方程與不等式相結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題的解法

人教版七年級(jí)教材中的“二元一次方程組”和“一元一次不等式組”中都涉及到了應(yīng)用性問(wèn)題．題目中較難的就是將方程與不等式結(jié)合到一起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．下面舉一些例子，來(lái)談?wù)勥@類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題的解決方法．

例1：某中學(xué)計(jì)劃用勤工儉學(xué)收入的66元錢(qián)，同時(shí)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙三種紀(jì)念品，獎(jiǎng)勵(lì)參加校“藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)的同學(xué)．已知購(gòu)買(mǎi)乙種紀(jì)念品的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)多2件，而購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)不少于10件，且購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半．若購(gòu)買(mǎi)的甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了66元錢(qián)，問(wèn)可以有幾種購(gòu)買(mǎi)方案，每種方案中購(gòu)買(mǎi)的甲、乙、丙三種紀(jì)念品各多少件?

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品x件，丙種紀(jì)念品y件，則乙種紀(jì)念品(x+2)件．

答：可以有兩種購(gòu)買(mǎi)方案．購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙紀(jì)念品的件數(shù)分別為10件、12件、12件或11件、13件、7件．

［評(píng)析：解此題的關(guān)鍵是由①②出發(fā)，組成一元一次不等式組，求出x的范圍，從而結(jié)合實(shí)際問(wèn)題得到x的值，再代入③求y的值．］

例2：某服裝廠(chǎng)現(xiàn)有A種布料70m、B種布料52m，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號(hào)的時(shí)裝共50套．已知做一套M型號(hào)時(shí)裝需要用A種布料O．6m、B種布料0．9m，可獲利潤(rùn)45元；做一套N型號(hào)的時(shí)裝需要用A種布料1．1m，B種布料0．4m，可獲利潤(rùn)50元．請(qǐng)你設(shè)計(jì)最佳生產(chǎn)方案．

解：設(shè)生產(chǎn)M型號(hào)時(shí)裝x套，N型號(hào)時(shí)裝y套．

答：最佳生產(chǎn)方案為生產(chǎn)M型號(hào)時(shí)裝36套，N型號(hào)時(shí)裝14套．

［評(píng)析：解此題的關(guān)鍵是由①出發(fā)，用一個(gè)未知量來(lái)表示另一個(gè)未知量，代入②、③中得到一個(gè)一元一次不等式組，達(dá)到消元的目的．］

例3：建網(wǎng)就等于建一所學(xué)校，某中學(xué)擬投資建一個(gè)初級(jí)計(jì)算機(jī)房和高級(jí)計(jì)算機(jī)房，每個(gè)計(jì)算機(jī)房只配制1臺(tái)教師機(jī)若干臺(tái)學(xué)生機(jī)，其中初級(jí)機(jī)房教師機(jī)每臺(tái)8000元，學(xué)生機(jī)3500元／臺(tái)；高級(jí)機(jī)房教師機(jī)11500元／臺(tái)，學(xué)生機(jī)7000元／臺(tái)．已知兩機(jī)房購(gòu)買(mǎi)計(jì)算機(jī)的總錢(qián)數(shù)相等，且每個(gè)機(jī)房購(gòu)買(mǎi)計(jì)算機(jī)的總錢(qián)數(shù)不少于20萬(wàn)元也不超過(guò)21萬(wàn)元．則該校擬建的初級(jí)機(jī)房、高級(jí)機(jī)房各應(yīng)有多少臺(tái)計(jì)算機(jī)?

解：設(shè)初級(jí)機(jī)房有x臺(tái)計(jì)算機(jī)，高級(jí)機(jī)房有y臺(tái)計(jì)算機(jī)．

答：初級(jí)機(jī)房有56臺(tái)計(jì)算機(jī)，高級(jí)機(jī)房有28臺(tái)計(jì)算機(jī)或初級(jí)機(jī)房有58臺(tái)計(jì)算機(jī)，高級(jí)機(jī)房有29臺(tái)計(jì)算機(jī)．

［評(píng)析：解此題的關(guān)鍵是由②③出發(fā)，求出x、y的范圍、，從而結(jié)合實(shí)際問(wèn)題得到x、y的值，再由①對(duì)所求得的x、v的值進(jìn)行分組，從而得到問(wèn)題的解．］

例4：大、小盒子共裝球99個(gè)，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，小盒子裝5個(gè)，恰好裝完，盒子個(gè)數(shù)大于10個(gè)，問(wèn)：大、小盒子各多少個(gè)?

解：設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)．

答：大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)．

［評(píng)析：解此題的關(guān)鍵是由①出發(fā)，求出二元一次方程的正整數(shù)解，再由②對(duì)所求得的結(jié)果進(jìn)行取舍．］

下表中列出了以上幾個(gè)題中方程與不等式所起的作用：

我們不難發(fā)現(xiàn)，在解決方程與不等式相結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)突破口．

一般情況下以先解決一元不等式組人手(如例1、例3)，當(dāng)沒(méi)有一元不等式時(shí)需利用方程將一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)，通過(guò)消元，得到一元不等式組(如例2)；當(dāng)利用不等式組確定了未知數(shù)的范圍，從而確定整數(shù)值，然后可以利用方程求另一個(gè)未知數(shù)的值(如例1、例2)，有的可以利用方程對(duì)所求得的未知數(shù)值進(jìn)行分組(如例3)．

如果從不等式人手不能解決，可以從方程人手，求方程的整數(shù)解，然后利用不等式對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行取舍(如例4)．

(作者單位：哈爾濱市風(fēng)華中學(xué))

編輯／張燁

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