光柵的分辨本領(lǐng)與角半寬度

理想情況下光柵的色分辨本領(lǐng)為：

R=kN。（1）

即光柵的色分辨本領(lǐng)隨光譜的級(jí)次的增加而增大。而光柵衍射中第k級(jí)主極大的角半寬度為：

(2)

當(dāng)衍射角θ增大時(shí)，角半寬度Δθ變寬。由光柵方程d1sinθ=kλ可知，衍射角θ隨級(jí)次k增加而增大，因此對(duì)應(yīng)較寬的半角寬度，按理應(yīng)使相鄰色光更易重疊，也就是說色分辨本領(lǐng)似乎因k的增加而變小，這與(1)式似乎相互矛盾。那么半角寬度增大是否會(huì)影響光柵的分辨本領(lǐng)呢?下面就光柵的分辨本領(lǐng)和角半寬度與k的關(guān)系進(jìn)行討論。

1主最大的角半寬度的值

多光束干涉原理可知，若光柵狹縫數(shù)為N，光強(qiáng)為：

(3)

當(dāng)v=kπ時(shí)產(chǎn)生干涉最大，光強(qiáng)為N2a2，即在滿足下式的θ方向上應(yīng)有與主最大對(duì)應(yīng)的亮條紋出現(xiàn)：

(4)

當(dāng)v=k′πN，而k′≠N，2N，3N時(shí)，則光強(qiáng)為零。即在滿足下式的θ方向上光強(qiáng)為零：

(5)

所以第k級(jí)主最大滿足：

(6)

最靠近它的最小級(jí)數(shù)k′應(yīng)為：k′=kN+1。按(3)式該最小所在方向(θk+Δθ)滿足

(7)

(6)(7)兩式相減，且

圖1表示第k級(jí)主最大和最靠近它的最小的級(jí)數(shù)k′的衍射角及角半寬。從Δθ的表達(dá)式看，光柵上狹縫的總數(shù)目愈大，則所得各級(jí)主最大愈細(xì)，若光柵上的狹縫數(shù)不變，則當(dāng)衍射角θk增大時(shí)，cosθk減小則半角寬度Δθ增大。

圖1：G為光柵、P為屏、θk第k級(jí)主最大衍射角、Δθ第k級(jí)主最大和相鄰最小的角半寬

2光柵的分辨本領(lǐng)

若以瑞利判據(jù)作為分辨的標(biāo)準(zhǔn)，主最大的半角Δθ就是光柵的最小分辨角。那么對(duì)應(yīng)Δθ的兩譜線的波長(zhǎng)差Δλ，即光柵所能分辨的最靠近的兩個(gè)光譜線的波長(zhǎng)差代替光柵的最小分辨角。由光柵公式(4)式求微分得dλdθ=d1cosθk。(8)

所以最小分辨角Δθ對(duì)應(yīng)的兩譜線的波長(zhǎng)差Δλ為：

分辨率P=λΔλ=kN。

3角半寬度與角色散率

從角色散率dλdθ=d1cosθk可知，光柵常數(shù)d1愈小，角色散率愈小，高級(jí)次的光譜的角色散較小，反之角色散的倒dθdλ是隨級(jí)次k增大而增大愈大。即角度差1單位的兩譜線的波長(zhǎng)差隨級(jí)次的增大而增大。

角半寬度Δθ為k級(jí)主極大的半寬度，由(2)式知，當(dāng)k增大時(shí)，由于θ增大，cosθ減小，所以Δθ增大。而分辨本領(lǐng)是角色散的倒數(shù)和角半寬度的倒數(shù)乘積再乘λ，即：

(9)

因此由(9)式可知，此時(shí)己與cosθ無關(guān)，所以角半寬度的增大并不影響光柵的分辨本領(lǐng)。

（欄目編輯 羅琬華）

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