例說中學數學問題解決中數學思維的辯證運用

中學數學問題解決中數學思維的辯證運用是指在解決數學問題時，學生根據已知條件運用辯證唯物主義中的普遍聯(lián)系、對立統(tǒng)一、量變和質變等原理思考同一種數學思維的不同思維形式之間或者不同數學思維之間的關系，以有效地組織思維，達到問題解決的目的。

G·波利亞在他的“怎樣解題表”中把問題解決分成四個階段：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧。在這四個階段中，擬定計劃和回顧是兩個最重要的階段，也正是數學問題的辯證思維的突出表現所在。下面主要就這兩個階段進行論述。

一、擬定計劃階段數學思維的辯證運用

學生弄清問題后，就開始擬定計劃。波利亞認為，要擬定計劃就必須先找出已知數和未知數間的關系，也就是找出所有已知條件和結論間的關系。為此，要根據通過第一階段已得到的各表象之間的關系和以前解決問題的經驗，產生直覺，擬定出解決問題的計劃。實現計劃時如果發(fā)現計劃不可行，還要重新通過想象或利用其他條件進行推理，產生新的表象，進行新的直感和想象，產生新的直覺思維，擬定出新的計劃，如此反復。

(2)哪一個是正確的圖形表象？

由擬寫計劃階段的思維過程可以看出：形象思維內部的圖形表象反映圖式表象，圖式表象精確地刻畫圖形表象，直感和想象依賴于表象；邏輯思維中的判斷依賴于推理；直覺思維中的直覺依賴于形象思維中的直感和表象；邏輯思維和形象思維互相滲透，推理和判斷依靠表象進行；直覺思維指出問題解決的方向，引導邏輯思維，邏輯思維檢驗直覺思維。

事實上，每一種數學思維內部及不同數學思維之間除存在上述辯證關系外，還存在其他辯證關系：形象思維中的不同表象間存在有整體和部分、特殊和一般等關系；直感和想象能豐富表象；形象思維是其他各種數學思維的基礎；在思維過程中各種思維互相滲透，互相促進；形象思維是認識過程的感性認識，邏輯思維是理性認識，形象思維要發(fā)展到邏輯思維，通過邏輯思維來進行表述，如此交替往復；形象思維的想象常常能導致創(chuàng)造性思維；直覺思維為創(chuàng)造性思維開辟方向等。

二、回顧階段數學思維的辯證運用

在第四階段，學生回顧自己的問題解決過程時，根據已經有效運用過的表象，重新進行簡要的判斷和推理，檢驗解決過程的正確性，不同的解決方法常常得到運用，具有創(chuàng)造性的方法也時而會出現。

當解決過程完整無誤后，就要對問題本身進行推廣，運用類比、特殊化、一般化，逆向思維等辯證思維方法對問題所包含的圖形表象和圖式表象進行直感和想象，構造出新的表象，產生新的問題，得出有創(chuàng)造性的結論。

顯而易見，由原問題得到五個問題，是通過把條件和結論一般化來實現的，創(chuàng)造性思維在這里體現得很突出。

(責任編輯 劉永慶)

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”