智慧的美麗

張小慧

[教學片斷]這是一節數學練習課，其中有一道題是這樣的：

小強和伙伴們買了10瓶汽水，店主告訴他們，喝完后用3個空汽水瓶可以再換1瓶汽水。問：若不再多花錢，小強他們最多可以喝到多少瓶汽水?

師：下面我給同學們兩分鐘時間，看看這道題該怎樣做，你們先獨立思考，然后同桌交流一下各自的思路。

(兩分鐘后，學生紛紛舉起了手)

師：這么快都算出來了?你們的答案是多少?

生：14瓶。

師：誰來說說你是怎樣算出來的?

生₁：小強他們可以先喝完10瓶汽水，然后留下1個空瓶，用其他9個空瓶換回3瓶汽水，這3瓶汽水喝完后又有3個空瓶可以換1瓶汽水，所以他們最多可以喝10+3+1=14(瓶)汽水。

師：大家同意他的算法嗎?

生：同意。

(此時，我正準備肯定這種思考方法，然而坐在后面的曹燦卻興奮地叫了起來)

曹燦：老師，我不同意，他們還可以再多喝1瓶汽水。

(這倒是我沒料到的，教室里一下子變得十分安靜，大家都好奇地豎起了耳朵)

師：哦，還可以多喝1瓶汽水?說說你的理由。

曹燦：喝完14瓶汽水后還剩下2個空瓶，這時小強他們可以先向店主要1瓶汽水，喝完后正好用3個空瓶換1瓶汽水還給他，這樣不就喝到了15瓶汽水嗎?

(聽了曹燦的解釋，大部分學生都為他鼓掌叫好，我也很興奮)

師：這真是個好主意。小強他們喝到了最多的汽水。店主也回收了所有的空瓶，真正達到了雙贏。

(這時，也有學生提出了疑問)

生₂：老師，如果店主不給他們1瓶汽水，那最多還是喝到14瓶汽水。

他的話音未落，好幾位學生就立刻站起來了。

生₃：既然喝這一瓶汽水對店主沒有任何損失，又沒有賒賬，他沒理由不給。

生₄：對!做生意誠信最重要，咖啡店、酒吧都是先消費后付錢的。

生₅：如果他們沒有曹燦聰明，沒想到這個好主意，就只能喝到14瓶汽水了。

生₆：那樣，就不能回答“最多可以喝到多少瓶汽水”，而應該改成“一共可以喝多少瓶汽水”。

好家伙，知道摳字眼了。看著他們爭論得那么認真，我不由得笑了。這時，另一個有趣的問題突然出現在我腦海里，何不說出來讓他們試一試?

師：剛才，同學們都積極動腦思考并大膽地亮出了自己的觀點，老師很高興。尤其是曹燦，做題時不僅思考表面問題，還從剩下的2個空瓶人手，想出了“借一還一”的辦法，確實不容易。根據生活實際及當今的商業機制，我認為小強他們喝上15瓶汽水是完全可行的。不過，受你們的啟發，我突然想起了數學史上另一道有趣的問題。

有一位阿拉伯老人養了11匹馬，他臨死前給三個兒子留下一份遺囑：大兒子、二兒子和小兒子分別得到11匹馬中的1／2、1／4和1／6。因為馬要分出整數，三個兒子怎么都想不出辦法。后來，聰明的鄰居想出了個好辦法，輕松地把“分馬難題”解決了。你們也來想一想，看誰能最快找到解決的辦法。

這個有趣的問題立刻使學生興奮起來，他們幾人一組展開了討論。很快，有兩個小組就高興地宣布想出的辦法：借一還一。先向別人借1匹馬，這樣就有了12匹馬，然后大兒子、二兒子和小兒子分別分得6匹、3匹、2匹。共計11匹馬，剩下的1匹再還給人家。

有了上一題的提示，這一次學生大多很快能找到解決的辦法，我一點不感到奇怪，但我還是讓他們說說解題思路。

生₇：因為2、4、6都不能整除11，所以要每人分得整數匹馬，必須是2、4、6的最小公倍數12，這樣就少了一匹馬，我們就想到了曹燦的辦法，正好合適。

師：你們確實和那位聰明的鄰居想到了一塊兒，他先借給三兄弟一匹馬，分完后多余的一匹馬正好牽回家。

(看著學生一張張意猶未盡的笑臉，我再一次向他們拋出了問題)

師：同學們，今天這兩道題給了你們哪些啟示呢?

生₈：我覺得曹燦的做法在生活中有實際意義，比如空啤酒瓶可以換酒，以后我爸爸退瓶換酒時也能多喝一瓶了。

師：無論什么樣的情況下都可以多喝一瓶嗎?

生₈：不是。只有剩下的空瓶比規定的空瓶數少1的時候才行。比如5個啤酒瓶能換1瓶啤酒，你有4個空瓶時就可以先喝1瓶啤酒，然后給他5個空瓶。

師：對，這個規律總結得好!那類似“分馬難題”，你們有什么想法嗎?

生₉：我發現如果有5只羊，要分成1／2和1／3，也可以用這種方法。

生₁₀：我們也發現了一組這樣的數，總數是17，分成1／2、1／3和1／9時能用這種方法。

生₁₁(十分得意地)：老師，我發現了一個規律：這一類題的總數是從5開始，后一個數比前面的多6就行。

師：哦，下一個數是23，你說說怎么分可以用“借一還一”的辦法。

生₁₁分成1／2、1／3和1／8時就行了。

師：你說的這個規律是否成立呢?后面的分法有規律嗎?說實話，這些我以前還真沒思考過。今天回去后，有興趣的同學可以繼續思考、驗證。老師要感謝大家，今天給我上了一堂生動的數學課，讓我獲益匪淺。

[反思]有人說，普通教師與優秀教師的區別在于：前者教給學生知識，后者教給學生智慧。我一直希望自己能做后者。在這堂大大超出預設的練習課上，當我不經意間聽到有學生從新的角度得出新的答案時，我沒有在給予評價后就簡單地停下來，而是借學生這種新的解題思路，提出了有趣的“分馬難題”。我有意識地引導學生體會數學之間的聯系，感受數學的整體性，不斷豐富解決問題的策略，激發了學生學習數學的興趣。在表面問題都得到解決后，我再一次引導學生深入思考，總結第一題的規律，鼓勵他們繼續驗證第二題猜測的結論。一堂看似有點“跑題”的數學課，卻有這么多智慧的生成。我覺得值!