電勢高低的比較與電勢差的計算

在電磁學理論中，電勢高低的比較是定性分析的基礎，而電勢與電勢差的計算則對于電場及電路問題的求解所起的作用至關重要。

1 電場電路中電勢高低比較的實例分析。

1.1 地磁場中電勢高低的比較。

例1 判斷飛機在地面上方水平飛行時，機翼兩端電勢的高低。

分析 飛機水平飛行時機翼兩端產生電勢差的原因是由于飛機飛行中切割了地磁場的磁感線。由于在北半球地磁場磁感應強度的豎直分量向下，根據右手定則可以判斷，無論飛機向著什么方向水平飛行，都是機翼左端的電勢高；而在南半球由于地磁場磁感應強度的豎直分量向上，因此飛機水平飛行時一定是機翼右端的電勢高。

1.2 自感現象中電勢高低的比較。

例2 在圖1所示的電路中，線圈L的直流電阻忽略不計，開始時電鍵S閉合，現突然斷開電鍵，則在斷開電鍵的瞬間，比較C、D兩點間電勢的高低，結果是ΦCΦD。

分析 斷開電鍵S后，線圈L中要產生自感電動勢阻礙電流的減小，根據楞次定律可知，這一自感電動勢的方向與原電動勢的方向相同，由于此時L在這里充當著電源，而在電源內部電動勢的方向從負極指向正極，因此C端電勢高于D端電勢。

1.3 電磁振蕩中電勢高低的比較。

例3 在圖2所示的LC振蕩電路中，從開關S撥到2開始計時，在t=0時刻，電容器下極板帶正電，在34T~T時間內，比較電路中A、B兩點電勢的高低。

分析 由于t=0時刻電容器下極板帶正電，而當電容器電荷量隨時間變化的q-t圖線按余弦規律變化時，在34T~T時間內，電容器極板電性與t=0時相同，因此在這一時段內，必定是與電容器帶正電下極板相連的B點電勢高。

2 根據疊加原理計算電勢。

例4 如圖3所示，真空中有三個電荷皆為q的均勻帶電薄球殼，其半徑分別為R、R2、R4，三球殼彼此內切于P點（在P點各球殼彼此絕緣），球心分別為O1、O2、O3，求O3與O1兩點之間的電勢差。

分析 依據點電荷的電勢公式Φ=KqR計算電勢時，要特別注意內外有別：由于每一球殼都是等勢體，因此該導體球殼內部任意一點的電勢都與導體表面的電勢相等；而在計算導體球殼外部某點的電勢時，則可以把球殼看成電荷量集中于球心的點電荷。∵點O3位于這三個帶電球殼的內部，所以點O3的電勢Φ3=K（qR+qR/2+qR/4）=7KqR；而點O1位于半徑為R的薄球殼內，位于半徑為R2的薄球殼上，位于半徑為R4的薄球殼外，因此點O1的電勢Φ1=K（qR+qR/2+qR/2+R/4）=13Kq3R，∴點O3與O1之間的電勢差Φ3-Φ1=8Kq3R。

3 根據補償原理計算電勢。

例5 電荷量q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R，CD通過半球頂點C與球心O的軸線，P、Q為CD軸線上位于O點兩側距O點等距離的兩點（圖4），已知P點的電勢為ΦP，求Q點的電勢ΦQ。

分析 設想半球ACB為完整球面的一部分，則整個球面均勻帶有電荷量2q，根據均勻帶電球殼內部任意一點處電勢與球殼表面電勢相等的條件可知Φ=K2qR。由于此電勢是ACB半球和另一半球在P點電勢疊加的結果，設另一半球在P點的電勢為Φ′P，則ΦP+Φ′P=K2qR，∴Φ′P=K2qR-ΦP，又依據均勻帶電球殼所具有的對稱性可知，所求Q點的電勢即相當于假設的另一半球在P點的電勢ΦQ=Φ′P=K2qR-ΦP。

4 根據導體的靜電平衡計算電勢。

例6 有兩個相距很遠的銅球，A球半徑為6cm，電勢為300V；B球半徑為4cm，電勢為150V，如果用一根銅線將它們連接起來，求連接后兩球的電勢為多少？

分析 以無窮遠為電勢零點，根據點電荷的電勢公式可知ΦA=KqAr1，ΦB=KqBr2。當用銅線將二者連接后，由于連接前ΦA>ΦB，因此連接過程中盡管有自由電子從B球轉移到A球，但兩球總電荷量仍然守恒，并且A球電勢降低、B球電勢升高的最終結果，必定會使A、B兩球成為電勢相等的等勢體。

針對上述連接過程列出方程組

q′A+q′B=qA+qB=ΦAr1K+ΦBr2K

Φ=Kq′Ar1=Kq′Br2后可以解得

q′A=ΦAr1+ΦBr2K（r1+r2）r1，

q′B=ΦAr1+ΦBr2K（r1+r2）r2；

∴Φ=ΦAr1+ΦBr2r1+r2=240V。

5 根據電勢能的變化計算電勢。

例7 在圖5中，將正點電荷Q1和Q2分別置于A、B兩點，其間距離為L，現以L為直徑作半圓，試求：

①在此半圓上電勢最低點P的位置；

②該點電勢的最小值Φmin。

分析 直接借助點電荷的電勢公式求KQ1Lcosθ+KQ2Lsinθ(自變量θ為PA與AB間夾角)數學極值的方法不宜采用，我們可借助沿半圓弧移動電荷時電場力做功使電荷電勢能發生變化的角度求解：將點電荷+q置于半圓弧上的P點，它所受Q1、Q2的庫侖斥力F1、F2分別沿AP及BP的延長線方向，如果這兩個相互垂直的力的合力其方向恰好沿半徑OP的延長線方向，此時P點即為所求。這是由于圓弧上P點左側各點（例如P1）所受庫侖斥力的合力方向偏離該點半徑延長線方向向右，P點右側各點（例如P2）所受庫侖斥力的合力方向偏離該點半徑延長線方向向左，因此沿圓弧從P1到P2移動+q時，電場力必定先做正功后做負功，可見P點就是圓弧上+q電勢能最小的位置，即電勢最低的位置。此時F1F2=KQ1qr21/KQ2qr22=Q1Q2(r2r1)2，再根據F2=F1tanθ及r1=Lcosθ，r2=Lsinθ立即可得P點位置滿足的條件tan3θ=Q2Q1，P點電勢ΦP=KQ1Lcosθ+KQ2Lsinθ=KQ1L1cos3θ=KQ1L(1cos2θ)3/2=KQ1L(1+tan2θ)3/2=KL(Q12/3+Q12/3tan2θ)3/2=KL(Q12/3+Q12/3)3/2。

6 電磁感應中電勢差的計算。

例8 如圖6-甲所示，將單位長度電阻為ρ的同種規格的金屬絲做成邊長分別為a和b的長方形線框，在垂直線框的平面上加一磁感應強度按ΔBΔt(ΔBΔt>0)的規律均勻變化的磁場，求接在M、N兩點間理想電壓表的示數。

分析 由于垂直紙面向里的磁場為增強型，根據楞次定律可知，在金屬線框中將產生逆時針方向的感應電流，這是變化的磁場產生的電場，其作用效果相當于無數多個小電源沿同一方向串聯，因此，該電路可等效為圖6-乙所示的形式。

由于ε1=（b-c）aΔBΔt，ε2=caΔBΔt；r1=ρ（a+2b+c），r2=ρ(a+2c);

而I總=abρ(2a+2b)ΔBΔt，因此UMN=ε2-I總r2=I總r1-ε1=a2(2c-b)2(a+b)ΔBΔt就是接在M、N兩點之間理想電壓表的示數。

7 霍爾效應中電勢差的計算。

例9 將橫截面積為a×d的長方體金屬塊置于勻強磁場中，磁感應強度B的方向垂直于金屬塊側面，當金屬塊中通以自左向右方向的電流（圖7）時，比較金屬塊上下表面M、N兩點間電勢的高低，并具體說明霍爾電場的電場強度與哪些因素有關。

分析 當金屬塊中通以自左向右方向的電流時，在它的上下兩面（M、N兩點）之間就會產生一定的電勢差，這種在垂直于電流及磁場的方向上導體或半導體兩側面之間產生橫向電場的現象被稱為霍爾效應，是1879年由美國物理學家霍爾在進行銅箔試驗時首先發現的。

現設截流子的電荷量為q，單位體積內的個數為n，根據電流微觀實質的含義可以寫出公式I=nqsv(式中s=a×d為金屬塊的橫截面積，v為載流子定向移動的速率)。此時如果形成電流的載流子是正電荷，則根據右手定則+q將向上極板方向偏轉，使ΦM>ΦN，這將在上下兩面之間形成自上而下的附加電場，由于穩定情況下附加電場對載流子向下的電場力qE=qUd與向上的洛倫茲力qvB相平衡，因此UMN=1nqIBa，式中的K=1nq就是所謂的“霍爾系數”。

而如果形成電流的載流子是負電荷，則向左運動的負電荷將向上極板方向偏轉，結果造成ΦM>ΦN，但由于此時q為負值，因此公式UMN=1nqIBa仍然成立，這表明霍爾電場的電場強度E與電流I及磁感應強度B的乘積成正比、與載流子濃度成反比的關系具有普遍性（E=UMNd=IBnqs），只是相同的電流方向對于電性不同的載流子來說將會產生不同的宏觀效果。

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文