一道高考題的多解與多變

題目 兩根相距d=0.20m的平行金屬長導軌固定在同一水平面內，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應強度B=0.2T，導軌上面橫放著兩條金屬細桿，構成矩形回路，每條金屬細桿的電阻為r=0.25Ω，回路中其余部分的電阻可不計。已知兩金屬細桿在平行于導軌的拉力的作用下沿導軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如圖1所示。不計導軌上的摩擦。

(1)求作用于每條金屬細桿的拉力的大小。

(2)求兩金屬細桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產生的熱量。（1995年全國高考題）

這類“導電滑軌”問題，要涉及到法拉第電磁感應定律、磁場對電流的作用、金屬桿的“運動、受力和平衡”、電路中的能量轉化等物理知識。它要求學生能根據物體的受力情況，對物體的運動性質、運動速度和加速度的變化情況作出準確的判斷，對電路中能量轉化情況作出分析。這類問題綜合性強，涉及的物理過程復雜多變，因此是歷年來高考的熱點問題。

解法１ (1)當兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產生的感應電動勢分別為：ε1=ε2=Bdv①

由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度：I=ε1+ε22r②

因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為：F1=F2=IBd③

由①②③式并代入數據得：

F1=F2=B2d2vr

=(0.2)2×(0.2)2×5.00.25N

=3.2×10-2N

(2)設兩金屬桿之間增加的距離為△L，則兩金屬桿共產生的熱量

Q=I2·2r·ΔL2v④

將④代入數據得：Q=1.28×10-2J

解法2 (1)當兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產生的感應電動勢均為 ， 回路中的總電動勢為ε=2Bdv①

由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度為I=ε2r②

作用于每根金屬桿的拉力的大小(相等)設為F，因拉力與安培力平衡，則有：

F=BId③

由上述三式并代入數據解得：F=3.2×10-2N

(2)同解法1。

解法3 （1）兩金屬桿都以速度v勻速滑動，據能的轉化和守恒定律知，拉力的機械功率轉化為電路的電功率，因而有：

f· 2v=ε22r①

而ε=2Bdv②

由①②式并代入數據得：F=B2d2vr=（0.2）2×(0.2)2×5.00.25N=3.2×10-2N

（2）據能的轉化和守恒知:Q=WF=F·ΔL=3.2×10-2×0.40J=1.28×10-2J

上述的解法1和2，按照常規思路，分步進行解答，一目了然。解法3，從能量的角度入手，別開生面，避繁就簡，使問題迅速獲解。這是一種跨躍的創新思維。

變換1 兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態。現有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？

本題與例1看似相同，但兩金屬桿的運動大相徑庭。前者的金屬桿做勻速平移，而后者，兩金屬桿由靜止開始做變加速運動——。

解 設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經過很短時間Δt，桿甲移動距離v1Δt，桿乙移動距離v2Δt，回路面積改變

ΔS =［(x-v2Δt)+v1Δt］+t-lx=(v1-v2)lΔt

由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢ε=BΔSΔt

回路中的電流i=ε2R

桿甲的運動方程F-Bli=ma

由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量 時為0）等于外力F的沖量Ft=mv1+mv2

聯立以上各式解得

v1=12［Ftm+2RB2F(F-ma)］

v2=12［Ftm-2RB2I2(F-ma)］

代入數據得v1=8.15m/s；v2=1.85m/s

變換2 兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為l。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖3所示。兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感強度為B。設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0（見圖3）。若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：

（1）在運動中產生的焦耳熱最多是多少。

（2）當ab棒的速度變為初速度的3/4時，cd棒的加速度是多少？

本題兩棒的受力情況和運動情況與例1的兩棒截然不同，因而分析的思路和方法也不相同。兩棒之間的相互作用過程，與兩物體之間的完全非彈性碰撞過程相似。

解 ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流。 ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動。在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速。兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動。

（1）從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，由動量守恒定律得：

mv0=2mv①

據能量守恒，在整個過程中產生的總熱量為：

Q=12mv20-12(2m)v2=14mv20②

（2）設ab棒的速度變為初速度的3/4時，cd棒的速度為v'，則由動量守恒定律可知

mv0=m34v0+mv'③

此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為ε=(34v0-v')Bl④

I=ε2R⑤

此時cd棒所受的安培力FIBl⑥

cd棒的加速度a=Fm⑦

由以上各式解得：a=B2l2v04mR

變換3 圖4中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌所在的平面(紙面)向里。導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1y1與x2y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m1和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。

解 設桿向上運動的速度為v，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小

ε=b（l2-l1）v①

回路中的電流I=εR②

電流沿順時針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x1y1的安培力為

f1=Bl1I③

方向向上，作用于桿x2y2的安培力

f2=Bl2I④

方向向下。當桿作為勻速運動時，根據牛頓第二定律有

F-m1g-m2g+f1-f2=0⑤

解以上各式，得I=F-(m1+m2)gB(l2-l1)⑥

v=F-(m1+m2)gB2(l2-l1)2R⑦

作用于兩桿的重力的功率的大小

P=(m1+m2)gv⑧

電阻上的熱功率Q=I2R⑨

由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得

P=F-(m1+m2)gB2(l2-l1)2R(m1+m2)g⑩

Q=［F-(m1+m2)gB(l2-l1)］2R○11

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文