帶電粒子在磁場中完美對稱的運(yùn)動

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，體現(xiàn)了物理學(xué)的對稱美與運(yùn)動美，在滿足一定條件下，可讓粒子產(chǎn)生完美對稱的運(yùn)動軌跡。解決此類問題的關(guān)鍵在于分析粒子的受力情況，確定粒子的運(yùn)動軌跡。如果學(xué)生能從物理學(xué)中的對稱美來理解，解題時會產(chǎn)生事半功倍的效果。筆者整理相關(guān)的習(xí)題，讓學(xué)生建立物理學(xué)對稱美的觀念。

1 利用單一變化磁場使帶電粒子完美對稱的運(yùn)動

例1 如圖1-1所示，虛線AB右側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的勻強(qiáng)磁場，左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于圖中的紙面并指向紙面內(nèi)，現(xiàn)有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度v開始向右運(yùn)動。求從開始時刻到第10次通過AB線向右運(yùn)動的時間內(nèi)，該粒子在AB方向的平均速度？

思路 如圖1-2所示，帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)，受到洛侖茲力作用做圓周運(yùn)動，經(jīng)過半個周期后，穿過AB邊界向左飛出，受到大小為原來二分之一的洛侖茲力作用，做半徑為原來兩倍的圓周運(yùn)動，同樣經(jīng)過半個周期，穿過AB邊界向右飛出，這樣不斷地來回穿越AB邊界，形成如“舞龍”形狀完美對稱的運(yùn)動軌跡。

解析 粒子在磁場中只受洛侖茲力，粒子在AB邊右側(cè)做圓周運(yùn)動，半徑為：r1=mv2qB，在AB邊左側(cè)做圓周運(yùn)動，半徑為：r2=mvqB。

如圖1-2所示，當(dāng)粒子第10次通過AB邊向右運(yùn)動是在AB邊上的位置和時間分別為

x=10r1=10mv2qB

t=10(T12+T22)=10(πm2qB+πmqB)=15πmqB

則平均速度：v=xt=v3π

2 利用雙向變化磁場使帶電粒子完美對稱的運(yùn)動

例2 如圖2-1所示，空間分布著有理想邊

界的勻強(qiáng)磁場，左側(cè)區(qū)域?qū)挾萪，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外。右側(cè)區(qū)域?qū)挾茸銐虼螅瑒驈?qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，方向垂直紙面向里；一個帶正電的粒子（質(zhì)量m，電量q，不計重力）從左邊緣a點(diǎn)，以垂直于邊界的速度進(jìn)入左區(qū)域磁場，經(jīng)過右區(qū)域磁場后，又回到a點(diǎn)出來。求：

（1）畫出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡；

（2）粒子在磁場中運(yùn)動的速率v；

（3）粒子在磁場中運(yùn)動的時間。

思路 如圖2-2所示，粒子從a點(diǎn)飛入，受洛侖力作用做圓周運(yùn)動，穿過磁場邊界后進(jìn)入右邊區(qū)域，受到等大反向洛侖茲力作用，做圓周運(yùn)動穿過磁場邊界回到左邊區(qū)域。粒子受到等大反向洛侖茲力作用繼續(xù)做圓周運(yùn)動回到a點(diǎn)，形成如“葫蘆”形狀對稱完美的運(yùn)動軌跡。

解析 （1）運(yùn)動軌跡如圖2-2所示

（2）設(shè)粒子的速率為v，則粒子在做圓周運(yùn)動的半徑為r=mvqB

如圖2-3所示根據(jù)三角形的比例關(guān)系，得：（2r）2=r2+(2d)2

所以v=23qBd3m

（3）如圖2-3所示， 得：sinθ= r2r=12

所以θ=π6

粒子在左邊界的時間t1=2π2-θ2πT1

粒子在右邊界的時間 t2=2π-2θ2πT2

由于左右磁場區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，則T1=T2=2πmqB

粒子運(yùn)動的總時間t=t1+t2=7πm3qB

3 利用電場使帶電粒子完美對稱的運(yùn)動

例3 如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x軸下方有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，一質(zhì)量為m，電量為－q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)o沿y軸正方向射出，射出之后，第三次到達(dá)x軸時，它與點(diǎn)o點(diǎn)的距離為L，求此粒子射出時的速度v和運(yùn)動的總路程s（重力不計）

思路 帶電粒子從o點(diǎn)沿著y軸方向射出，先做圓周運(yùn)動，在x軸上方完成半圓周后，穿過x軸進(jìn)入x軸下方，受電場力作用做勻減速直線減至速度為零，然后又沿原途做勻加速直線運(yùn)動，直到第二次穿越x軸，兩次穿越x軸的速度大小相等，進(jìn)入磁場后x軸上方第二次完成半圓周后，垂直于x軸第三次穿過x軸，進(jìn)入x軸下方電場區(qū)域，其簡單過程示意圖如圖3-2所示，形成如“橋洞”形狀完美對稱的運(yùn)動軌跡。

解析 由圖3-2可知：L＝4R

因洛侖茲力充當(dāng)向心力：qvB=mv20/R

得v0=qBL/4m

粒子在磁場中經(jīng)過的路程由圖得：

s1=2πR=πL2

在電場中經(jīng)過的路程由動能定理可得：

qEd=12mv20-0

得d=mv202qE=qL2B22(16mE)

在電場中經(jīng)過的路程：

s2=2d=qL2B216mE

粒子運(yùn)動的總路程：

s=s1+s2=πL2+qL2B216mE

4 利用碰撞使帶電粒子完美對稱的運(yùn)動

例4 如圖4-1所示，在一半徑為R的圓筒內(nèi)，有一個以垂直于勻強(qiáng)磁場和筒壁的速度v射入，質(zhì)量為q的正離子。經(jīng)過與筒壁幾次碰撞后恰能從A孔射出，并且只繞圓筒內(nèi)壁1圈。假設(shè)離子與筒壁碰撞時，電荷無遷移，能量無損失，求筒內(nèi)磁場感應(yīng)強(qiáng)度B的大小？

思路 如圖4-2所示帶電粒子從A孔飛入，受到洛侖茲力作用做圓周運(yùn)動，與圓筒內(nèi)壁碰撞后反彈，再做圓周運(yùn)動，再碰撞反彈，以此往復(fù)。不同磁感應(yīng)強(qiáng)度使帶電粒子會跟圓筒內(nèi)壁碰撞2次以上，再從A孔飛出，形成無數(shù)種完美對稱的運(yùn)動軌跡。如圖4-2所示為帶電粒子分別與圓筒內(nèi)壁碰撞2、3、4、5次形成的運(yùn)動軌跡。

解析 設(shè)帶電粒子經(jīng)過n次與圓筒碰撞后仍從A點(diǎn)射出而僅繞圓筒內(nèi)壁轉(zhuǎn)一圈，則相鄰兩次碰撞所對應(yīng)的圓心角：

θ=2πn+1，n=2，3，4……。

由幾何關(guān)系可知，帶電粒子的半徑為：

r=Rtanθ2

根據(jù)洛侖茲力公式得：

r=mvqB

由上三式可求得：

B=mvqRcot(πn+1)，n=2，3，4 ……

5 利用電場與碰撞使帶電粒完美對稱的運(yùn)動

例5 如圖5-1所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B三個點(diǎn)P、M、N均勻地分布在圓周上，有三對電壓相同、相距為d的平行金屬板，它們分別在這三點(diǎn)與圓相切，而且在相切處的極板上分別留有縫隙。一個質(zhì)量為m，帶電量為＋q的粒子，從點(diǎn)Q由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)過一段時間恰能回到點(diǎn)Q（不計重力）。

（1）在圖上標(biāo)出各板的正負(fù)極，并分析平行金屬板間的電壓U與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B應(yīng)滿足什么關(guān)系？

（2）粒子從點(diǎn)Q出以發(fā)又回到點(diǎn)Q，至少需要多長時間？

思路 如圖5-2所示，帶電粒子在Q點(diǎn)受到電場力作用，做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)N點(diǎn)飛入磁場，受到洛侖茲力作用，做圓周運(yùn)動，經(jīng)過1/6周期后，穿過P點(diǎn)，在電場力作用下，做勻減速直線運(yùn)動，到極板時速度恰好為零。然后類似前面運(yùn)動，從P點(diǎn)飛出后飛入M，雙從M點(diǎn)飛出后飛入N點(diǎn)，回到Q點(diǎn)，這樣重復(fù)運(yùn)動，形成如 “埃菲爾鐵塔”形狀完美對稱的運(yùn)動軌跡。

［解析］（1）三對金屬板的正負(fù)極，如圖所示設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度大小為v，運(yùn)動半徑為r，根據(jù)動能定理，有：qU=12mv2。

M、N、P三點(diǎn)均勻地分布在圓周上，每一段圓弧對圓心角為120°，由幾何知識可知： r=3R。

根據(jù)牛頓第二定律，有：qvB=mv2r

由上述三式，可得：U=3qR2B22m

（2）粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的周期

T=2πmqB

經(jīng)過三段圓弧所用時間為：

t1=3×16T=πmqB。

設(shè)粒子從Q點(diǎn)出發(fā)到達(dá)磁場所用時間T′則：d=12qEmT′2=qUT′22md

得T′=23mdqBR。

粒子在三對平行金屬板間經(jīng)歷的時間為：

t2=6T′=43mdqBR

所以粒子從Q點(diǎn)出發(fā)又回到Q點(diǎn)需要的時間為：

t=t1+t2=πmqB+43mdqBR。

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文