電場(chǎng)和磁場(chǎng)控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析

隨著高考改革的深入，一些聯(lián)系實(shí)際、實(shí)用性很強(qiáng)的試題越來越多。與電場(chǎng)和磁場(chǎng)相關(guān)的電場(chǎng)力和洛倫茲力的綜合運(yùn)用問題是常見的一種。本文精選出典型實(shí)例進(jìn)行歸類分析，供讀者參考。

1 電場(chǎng)和磁場(chǎng)\"拼接起來\"對(duì)帶電粒子作用

實(shí)例1、質(zhì)譜儀

例1 如圖1所示是測(cè)量帶電粒子質(zhì)量的儀器—質(zhì)譜儀的工作原理示意圖。設(shè)法使某有機(jī)化合物的氣態(tài)分子導(dǎo)入圖1中所示的容器A中，使它受到電子束轟擊，失去一個(gè)電子成為正一價(jià)的分子離子。分子離子從狹縫S1以很小的速度進(jìn)入電壓為U的加速電場(chǎng)區(qū)（初速度不計(jì)）加速后，再通過狹縫S2、S3射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（方向垂直于磁場(chǎng)區(qū)的界面PQ）中。最后，分子離子打到感光片上，形成垂直于紙面且平行于狹縫S3的細(xì)線。若測(cè)得細(xì)線到狹縫S3的距離為d。請(qǐng)導(dǎo)出分子離子的質(zhì)量m的表達(dá)式。

解析 若以m、q表示離子的質(zhì)量和電量，用v表示離子從狹縫S2射出時(shí)的速度，粒子在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得12mv2=qU(1)

射入磁場(chǎng)后，在洛倫茲力作用下離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓定律可得qvB=mv2R(2)

式中R為圓的半徑。感光片上細(xì)黑線到S3縫的距離為：d =2R(3)

聯(lián)立(1)~(3)式，解得m=qB2d28U

實(shí)例2、顯像管

例2 顯像管的簡(jiǎn)要工作原理是陰極K發(fā)射的電子束經(jīng)高壓加速電場(chǎng)（電壓為U）加速后，進(jìn)入放置在其頸部的偏轉(zhuǎn)線圈形成的偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)后的電子轟擊熒光屏，熒光粉受激發(fā)而發(fā)光， 圖2-a為電視機(jī)顯像管原理簡(jiǎn)圖。一同學(xué)家中電視機(jī)畫面的幅度偏小，維修店的技術(shù)人員檢查后診斷為顯像管或偏轉(zhuǎn)線圈出了故障（顯像管與偏轉(zhuǎn)線圈如圖所示2-b），試分析引起故障的原因可能是

A.電子槍發(fā)射的電子數(shù)減少。

B.加速電場(chǎng)的電壓過高，電子速度偏大。

C.偏轉(zhuǎn)線圈的電流過小，偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)減弱。

D.偏轉(zhuǎn)線圈匝間短路，線圈匝數(shù)減少。

解析 電燈絲發(fā)出的電子（速度視為零）經(jīng)加速電壓U加速，由動(dòng)能定理有：

eU=12mv2（1）

通過偏轉(zhuǎn)線圈時(shí)（視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)處理）有

r=mveB(2)

由(1)、(2)式解得r=1B2mUe（3）

電子經(jīng)過偏轉(zhuǎn)線圈的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖3實(shí)線所示，豎直線BO為熒光屏。可見，偏轉(zhuǎn)半徑r越大，偏轉(zhuǎn)量越小，熒光屏上的畫面幅度越小。應(yīng)選項(xiàng)B、C、D正確。

實(shí)例3、環(huán)形加速器

例3 如圖4(a)所示為一種獲得高能粒子的裝置--環(huán)形加速器，環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、大小可調(diào)節(jié)的均勻磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、電量為+q的粒子在環(huán)中做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來電勢(shì)都為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板時(shí)，A板電勢(shì)升高為+U，B板電勢(shì)仍保持為零，粒子在兩極板間的電場(chǎng)中得到加速。每當(dāng)粒子離開時(shí)，A板電勢(shì)又降為零，粒子在電場(chǎng)一次次加速下動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑不變。

⑴設(shè)t=0時(shí)，粒子靜止在A板小孔處，在電場(chǎng)作用下加速，并開始繞行第一圈，求粒子繞行n圈回到A板時(shí)獲得的總動(dòng)能En。

⑵為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bn。

⑶求粒子繞行n圈所需的總時(shí)間tn（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）。

⑷在圖4(b)中畫出A板電勢(shì)u與時(shí)間t的關(guān)系（從t=0起畫到粒子第四次離開B板）。

⑸在粒子繞行的整個(gè)過程中A板電勢(shì)是否可始終保持+U？為什么？

解析⑴因粒子每繞行一圈，其增加的能量為qU，所以，繞行第n圈時(shí)獲得總動(dòng)能為En = nqU

⑵由⑴可求得第n圈的速度，

由12mv2n=nqU，得vn=2nqUm

在磁場(chǎng)中，由牛頓定律得qBnvn=mv2nR

即Bn=1R 2nmUq

⑶粒子始終保持做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以第一圈的時(shí)間t = 2πR/v，顯然因粒子能量不同，其速度也不同，粒子在第一圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，有12mv21=qU 即：v1=2qUm

同理，粒子在第二圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，有12mv22=2qU 即：v2=2·2qUm

第n圈的速度為vn=n·2qUm

故繞行n圈所需總時(shí)間為t=t1+t2+……+tn=2 πRv1+2πRv2+…+2πRvn

即t=2πR=m2qU(1+12+13+…+1n)

⑷A極電勢(shì)U隨時(shí)間t變化的圖象如圖5所示。

⑸不可以，因?yàn)檫@樣會(huì)使粒子在A、B兩極板之間飛行時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)其做正功+qU，從而使之加速，在A、B板之外（即回旋加速器內(nèi)）飛行時(shí)，電場(chǎng)又對(duì)其做負(fù)功 - qU，從而使之減速。粒子繞行一周電場(chǎng)對(duì)其所做總功為零，能量不會(huì)增加。

實(shí)例4、回旋加速器

例4 回旋加速器是用來加速帶電粒子的裝置，它的核心部分是兩個(gè)D型金屬扁盒，如圖6所示，盒正中間開有一個(gè)窄縫，在兩個(gè)D形盒之間加交流電壓，于是在縫隙中形成交變電場(chǎng)，由于電屏蔽作用，在D型盒內(nèi)部電場(chǎng)很弱。D型盒裝在真空容器中，整個(gè)裝置放在巨大電磁鐵的兩極之間，磁場(chǎng)方向垂直于D型盒的底面。

回旋加速器的工作原理如圖7所示。放在A0處的粒子源發(fā)出一個(gè)帶正電的粒子，它以某一速率V0垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過半個(gè)周期，當(dāng)它沿著圓弧A0A1到達(dá)A1時(shí)，在A1A1′處造成一個(gè)向上的電場(chǎng)，使這個(gè)帶電粒子在A1A1′受到一次電場(chǎng)加速，速率由V0增加到V1。然后粒子以速率V1在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。我們知道，粒子的軌道半徑跟它的速率成正比，因而粒子沿著半徑增大了的圓周運(yùn)動(dòng)。又經(jīng)過半個(gè)周期，當(dāng)它沿著半圓弧A1′A2′到達(dá)A2′時(shí)，在A2′A2處造成一個(gè)向下電場(chǎng)，使粒子又一次受到電場(chǎng)的加速，速率增加到V2。如此繼續(xù)下去，每當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到窄縫處時(shí)都使它受到電場(chǎng)的加速，粒子將沿著圖示螺線A0A1A1′A2′A2……回旋下去，速率將一步一步地增大。

已知回旋加速器的D型盒半徑為R=60cm。兩盒間距1cm，用它加速質(zhì)子時(shí)可使每個(gè)質(zhì)子獲得4MeV的能量，加速電壓為U=2×104V。求（1）該加速器中偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）質(zhì)子在D型盒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）整個(gè)過程中，質(zhì)子在運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 。

解析 （1）因?yàn)橘|(zhì)子動(dòng)能EK=12mv2，所以質(zhì)子速度v=2EKm；

質(zhì)子離開加速器時(shí)Bqv=mv2R

得B=mvRq=1Rq2mEK=0.47(T)

(2)質(zhì)子經(jīng)過加速電場(chǎng)速度不斷被加速，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不斷增大，依次為：

R1=2m·qUBq，R2=2m·2qUBq，……，Rn=2m·nqUBq。

由于Rn=R，所以n=B2q2R22mqU=B2qR22mU而圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=2πmBq

這樣可求得質(zhì)子在D型盒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=n·T2=πBR22U=1.39×10-5（s）

（3）質(zhì)子第一次被加速后：qU=12mv21 得v1=2qUm

質(zhì)子第二次被加速后：2qU=12mv22 得v2=4qUm

……

質(zhì)子第n次被加速后：2nqU=12mvn2 得v2=2nqUm

這樣t1=2dv1，t2=2dv1+v2，……

質(zhì)子在電場(chǎng)中加加速的時(shí)間t''=t1+t2+…

顯然，在整個(gè)過程中，質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t總=t''+t=1.45×10-7（S）

2 電場(chǎng)和磁場(chǎng)“重疊起來”對(duì)帶電粒子的作用

實(shí)例5、速度選擇器

例5 在圖8所示的平行板器件中，電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B相互垂直。具有某一水平速度v的帶電粒子，將沿著圖中所示的虛線穿過兩板間的空間而不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，具有其他速度的帶電粒子將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。這種器件能把具有上述速度v的帶電粒子選擇出來，所以叫速度選擇器。如果已知粒子A（重力不計(jì)）的質(zhì)量為m、帶電量為+q，兩極板間距為d，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。

（1）試證明帶電粒子具有速度v=EB時(shí)，才能沿著圖示的虛線路徑通過。

（2）若粒子A從圖8的右端兩極板中央以-v入射，還能直線從左端穿出嗎？為什么？若不穿出而打在極板上，則到達(dá)極板時(shí)的速度是多少？

（3）若粒子A的反粒子（-q，m）從圖8的左端以v入射，還能直線從右端穿出嗎？

（4）將磁感應(yīng)強(qiáng)度增大到某值，粒子A將落到極板上，粒子落到極板時(shí)的動(dòng)能為多少？

解答 ⑴帶電粒子A進(jìn)入場(chǎng)區(qū)后，受到庫侖力F1=Eq和洛倫茲力F2=Bqv的作用，如果帶電粒子穿過兩板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，應(yīng)有F1=F2，即Eq=Bqv。所以v=EB。

（2）粒子A在選擇器的右端入射，電場(chǎng)力與洛倫茲力同方向，因此不可能直線從左端穿出，一定偏向極板。若粒子打在極板上，由動(dòng)能定理得qE·d2=12m(v'2-v2)

由于E = BV，所以v'=v2+qBdvm。

（3）仍能直線從右端穿出，有（1）可知，選擇器（B，E）給定時(shí)，與粒子的電性、電量無關(guān)，只與速度有關(guān)。

（4）增大磁感應(yīng)強(qiáng)度B為B'后，有F2 >F1，即qvB > qE，因此粒子A將偏向下極板，最終落到下極板。

由動(dòng)能定理-qE·d2=12m(v''2-v2)

得Ek'=12mv''2=12mv2-12qEd=12mv2-12qBvd

實(shí)例6、磁流體發(fā)電機(jī)

例6 目前世界上正在研究的一種新型發(fā)電機(jī)叫做磁流體發(fā)電機(jī)。這種發(fā)電機(jī)可以直接把內(nèi)能轉(zhuǎn)化為電能，它的發(fā)電原理是：將一束等離子體（即高溫下電離的氣體，含有大量帶正電和帶負(fù)電的微粒，而從整體來說呈中性）噴射入磁場(chǎng)，磁場(chǎng)中A、B金屬板上會(huì)聚集電荷，產(chǎn)生電壓，設(shè)A、B兩平行金屬板的面積為S，彼此相距L，等離子體氣體的電導(dǎo)率為σ（即電阻率的倒數(shù)），噴入速度為v，板間磁感應(yīng)強(qiáng)度B與氣流方向垂直，與板相連的電阻阻值為R，如圖9所示，問流過R的電流I為多少？

解析 磁流體發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)為外電路斷開時(shí)電源兩極間的電勢(shì)差，當(dāng)?shù)入x子體勻速通過A、B極板時(shí)，A、B兩板間的電勢(shì)差達(dá)到最大。設(shè)等離子體每個(gè)微粒的電量為q，則當(dāng)?shù)入x子體勻速通過A、B兩板時(shí)，有qvB=qE

電源電動(dòng)勢(shì)為ε=EL=vBL

電源內(nèi)阻為r=ρLS=LσS

根據(jù)全電路歐姆定律，流過R的電流為I=εR+r=vBLR+LσS=vBLσSL+RσS。

實(shí)例7、電磁流量計(jì)

例7 電磁流量計(jì)是對(duì)管道內(nèi)部流體流動(dòng)沒有任何阻礙的儀器，廣泛應(yīng)用于測(cè)量高粘度及強(qiáng)腐蝕性流體的流量（在單位時(shí)間內(nèi)通過管內(nèi)橫截面的流體的體積）。假設(shè)流量計(jì)是如圖10所示的橫截面為長(zhǎng)方形的一段管道，其中空部分的長(zhǎng)、寬、高分別為圖中的a、b、c。流量計(jì)的兩端與輸送流體的管道相連接（圖中虛線），流量計(jì)的上下兩面是金屬材料，前后兩面是絕緣材料。現(xiàn)在流量計(jì)所在處加磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于前后兩面，當(dāng)導(dǎo)電流體穩(wěn)定地流經(jīng)流量計(jì)時(shí)，在管外將流量計(jì)上、下兩表面與串接了電阻R的電流表的兩端連接，I為測(cè)得的電流值。已知液體的電阻率為ρ，不計(jì)電流表的內(nèi)阻，則可求得流量為

A.IB(bR+ρca) B.IB(aR+ρbc)

C.IB(cR+ρa(bǔ)b) D.IB(R+ρbca)

解析 當(dāng)導(dǎo)電液流動(dòng)時(shí)，流體中定向移動(dòng)離子受洛侖茲力作用，在上下金屬板上就會(huì)聚集電荷，產(chǎn)生電場(chǎng)。當(dāng)導(dǎo)電液勻速運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，設(shè)導(dǎo)電液中離子的電量為q，運(yùn)動(dòng)速度為v，穩(wěn)定時(shí)，有qvB = qE，所以此時(shí)上下兩極板及其內(nèi)部流體可認(rèn)為是一電源，該電源的電動(dòng)勢(shì)為：ε = Ec= vBc

根據(jù)電阻定律，電源內(nèi)阻為r=ρcab

由全電路歐姆定律I=εR+r=BVcR+ρcab

解得IBC(R+ρcab)

故流量為Q=Sv=（ab）IBc(R+ρcab)=IB(bR+ρca)

即選項(xiàng)A是正確的。

實(shí)例8、電磁泵

例8 在原子反應(yīng)堆中抽動(dòng)液態(tài)金屬或在醫(yī)療器械中抽動(dòng)血液等導(dǎo)電液體時(shí)，由于不允許傳動(dòng)的機(jī)械部分與這些液體相關(guān)接觸，常使用一種電磁泵，圖11為這種電磁泵的結(jié)構(gòu)。將導(dǎo)管放在磁場(chǎng)中，當(dāng)電流穿過導(dǎo)電液體時(shí)，這種液體即被驅(qū)動(dòng)。問：

⑴這種電磁泵的原理是怎樣的？

⑵若導(dǎo)管內(nèi)截面積S=bh，磁場(chǎng)視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，寬度為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，液體穿過磁場(chǎng)區(qū)域的電流強(qiáng)度為I，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的導(dǎo)管兩端形成的壓強(qiáng)差為多少？

解析 ⑴這種電磁泵的原理是：當(dāng)電流流過液體時(shí)，液體即成為截流導(dǎo)體，在磁場(chǎng)中將受到磁場(chǎng)力的作用，力的方向由左手定則判定知，液體將沿圖中V方向流動(dòng)。

⑵設(shè)驅(qū)動(dòng)力形成的壓強(qiáng)差為△p，則有△p·S=F

即△p·bh = IhB

所以△p=BI / b

實(shí)例9、磁強(qiáng)計(jì)

例9 磁強(qiáng)計(jì)實(shí)際上是利用霍爾效應(yīng)來測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度B的儀器。其原理可解釋為：如圖12所示的一塊導(dǎo)體接上a、b、c、d四個(gè)電極，將導(dǎo)體放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)之中，a、b間通以電流I，c、d間就會(huì)出現(xiàn)電勢(shì)差，只要測(cè)出這個(gè)電勢(shì)差U的值，就可測(cè)得磁感應(yīng)強(qiáng)度B。試推導(dǎo)B的表達(dá)式。

解析 設(shè)c、d間電勢(shì)差已達(dá)到穩(wěn)定，則U=Eh，此時(shí)導(dǎo)電的自由電荷受到的電場(chǎng)力與洛倫茲力相平衡，即 其中v為定向移動(dòng)的速度。

由此可知：B=Ev=Uhv。

我們知道導(dǎo)體中的電流I=nqSv=nqhdv，其中S為導(dǎo)體橫截面積，n為單位體積內(nèi)的自由電荷數(shù)。得到v=Inqhd。

所以磁感應(yīng)強(qiáng)度B=nqdUI。使用時(shí)，只要將裝置先在已知磁場(chǎng)中定出相關(guān)系數(shù)，就可通過測(cè)定U便來確定B的大小了。

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文