滿足某種需要的產品等。數學建模是解決各種實際問題的一種數學的思考方法，它從量和型的側面去考察實際問題，盡可能通過抽象、簡化，確定出主要的參量、參數，應用與各學科有關的定律、原理建立起它們之間的某種關系，這樣一個明確的數學問題就是某種簡化層次上的一個數學模型。

數學所描述的是事物之間最本質的聯系。人們在研究中

總是設法建立起有關系統的數學模型，由此來認識并分析系統內各主要因素的運動規律及其之間的主要聯系，從而找到解決問題的關鍵。采用模型化的方法來分析和解決問題具有顯著的優越性：（1）它能夠突出事物和過程的主要特征，使問題得到最簡單的表述，便于發現問題的本質。（2）它是一種理論性的實驗方法，可以通過修改模型參數來改變實驗條件，不僅操作方便而且相當經濟。對于危險復雜以及人工無法實現條件下的工作來講，它更具有不可替代的作用。（3）它具有高度的抽象性與普適性。一個成功的模型不僅僅適用于單一的專業領域，采用類比的方式可以將其有效地應用到其它學科領域。（4）它是一種科學的思維方式，為科技工作者的形象思維提供了理想的“場所”，使人們對事物的分析和推理更有條理，更具有邏輯性^[2]。

二、教育技術與數學模型方法的本質聯系

(一) 教育技術學科性質與數學模型方法

教育技術學是教育科學領域中技術學層次的方法論性質的學科。

首先，所謂教育的技術學層次的研究在于討論如何分析、解決具體的教育、教學問題，研究“做什么”、“如何做”的問題，即主要是研究和開發達到一定教育目標的各種方法、手段，并努力去實踐這些方法和手段。而數學模型方法則是闡述客觀現象和解決實際問題的重要工具，例如著名的哥尼斯堡七橋問題，就是瑞士數學家歐拉通過建立數學模型才得以解決的。再如，在教育信息處理中，應用解釋結構模型法(Interpretative Structural Modeling Method，簡稱ISM法)來確定系統要素的關系，從而優化系統結構。

其次，教育技術學的方法論性質則體現在教育技術學的核心思想是“系統方法”，正如美國AECT的定義中指出：“它是按照具體的目標，根據對人類學習和傳播的研究，以及利用人力與物力資源的結合以促進更有效的教學的一種設計、實施和評價學與教的全過程的系統方法。” 教育技術強調應用系統方法來分析和解決人類學習過程的問題，其宗旨是促進學習，提高學習質量和效率，即創設最優化的學習條件。教育技術的實質是一種分析和解決問題的系統方法^[5]。

所謂系統方法，是把研究對象看成一個整體，看到系統與要素、要素與要素、系統與環境之間的相互聯系和相互作用，并從整體的角度注意協調處理各要素之間的相互關系，以達到最優化效益的一種方法。而系統方法與數學模型方法又存在著怎樣的關系呢？貝塔朗菲指出，一般系統論是邏輯和數學的領域，它可以成為非物理科學向精密科學前進的重要手段；它可以通過發展橫貫于各門科學的系統原理使科學走向統一。它的這些作用是基于不同科學之間存在相同或相似的系統定律——異質同型性這一事實的。而數學和計算機技術的發展往往為這些作用的實現提供模型和工具。以電子計算機為主要手段，現代數學的許多分支，如泛函分析、突變論、模糊數學、數理統計、運籌學(規劃論、排隊論、對策論、決策論)等對系統理論的發展和應用提供了新的模型和工具，系統分析方法的關鍵恰恰在于建立成功的數學模型。例如， 運籌學用數學來表達和研究有關運用、籌劃和管理等問題，以達到“綜合優化”的目標。又如，“突變論”彌補了微積分只能描述“平滑”變化的缺陷，分別給出系統處于穩態和不穩態的參數區域，從而建立描述突變現象(如火山爆發、細胞分裂、粒子能級躍遷乃至社會變遷)的數學模型等等^[6]。由此可見，從學科性質上看，教育技術學與數學模型方法關系密切。

（二）教育技術學科理論基礎與數學模型方法

1、教育技術學科理論基礎與數學模型方法的關系

教育技術學的理論基礎有兩個方面：其一是過程理論，即傳播理論和系統科學理論；其二是教育心理學的學習理論，即行為主義學習理論、認知主義學習理論和建構主義學習理論等。

其中的系統科學作為一門新興科學技術，特別是一般科學方法論的系統論對教育技術的發展有著深刻的影響，對于教育技術學的形成提供了重要的理論依據。系統觀、系統論和系統方法的引入，促使教學系統開發的系統方法更加完善，從而在理論上形成教育技術學鑒定和解決教育、教學問題的基本思想和方法論。所以從這個意義上來說，系統技術是教育技術發展的新階段，它把教育技術從對教育系統中的個別要素（教育媒體）的研究擴大到整個系統進行設計、實施、評價的研究，把教育技術發展成為研究實現教育最優化理論和技術的一門獨立的學科——教育技術學。系統科學的思想、觀點和方法對教育技術學科的形成和發展有著廣泛而深遠的影響，是教育技術學最重要的理論基礎之一。

教學系統設計又是教育技術學基本原理的核心部分。教學系統設計在形式上貫徹了系統科學的整體思想：從總體上研究事物，分析其要素、結構和功能；系統整體功能不等于各獨立部分之和，而是1+1>2 。教學系統設計將教學系統看作自己的研究對象，分析教學過程的各個要素，注意各要素之間的聯系，從總體上考慮，力求在可能的條件下，取得相對最佳的教學效果。其核心思想是：應用系統方法研究、探索教學系統中各個要素之間的本質聯系。并通過一套具體的操作程序來協調、配置這些要素，使它們有機地結合，共同完成教學系統的功能^[5]。

而數學模型方法又是系統方法的重要工具，如前所述系統分析方法的關鍵恰恰又在于建立成功的數學模型，例如：對教育系統進行最優化設計，就需要抽象系統要素變量，構建求解最優化的數學模型。最優化設計要圍繞教育目標的最優化進行。為了實現教育目標的最優化，必須對教育系統進行最優化控制。最優化是一個動態的、發展的概念，它是隨著教育系統發展變化的需要而發展變化的。如，對學校教育的最優化可以用控制的結果與控制目標的符合程度來度量。設目標為Pi，結果為Qi。其比值越接近1越優，即：（Pi/Qi）—>1時，控制最優。教育最優化的控制項目有時間（T）：以學期或學年計算；教學量（U）：按教材印刷的符號量計算；負擔量（C）：平均一天教師工作時間和學生的學習時間；成本（S）：教學時間內的經費支出（按教育合理開支計算）；成績（W）：以受教育者對教學內容輸出的正確率計算。由此得出表達式：E=f(W，S，C，U，T)。E為教育優化程度，它代表教育的成就，由單位時間內的教學量、負擔量、教育成本和教育成績（包括德、智、體、美、勞諸方面）構成。這樣教育成就最優化就是^[7]：

控制項 目時間量教學量負擔量教育成 本成績

行為特 征最少最少最輕最低最高

這樣系統方法是教育技術學最重要的理論基礎之一，并且滲透到教育技術中的各個分支，而數學模型方法又是系統方法的重要工具。因此，數學模型方法必然與教育技術學科理論基礎密不可分。

2、數學模型方法對于教育技術學科基礎理論的發展、研究的重要作用

數學化是當代科學發展的一個重要趨勢，而數學化的重要工作就是尋求數學模型。一門科學一旦找到了反映它的數學模型，就可以達到這門科學進行系統嚴密研究的階段。教育技術學的基礎理論的發展研究同樣離不開數學模型方法的支持。

傳播理論是教育技術學科的重要理論基礎，數學模型方法的應用在傳播理論的發展研究中不乏其例，而且占有重要地位。例如：人們曾提出了各種各樣的傳播理論和模式，最主要的兩種模式是工程學模式（Engineering Models）和心理學模式（Psychological Models）。其中工程學模式以香農－韋弗模式為代表。本世紀四十年代，數學家香農出于對電報通信問題的興趣，提出了一個關于通信過程的數學模型。此模型最初是單向直線式的，不久，他與韋弗合作改進了模型，添加了反饋系統。此模型后來被稱為香農-韋弗模式，在技術中應用獲得了巨大成功。再如：信息熵模型的建立，最大熵原理的應用等在信息論、傳播理論中也都占有著重要的地位^[8]。

學習理論和教學理論也是教育技術學科的重要理論基礎。其中斯金納的程序教學理論中的學習流程設計、加涅的信息加工系統模型都在其理論發展中占有重要地位。還有教學系統設計理論的發展更是得益于各種設計模型、模式建立，如肯普模式等。可見，數學模型方法對于教育技術學科的基礎理論的發展、研究發揮著重要作用，甚至是不可替代的作用。

（三）教育技術學科研究方法與數學模型方法

教育技術的研究方法能夠為描述教育技術現象、揭示教育技術規律提供獲取信息、加工整理信息的方法和步驟，從而做出科學的解釋、預測和控制，建立理論、推進應用實踐。數學模型方法在其中同樣發揮關鍵作用。

首先，系統科學與視聽教學、個別化(程序)教學相結合，產生了教育技術研究領域。系統科學方法已成為教育技術領域進行研究工作的基本方法。系統方法在教育的技術學層次的應用，對于具體研究和解決教育、教學問題帶來了新的思路。對于復雜的教育、教學問題的解決，人們可以通過像工程中使用的系統方法一樣，廣泛采用需求分析、方案設計、實施、反饋、優化等環節來設計并完善教學系統，還可以通過定義系統和子系統的方法來定義問題和解決問題的空間。數學模型方法與系統方法的密切關系如上所述，不再累述。

其次，數學模型方法不僅是教育技術學的一般研究方法中重要的定量研究方法，而且在能強化教育技術學科獨立性的專門研究方法中發揮著重要作用。解釋結構模型法、課堂信息分析法(S—P表分析法)、教學過程分析法以及基于量規的評價研究法等這些研究方法的成熟和廣泛運用使教育技術學研究方法具有相對的學科獨立性，而這些研究方法的關鍵又是成功的數學模型的建立。例如： S-P表分析通過相應的數學模型的建立，基于計算機處理程序能夠快捷直觀的反映出有關學生學習的一些關鍵變量。再如，在評價研究的計量化中，具備了良好的加權數學模型，也就具有了一個良好的計量體系^[9]。

由此可見，數學建模已成為教育技術研究方法不可或缺的重要工具。

（四）教育技術學科實踐領域與數學模型方法

教育技術實踐領域是教育實踐的一個特定的組成部分，它是應用教育技術學的理論、手段和方法來分析、解決教與學實際問題的領域。它是按照系統方法的操作程序來解決教學問題的，即按照鑒定需求、尋找問題解決方案的技術流程，來設計、開發、利用、管理和評價有關的教學過程和教學資源，而數學模型方法則是闡述客觀現象和解決實際問題的重要工具。

系統方法可有效的應用于教育問題的不同層次上。在微觀層次即教學過程層次上，已形成一個重要的組成部分，即教學設計，它系統的闡明了教學過程和設計、實施和評價的理論與技術；在亞宏觀層次上，形成了有關“課程開發”方面的理論與技術。教育系統設計的理論與技術除了在上述的兩個領域中得到應用外，它更廣泛的應用在職業教育的課程開發、軍事訓練、工業、商業等方面的教育培訓課程的開發和教學開發上，從而形成了一個教學系統設計的實踐領域。當然這其中更離不開數學模型方法這一強有力的工具。不論是績效技術、知識管理，還是網絡課程開發，都可以根據實際情況建立相關數學模型，實現優化設計、開發。

下面來看一例有關計算機輔助教育領域中數學模型方法的應用。計算機進入測驗領域后，誕生了計算機自適應測驗(簡稱CAT—— Computerized Adaptive Testing )，CAT是建構在現代測驗理論——項目反應理論(IRT: Item Response Theory)基礎上的，從題庫的建設、參數的估計、試題的選擇再到最后的評分，都是以IRT為指導進行的。IRT模型是一種數學模型， IRT的模型不下20余種，可根據實際情況選擇適當的模型。項目反映理論建立了考生反應與試題參數和能力水平之間的非線性模型，具有參數不變性，估計出來的能力值不依賴于測試題目樣本的特性，同時可以根據題目的信息量，選擇與受測者能力相匹配的題目，直到達到預定的測試精度要求。計算機自適應測驗CAT是指在以IRT理論為基礎建立的題庫之上，不斷地根據題目的各方面信息和受測者的答題情況估計受測者的能力，然后從題庫中選取符合受測者能力的題目進行測試，直到達到預定的測試精度要求，即可結束考試^[10][11]。

可見，數學模型方法不僅在教育技術實踐領域有廣泛的應用、而且發揮出其得天獨厚的優勢，甚至是不可替代的重要作用。

（五）教育技術學科發展與數學模型方法

自教育技術成為一門獨立學科以來，其理論與實踐相輔相成，相互促進的向前發展。從教育技術學科發展演變的過程中，我們不難看出，技術是最活躍的因素，是學科發展的主要動因之一，而理論和方法則具有相對穩定性，尤其系統方法更表現出其強大的生命力。無論是應用傳統媒體，還是基于網絡的個性化學習，無不需要學習理論的指導，無不應用系統方法進行最優化設計等。而數學模型方法——這一系統方法的利器，更是能以不變應萬變來解決教育技術領域的各種具體問題。可見，數學模型方法、系統方法從學科發展的角度來看不僅是相對穩定的因素，而且能體現學科發展的生命力。同時，數學化是當代科學發展的一個重要趨勢，一個學科如果充分利用了數學，它就會從數學那里獲得活力，它的理論框架很容易改進，以便適應新的歷史階段。而數學化的重要工作就是尋求數學模型，一門科學一旦找到了反映它的數學模型，就可以達到這門科學進行系統嚴密研究的階段。隨著教育技術學這門新興學科的不斷發展，同樣離不開數學模型方法的支持。因此，在教育技術學科發展的過程中數學模型方法是值得也是必須予以強化和重視的。

另一方面，基于數學模型方法對教育技術的重要作用，可將具備數學建模能力作為專業培養的一項目標或從業人員的能力要求。依據數學模型方法教育的體系層次的要求，可以設置本科、研究生等不同層次的培養方案，體現其系統性、連續性、層次性。此外，數學建模教育具有非常強的實踐性要求，必須通過親身實踐才能掌握其中的要領，因此必須結合教育技術系實踐應用領域的一些經典的建模范例進行教學，從而熟悉常用的建模方法，并安排一定的實踐性內容，如數學模型實驗、社會實踐活動等，讓學生親自去建立模型，體會利用數學模型方法解決一些教育技術實際問題的要義。由于提出了數學建模能力的要求，從某種程度上，不僅進一步強化了學科發展的專業性和獨立性，而且對教育技術從業人員有了更高的要求，進而推進學科發展。

此外，數學建模是一種創造性過程，它需要相當高的觀察力、想象力以及一些靈感和頓悟。在教學中加強數學建模的教育可使學生將學過的科學知識同周圍的現實世界聯系起來，甚至和真正的實際應用問題結合起來。這樣，學生不僅知道知識有用、怎么用，而且可以看到知識的魅力和價值，更重要的是可以體會到在真正的實際應用中還需繼續學習，樹立正確的學習態度。著名科學家愛因斯坦說過:想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，而且是知識的源泉。在建模過程中往往要求學生充分發揮聯想，把表面上完全不同的實際問題用相同或相類似的數學模型去描述。通過數學建模，可以培養學生廣泛的興趣、勤于思考、勤于練習的習慣，而逐步達到能觸類旁通的境界。因此，通過數學建模教育能夠全面培養學生素質，從而使教育技術專業人才的素質進一步提高，使他們在各自未來的工作中能夠發揮更重要的作用，甚至具有不可替代性^[12]。

由于現實世界的復雜性，許多事物用數學模型來量化表示相當困難，而更多的情況則是計算量很大，以至于模型的求解很難實現。這是過去數學模型方法被局限在較小范圍內的主要原因。近半個世紀以來，隨著數學觀念的不斷更新，運籌學、模糊數學等分支的出現，使得用數學方法處理各種復雜變量的能力大大提高，特別是計算機技術的飛速發展促進了人們運算能力的迅速提高，許多原來無法實現的模型化方法如今已變得切實可行。原先以定性研究為主的生物、管理、軍事、心理、教育等諸學科業已大量地運用了數學模型的研究方法。在工程學領域內，以前認為實驗方法是至高無上的，但現在已把數學模型方法視為與其同等重要，甚至更為有效。可以預見今后數學模型方法的運用還會得到更大的發展，這也必將對教育領域及教育技術學科發展產生深遠的影響。

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