帶電粒子在磁場中完美對稱的運動

帶電粒子在磁場中的運動，體現了物理學的對稱美與運動美，在滿足一定條件下，可讓粒子產生完美對稱的運動軌跡。解決此類問題的關鍵在于分析粒子的受力情況，確定粒子的運動軌跡。如果學生能從物理學中的對稱美來理解，解題時會產生事半功倍的效果。筆者整理相關的習題，讓學生建立物理學對稱美的觀念。

1 利用單一變化磁場使帶電粒子完美對稱的運動

例1 如圖1-1所示，虛線AB右側是磁感應強度為2B的勻強磁場，左側是磁感應強度為B的勻強磁場，磁場的方向垂直于圖中的紙面并指向紙面內，現有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度v開始向右運動。求從開始時刻到第10次通過AB線向右運動的時間內，該粒子在AB方向的平均速度？

思路 如圖1-2所示，帶電粒子從O點出發，受到洛侖茲力作用做圓周運動，經過半個周期后，穿過AB邊界向左飛出，受到大小為原來二分之一的洛侖茲力作用，做半徑為原來兩倍的圓周運動，同樣經過半個周期，穿過AB邊界向右飛出，這樣不斷地來回穿越AB邊界，形成如“舞龍”形狀完美對稱的運動軌跡。

解析 粒子在磁場中只受洛侖茲力，粒子在AB邊右側做圓周運動，半徑為：r1=mv2qB，在AB邊左側做圓周運動，半徑為：r2=mvqB。

如圖1-2所示，當粒子第10次通過AB邊向右運動是在AB邊上的位置和時間分別為

x=10r1=10mv2qB

t=10(T12+T22)=10(πm2qB+πmqB)=15πmqB

則平均速度：v=xt=v3π

2 利用雙向變化磁場使帶電粒子完美對稱的運動

例2 如圖2-1所示，空間分布著有理想邊

界的勻強磁場，左側區域寬度d，勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外。右側區域寬度足夠大，勻強磁場的磁感應強度大小也為B，方向垂直紙面向里；一個帶正電的粒子（質量m，電量q，不計重力）從左邊緣a點，以垂直于邊界的速度進入左區域磁場，經過右區域磁場后，又回到a點出來。求：

（1）畫出粒子在磁場中的運動軌跡；

（2）粒子在磁場中運動的速率v；

（3）粒子在磁場中運動的時間。

思路 如圖2-2所示，粒子從a點飛入，受洛侖力作用做圓周運動，穿過磁場邊界后進入右邊區域，受到等大反向洛侖茲力作用，做圓周運動穿過磁場邊界回到左邊區域。粒子受到等大反向洛侖茲力作用繼續做圓周運動回到a點，形成如“葫蘆”形狀對稱完美的運動軌跡。

解析 （1）運動軌跡如圖2-2所示

（2）設粒子的速率為v，則粒子在做圓周運動的半徑為r=mvqB

如圖2-3所示根據三角形的比例關系，得：（2r）2=r2+(2d)2

所以v=23qBd3m

（3）如圖2-3所示， 得：sinθ= r2r=12

所以θ=π6

粒子在左邊界的時間t1=2π2-θ2πT1

粒子在右邊界的時間 t2=2π-2θ2πT2

由于左右磁場區域磁感應強度相等，則T1=T2=2πmqB

粒子運動的總時間t=t1+t2=7πm3qB

3 利用電場使帶電粒子完美對稱的運動

例3 如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在x軸下方有一沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E，一質量為m，電量為－q的粒子從坐標原點o沿y軸正方向射出，射出之后，第三次到達x軸時，它與點o點的距離為L，求此粒子射出時的速度v和運動的總路程s（重力不計）

思路 帶電粒子從o點沿著y軸方向射出，先做圓周運動，在x軸上方完成半圓周后，穿過x軸進入x軸下方，受電場力作用做勻減速直線減至速度為零，然后又沿原途做勻加速直線運動，直到第二次穿越x軸，兩次穿越x軸的速度大小相等，進入磁場后x軸上方第二次完成半圓周后，垂直于x軸第三次穿過x軸，進入x軸下方電場區域，其簡單過程示意圖如圖3-2所示，形成如“橋洞”形狀完美對稱的運動軌跡。

解析 由圖3-2可知：L＝4R

因洛侖茲力充當向心力：qvB=mv20/R

得v0=qBL/4m

粒子在磁場中經過的路程由圖得：

s1=2πR=πL2

在電場中經過的路程由動能定理可得：

qEd=12mv20-0

得d=mv202qE=qL2B22(16mE)

在電場中經過的路程：

s2=2d=qL2B216mE

粒子運動的總路程：

s=s1+s2=πL2+qL2B216mE

4 利用碰撞使帶電粒子完美對稱的運動

例4 如圖4-1所示，在一半徑為R的圓筒內，有一個以垂直于勻強磁場和筒壁的速度v射入，質量為q的正離子。經過與筒壁幾次碰撞后恰能從A孔射出，并且只繞圓筒內壁1圈。假設離子與筒壁碰撞時，電荷無遷移，能量無損失，求筒內磁場感應強度B的大小？

思路 如圖4-2所示帶電粒子從A孔飛入，受到洛侖茲力作用做圓周運動，與圓筒內壁碰撞后反彈，再做圓周運動，再碰撞反彈，以此往復。不同磁感應強度使帶電粒子會跟圓筒內壁碰撞2次以上，再從A孔飛出，形成無數種完美對稱的運動軌跡。如圖4-2所示為帶電粒子分別與圓筒內壁碰撞2、3、4、5次形成的運動軌跡。

解析 設帶電粒子經過n次與圓筒碰撞后仍從A點射出而僅繞圓筒內壁轉一圈，則相鄰兩次碰撞所對應的圓心角：

θ=2πn+1，n=2，3，4……。

由幾何關系可知，帶電粒子的半徑為：

r=Rtanθ2

根據洛侖茲力公式得：

r=mvqB

由上三式可求得：

B=mvqRcot(πn+1)，n=2，3，4 ……

5 利用電場與碰撞使帶電粒完美對稱的運動

例5 如圖5-1所示，在半徑為R的圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B三個點P、M、N均勻地分布在圓周上，有三對電壓相同、相距為d的平行金屬板，它們分別在這三點與圓相切，而且在相切處的極板上分別留有縫隙。一個質量為m，帶電量為＋q的粒子，從點Q由靜止開始運動，經過一段時間恰能回到點Q（不計重力）。

（1）在圖上標出各板的正負極，并分析平行金屬板間的電壓U與磁感應強度的大小B應滿足什么關系？

（2）粒子從點Q出以發又回到點Q，至少需要多長時間？

思路 如圖5-2所示，帶電粒子在Q點受到電場力作用，做勻加速直線運動，經N點飛入磁場，受到洛侖茲力作用，做圓周運動，經過1/6周期后，穿過P點，在電場力作用下，做勻減速直線運動，到極板時速度恰好為零。然后類似前面運動，從P點飛出后飛入M，雙從M點飛出后飛入N點，回到Q點，這樣重復運動，形成如 “埃菲爾鐵塔”形狀完美對稱的運動軌跡。

［解析］（1）三對金屬板的正負極，如圖所示設粒子進入磁場時速度大小為v，運動半徑為r，根據動能定理，有：qU=12mv2。

M、N、P三點均勻地分布在圓周上，每一段圓弧對圓心角為120°，由幾何知識可知： r=3R。

根據牛頓第二定律，有：qvB=mv2r

由上述三式，可得：U=3qR2B22m

（2）粒子在磁場中作圓周運動的周期

T=2πmqB

經過三段圓弧所用時間為：

t1=3×16T=πmqB。

設粒子從Q點出發到達磁場所用時間T′則：d=12qEmT′2=qUT′22md

得T′=23mdqBR。

粒子在三對平行金屬板間經歷的時間為：

t2=6T′=43mdqBR

所以粒子從Q點出發又回到Q點需要的時間為：

t=t1+t2=πmqB+43mdqBR。

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