學(xué)生對(duì)圖象斜率的“疑”與“混”

在人教版高一物理課本“直線運(yùn)動(dòng)”一章中，引入位移—時(shí)間圖象（s-t圖象）和速度—時(shí)間圖象（v-t圖象）。圖象斜率有著一定的物理意義，在s—t圖象中斜率表示速度，在v—t圖象中斜率表示著加速度。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多剛?cè)敫咭坏膶W(xué)生極易出現(xiàn)以下的疑惑與混淆。

一、疑惑的是：“物理圖象中直線斜率怎么有時(shí)會(huì)不等于直線與橫軸夾角的正切值呢?”

例1如圖1和圖2為物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的s—t圖象，α=β=45°，問圖象斜率分別是多少？

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解析直線斜率k等于圖線的縱坐標(biāo)變化量Δs與橫坐標(biāo)的變化量Δt的比值，即k=Δs/Δt，所以圖1直線斜率k1=(15—0)/（3—0)m／s=5m／s，圖2直線的斜率k2=(15-0)／(15-0)m／s=1m／s。

疑惑直線斜率不是還等于直線與橫軸夾角的正切嗎?因此圖1的直線斜率k1=tanα=tan45°=1，圖2直線斜率k2=tanβ=tan45°=1，有圖上數(shù)據(jù)可知：v1=5m／s、v2=1m／s，顯然在圖1中tanα不能表示物理圖象的直線斜率了，為什么呢?

解惑如圖3所示，在數(shù)學(xué)上直線y=kx的斜率k=tanγ是在x軸和y軸上單位長(zhǎng)度相等的條件下定義的。物理圖象中兩個(gè)坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度一般是不相等的，如圖1所示的縱軸上的1m長(zhǎng)度和橫軸上的1s長(zhǎng)度就不相等，這時(shí)tanα=tan45°=1就不能表示物理圖象中的直線斜率了，僅表示著幾何直角△OAB中純幾何線段AB與OB的比值是1，正切值不能再表示具有物理意義的斜率了。顯而易見，橫縱坐標(biāo)單位長(zhǎng)度的變化將直接影響物理圖象中直線與橫軸夾角的大小，但圖線上縱坐標(biāo)變化量與橫坐標(biāo)變化量的比值卻是恒定的，這個(gè)比值正好能表示物理圖象中直線的斜率，所以用斜率K=(y2—y1)／(x2—x1）進(jìn)行計(jì)算是不會(huì)出現(xiàn)問題的，而用k=tanα求斜率有時(shí)是不可行的。

二、將物理圖象上“某點(diǎn)切線的斜率”與“經(jīng)過圖象上某點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的斜率”混為一談。

如圖4所示為兩物理量y和x關(guān)系的圖線，其上某點(diǎn)P(x，y)的切線斜率k1表示該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)狀態(tài)物理量y隨x的變化快慢即變化率；而過P點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的斜率k2表示該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)狀態(tài)物理量y和x的比值。顯然斜率k1和k2的物理意義是不同的，應(yīng)用其解決物理問題時(shí)使用對(duì)象也不同。

例2如果圖4是某物體作直線運(yùn)動(dòng)的s—t圖，那么圖象上某點(diǎn)P的k1和k2的物理意義各是什么?

解析由于k1表示物體在t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)變化快慢，故k1的物理意義是物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，從圖可看出斜率越來越小，物體的瞬時(shí)速度也越來越小；k2=s／t可理解為從開始計(jì)時(shí)到t時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度。

例3如果圖4是某物體作直線運(yùn)動(dòng)的v—t圖，那么圖象上某點(diǎn)P的k1和k2的物理意義又各是什么?

答：k1的物理意義是表示物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，k2的物理意義是表示從開始計(jì)時(shí)到t時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)物體的平均加速度。

僅此二例，足以說明混淆了兩種斜率的含義，必然導(dǎo)至錯(cuò)誤。

（欄目編輯 羅琬華）

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