奇偶數分析法解題例談

曹勇兵

數學的應用意識和能力作為數學素養的重要組成部分，一直受到人們的廣泛關注，新課標也把增強學生應用數學的意識作為總體目標的一個重要方面。利用奇偶數分析法引導學生解決與生活經驗密切聯系的和具有一定挑戰性、綜合性的問題，不僅可以提高學生解決實際問題的能力，加深對數學知識的理解，而且還能讓學生在解題的過程中感受到數學的思想方法，從而培養學生的應用意識。

問題1桌上放著8只茶杯，5只杯口朝上，3只杯口朝下，將其中的4只翻轉過來(杯口朝上的變為杯口朝下，朝下的變為朝上)，稱為一次運動。問經過若干次運動能否使茶杯的杯口全部朝下?

分析與解：經過若干次實驗，便會發現沒有一次能把茶杯全部翻成杯口朝下。事實上，不管翻轉多少次，總是無法使這8只杯子的杯口全部朝下。

這是因為要使一只茶杯杯口的朝向相反，則該茶杯必須要被翻轉奇數次；要使一只茶杯杯口的朝向不變，則該茶杯要么不被翻動，要么則必須要被翻轉偶數次。現因桌上放著的8只茶杯中有5只杯口朝上，3只杯口朝下，故要使桌上放著的8只茶杯的杯口全部朝下，則茶杯被翻轉的總次數一定是奇數。但由于題中每次“運動”翻轉4只，所以不管經過多少次“運動”，茶杯被翻轉的總次數總是偶數，故要想經過若干次這樣的“運動”使茶杯的杯口全部朝下是不可能的。

問題2甲盒中放有2003個白球和2004個黑球，乙盒中放有足夠多的黑球。現在每次從甲盒中任取兩球放在外面，但當被取出的兩球同色時，需從乙盒中取出一個黑球放入甲盒；當被取出的兩球異色時，便將其中的白球再放回甲盒。這樣經過4005次取、放之后，甲盒中剩下幾個球?各是什么顏色的球?

分析與解：仔細觀察操作規則不難發現，每次操作后，甲盒中球數減少一個，因此經過4005次操作后，甲盒中剩下2003+2004-4005=2(個)球。

每次操作后，白球的個數要么不變，要么減少2個。因此，每次操作后甲盒中白球個數的奇偶性不變，即白球個數應始終為奇數。所以最后剩下的兩個球中，定有一個是白球，另一個則為黑球。

問題3某展覽館共有36個陳列室，如圖標有“0”的室陳列圖片，標有“△”的室陳列實物，鄰室之間都有門相通。有人希望每個室都去一次，而且只去一次，你能設計參觀路線嗎?

分析與解：從圖中可以看出：與“○”室相鄰、有門可通的是“△”室，與“△”相鄰、有門可通的是“○”室，所以走出“○”室時，或者進入“△”室，或者從最后的“○”室走出展覽館；而走出“△”室時，只能進入“○”室。由此可知，到奇數個室，一定在“○”室內；到偶數個室，一定在“△”室內。現圖中共有36個室，如果每室都參觀且僅參觀一次，那么最后必在“△”室內。

所以，無法依題意設計出參觀路線，使之最后從“○”室走出。

隨著我國新一輪數學課程改革的不斷深入，對學生解決實際問題能力的培養已被提到了一個前所未有的高度。實際問題解決的過程是思考、探索與創造的過程．只要教師善于發現和捕捉其中的“亮點”，并注意挖掘利用，困惑迷茫之時定會步入“柳暗花明”之境。

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