電場和磁場控制帶電粒子運動的實例分析

隨著高考改革的深入，一些聯系實際、實用性很強的試題越來越多。與電場和磁場相關的電場力和洛倫茲力的綜合運用問題是常見的一種。本文精選出典型實例進行歸類分析，供讀者參考。

1 電場和磁場\"拼接起來\"對帶電粒子作用

實例1、質譜儀

例1 如圖1所示是測量帶電粒子質量的儀器—質譜儀的工作原理示意圖。設法使某有機化合物的氣態分子導入圖1中所示的容器A中，使它受到電子束轟擊，失去一個電子成為正一價的分子離子。分子離子從狹縫S1以很小的速度進入電壓為U的加速電場區（初速度不計）加速后，再通過狹縫S2、S3射入磁感應強度為B的勻強磁場（方向垂直于磁場區的界面PQ）中。最后，分子離子打到感光片上，形成垂直于紙面且平行于狹縫S3的細線。若測得細線到狹縫S3的距離為d。請導出分子離子的質量m的表達式。

解析 若以m、q表示離子的質量和電量，用v表示離子從狹縫S2射出時的速度，粒子在加速電場中，由動能定理得12mv2=qU(1)

射入磁場后，在洛倫茲力作用下離子做勻速圓周運動，由牛頓定律可得qvB=mv2R(2)

式中R為圓的半徑。感光片上細黑線到S3縫的距離為：d =2R(3)

聯立(1)~(3)式，解得m=qB2d28U

實例2、顯像管

例2 顯像管的簡要工作原理是陰極K發射的電子束經高壓加速電場（電壓為U）加速后，進入放置在其頸部的偏轉線圈形成的偏轉磁場中偏轉，偏轉后的電子轟擊熒光屏，熒光粉受激發而發光， 圖2-a為電視機顯像管原理簡圖。一同學家中電視機畫面的幅度偏小，維修店的技術人員檢查后診斷為顯像管或偏轉線圈出了故障（顯像管與偏轉線圈如圖所示2-b），試分析引起故障的原因可能是

A.電子槍發射的電子數減少。

B.加速電場的電壓過高，電子速度偏大。

C.偏轉線圈的電流過小，偏轉磁場減弱。

D.偏轉線圈匝間短路，線圈匝數減少。

解析 電燈絲發出的電子（速度視為零）經加速電壓U加速，由動能定理有：

eU=12mv2（1）

通過偏轉線圈時（視為勻強磁場處理）有

r=mveB(2)

由(1)、(2)式解得r=1B2mUe（3）

電子經過偏轉線圈的運動軌跡示意圖如圖3實線所示，豎直線BO為熒光屏。可見，偏轉半徑r越大，偏轉量越小，熒光屏上的畫面幅度越小。應選項B、C、D正確。

實例3、環形加速器

例3 如圖4(a)所示為一種獲得高能粒子的裝置--環形加速器，環形區域內存在垂直紙面向外、大小可調節的均勻磁場。質量為m、電量為+q的粒子在環中做半徑為R的圓周運動。A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來電勢都為零，每當粒子飛經A板時，A板電勢升高為+U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩極板間的電場中得到加速。每當粒子離開時，A板電勢又降為零，粒子在電場一次次加速下動能不斷增大，而繞行半徑不變。

⑴設t=0時，粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速，并開始繞行第一圈，求粒子繞行n圈回到A板時獲得的總動能En。

⑵為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時的磁感應強度Bn。

⑶求粒子繞行n圈所需的總時間tn（設極板間距遠小于R）。

⑷在圖4(b)中畫出A板電勢u與時間t的關系（從t=0起畫到粒子第四次離開B板）。

⑸在粒子繞行的整個過程中A板電勢是否可始終保持+U？為什么？

解析⑴因粒子每繞行一圈，其增加的能量為qU，所以，繞行第n圈時獲得總動能為En = nqU

⑵由⑴可求得第n圈的速度，

由12mv2n=nqU，得vn=2nqUm

在磁場中，由牛頓定律得qBnvn=mv2nR

即Bn=1R 2nmUq

⑶粒子始終保持做半徑為R的勻速圓周運動，所以第一圈的時間t = 2πR/v，顯然因粒子能量不同，其速度也不同，粒子在第一圈運動時，有12mv21=qU 即：v1=2qUm

同理，粒子在第二圈運動時，有12mv22=2qU 即：v2=2·2qUm

第n圈的速度為vn=n·2qUm

故繞行n圈所需總時間為t=t1+t2+……+tn=2 πRv1+2πRv2+…+2πRvn

即t=2πR=m2qU(1+12+13+…+1n)

⑷A極電勢U隨時間t變化的圖象如圖5所示。

⑸不可以，因為這樣會使粒子在A、B兩極板之間飛行時，電場力對其做正功+qU，從而使之加速，在A、B板之外（即回旋加速器內）飛行時，電場又對其做負功 - qU，從而使之減速。粒子繞行一周電場對其所做總功為零，能量不會增加。

實例4、回旋加速器

例4 回旋加速器是用來加速帶電粒子的裝置，它的核心部分是兩個D型金屬扁盒，如圖6所示，盒正中間開有一個窄縫，在兩個D形盒之間加交流電壓，于是在縫隙中形成交變電場，由于電屏蔽作用，在D型盒內部電場很弱。D型盒裝在真空容器中，整個裝置放在巨大電磁鐵的兩極之間，磁場方向垂直于D型盒的底面。

回旋加速器的工作原理如圖7所示。放在A0處的粒子源發出一個帶正電的粒子，它以某一速率V0垂直進入勻強磁場，在磁場中做勻速圓周運動。經過半個周期，當它沿著圓弧A0A1到達A1時，在A1A1′處造成一個向上的電場，使這個帶電粒子在A1A1′受到一次電場加速，速率由V0增加到V1。然后粒子以速率V1在磁場中做勻速圓周運動。我們知道，粒子的軌道半徑跟它的速率成正比，因而粒子沿著半徑增大了的圓周運動。又經過半個周期，當它沿著半圓弧A1′A2′到達A2′時，在A2′A2處造成一個向下電場，使粒子又一次受到電場的加速，速率增加到V2。如此繼續下去，每當粒子運動到窄縫處時都使它受到電場的加速，粒子將沿著圖示螺線A0A1A1′A2′A2……回旋下去，速率將一步一步地增大。

已知回旋加速器的D型盒半徑為R=60cm。兩盒間距1cm，用它加速質子時可使每個質子獲得4MeV的能量，加速電壓為U=2×104V。求（1）該加速器中偏轉磁場的磁感應強度；（2）質子在D型盒中運動的時間t；（3）整個過程中，質子在運動的總時間 。

解析 （1）因為質子動能EK=12mv2，所以質子速度v=2EKm；

質子離開加速器時Bqv=mv2R

得B=mvRq=1Rq2mEK=0.47(T)

(2)質子經過加速電場速度不斷被加速，作圓周運動的半徑不斷增大，依次為：

R1=2m·qUBq，R2=2m·2qUBq，……，Rn=2m·nqUBq。

由于Rn=R，所以n=B2q2R22mqU=B2qR22mU而圓周運動的周期T=2πmBq

這樣可求得質子在D型盒中運動的時間為t=n·T2=πBR22U=1.39×10-5（s）

（3）質子第一次被加速后：qU=12mv21 得v1=2qUm

質子第二次被加速后：2qU=12mv22 得v2=4qUm

……

質子第n次被加速后：2nqU=12mvn2 得v2=2nqUm

這樣t1=2dv1，t2=2dv1+v2，……

質子在電場中加加速的時間t''=t1+t2+…

顯然，在整個過程中，質子在電場中運動的總時間為t總=t''+t=1.45×10-7（S）

2 電場和磁場“重疊起來”對帶電粒子的作用

實例5、速度選擇器

例5 在圖8所示的平行板器件中，電場強度E和磁感應強度B相互垂直。具有某一水平速度v的帶電粒子，將沿著圖中所示的虛線穿過兩板間的空間而不發生偏轉，具有其他速度的帶電粒子將發生偏轉。這種器件能把具有上述速度v的帶電粒子選擇出來，所以叫速度選擇器。如果已知粒子A（重力不計）的質量為m、帶電量為+q，兩極板間距為d，磁場的磁感應強度為B。

（1）試證明帶電粒子具有速度v=EB時，才能沿著圖示的虛線路徑通過。

（2）若粒子A從圖8的右端兩極板中央以-v入射，還能直線從左端穿出嗎？為什么？若不穿出而打在極板上，則到達極板時的速度是多少？

（3）若粒子A的反粒子（-q，m）從圖8的左端以v入射，還能直線從右端穿出嗎？

（4）將磁感應強度增大到某值，粒子A將落到極板上，粒子落到極板時的動能為多少？

解答 ⑴帶電粒子A進入場區后，受到庫侖力F1=Eq和洛倫茲力F2=Bqv的作用，如果帶電粒子穿過兩板間做勻速直線運動不發生偏轉，應有F1=F2，即Eq=Bqv。所以v=EB。

（2）粒子A在選擇器的右端入射，電場力與洛倫茲力同方向，因此不可能直線從左端穿出，一定偏向極板。若粒子打在極板上，由動能定理得qE·d2=12m(v'2-v2)

由于E = BV，所以v'=v2+qBdvm。

（3）仍能直線從右端穿出，有（1）可知，選擇器（B，E）給定時，與粒子的電性、電量無關，只與速度有關。

（4）增大磁感應強度B為B'后，有F2 >F1，即qvB > qE，因此粒子A將偏向下極板，最終落到下極板。

由動能定理-qE·d2=12m(v''2-v2)

得Ek'=12mv''2=12mv2-12qEd=12mv2-12qBvd

實例6、磁流體發電機

例6 目前世界上正在研究的一種新型發電機叫做磁流體發電機。這種發電機可以直接把內能轉化為電能，它的發電原理是：將一束等離子體（即高溫下電離的氣體，含有大量帶正電和帶負電的微粒，而從整體來說呈中性）噴射入磁場，磁場中A、B金屬板上會聚集電荷，產生電壓，設A、B兩平行金屬板的面積為S，彼此相距L，等離子體氣體的電導率為σ（即電阻率的倒數），噴入速度為v，板間磁感應強度B與氣流方向垂直，與板相連的電阻阻值為R，如圖9所示，問流過R的電流I為多少？

解析 磁流體發電機電動勢為外電路斷開時電源兩極間的電勢差，當等離子體勻速通過A、B極板時，A、B兩板間的電勢差達到最大。設等離子體每個微粒的電量為q，則當等離子體勻速通過A、B兩板時，有qvB=qE

電源電動勢為ε=EL=vBL

電源內阻為r=ρLS=LσS

根據全電路歐姆定律，流過R的電流為I=εR+r=vBLR+LσS=vBLσSL+RσS。

實例7、電磁流量計

例7 電磁流量計是對管道內部流體流動沒有任何阻礙的儀器，廣泛應用于測量高粘度及強腐蝕性流體的流量（在單位時間內通過管內橫截面的流體的體積）。假設流量計是如圖10所示的橫截面為長方形的一段管道，其中空部分的長、寬、高分別為圖中的a、b、c。流量計的兩端與輸送流體的管道相連接（圖中虛線），流量計的上下兩面是金屬材料，前后兩面是絕緣材料。現在流量計所在處加磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于前后兩面，當導電流體穩定地流經流量計時，在管外將流量計上、下兩表面與串接了電阻R的電流表的兩端連接，I為測得的電流值。已知液體的電阻率為ρ，不計電流表的內阻，則可求得流量為

A.IB(bR+ρca) B.IB(aR+ρbc)

C.IB(cR+ρab) D.IB(R+ρbca)

解析 當導電液流動時，流體中定向移動離子受洛侖茲力作用，在上下金屬板上就會聚集電荷，產生電場。當導電液勻速運動達到穩定時，設導電液中離子的電量為q，運動速度為v，穩定時，有qvB = qE，所以此時上下兩極板及其內部流體可認為是一電源，該電源的電動勢為：ε = Ec= vBc

根據電阻定律，電源內阻為r=ρcab

由全電路歐姆定律I=εR+r=BVcR+ρcab

解得IBC(R+ρcab)

故流量為Q=Sv=（ab）IBc(R+ρcab)=IB(bR+ρca)

即選項A是正確的。

實例8、電磁泵

例8 在原子反應堆中抽動液態金屬或在醫療器械中抽動血液等導電液體時，由于不允許傳動的機械部分與這些液體相關接觸，常使用一種電磁泵，圖11為這種電磁泵的結構。將導管放在磁場中，當電流穿過導電液體時，這種液體即被驅動。問：

⑴這種電磁泵的原理是怎樣的？

⑵若導管內截面積S=bh，磁場視為勻強磁場，寬度為L，磁感應強度為B，液體穿過磁場區域的電流強度為I，求勻強磁場區域內長度為L的導管兩端形成的壓強差為多少？

解析 ⑴這種電磁泵的原理是：當電流流過液體時，液體即成為截流導體，在磁場中將受到磁場力的作用，力的方向由左手定則判定知，液體將沿圖中V方向流動。

⑵設驅動力形成的壓強差為△p，則有△p·S=F

即△p·bh = IhB

所以△p=BI / b

實例9、磁強計

例9 磁強計實際上是利用霍爾效應來測量磁感應強度B的儀器。其原理可解釋為：如圖12所示的一塊導體接上a、b、c、d四個電極，將導體放在勻強磁場之中，a、b間通以電流I，c、d間就會出現電勢差，只要測出這個電勢差U的值，就可測得磁感應強度B。試推導B的表達式。

解析 設c、d間電勢差已達到穩定，則U=Eh，此時導電的自由電荷受到的電場力與洛倫茲力相平衡，即 其中v為定向移動的速度。

由此可知：B=Ev=Uhv。

我們知道導體中的電流I=nqSv=nqhdv，其中S為導體橫截面積，n為單位體積內的自由電荷數。得到v=Inqhd。

所以磁感應強度B=nqdUI。使用時，只要將裝置先在已知磁場中定出相關系數，就可通過測定U便來確定B的大小了。

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文