試用向量解答空間幾何問題

岳陽市一中湖南岳陽414000

向量融數和形于一體，具有代數和幾何的雙重身份，是求解代數和幾何問題的新工具．在高中數學教學中應重視和應用好這一有力的工具，以拓展學生的想像力，激發他們創新活力，提高他們分析和解決問題的能力，同時也為學生開辟了廣闊的思維空間、提供了更多的創新機遇。向量概念和思想方法的引入，不僅增大了高中數學知識的容量，而且由于立足于向量這一新的視角，進一步拓寬了思維的渠道．下面就筆者在教學中運用向量解答空間幾何問題舉例如下：

1 求點到平面的距離

點P為平面α外一點，A為平面α內一點，n為平面α的法向量，則點P到平面α的距離為

例1 如圖1所示，在三棱錐P-ABC中PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，點D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點，AB=AC=1，PA=2， 求點P到平面DEF的距離．

解析：以A為原點，建立如圖的坐標系A-xyz，則：A(0，0，0)，D(1/2，0，0)，E(1/2，1/2，0)，F(0，1/2，1)，P(0，0，2)

∴=(-，，1)， =(- ，0，1)，=(0， ，-1)

令面DEF的一個法向量為n =(1，y，z)， 則

·n =-+z=0·n = y+z=0

∴解得y=-1，z= ，得n =(1，-1，)

則P到平面DEF的距離

評析：當用等體積法不好處理時，法向量方法比幾何法簡捷得多．

2 求直線與平面所成的角

設n為平面α的一個法向量，a為直線l的一個向量，直線l與平面α的夾角為θ，則

例2如圖2所示，在長方體中AB=AA1=a，BC= a，M，N分別是AD，B1C1的中點，求直線A1B與平面A1MCN所成的角的大?。?/p>

解析：建立如圖的空間直角坐標系D-xyz設 n=(x，y，z) 為 平面A1MCN 的一個法向量， θ 為

A1B與平面A1MCN所成的角，則sinθ=

∵AB=AA1=a，BC= a，∴ (a，0，0)，(a，0，a)，

(a，a，0)， (0，a，0)，( a，a，a)，

=(0，a，-a)，=(a，0，a)，=(- a，a，0)

所以可得：n·=ax+az=0，n·=- ax+ay=0，

令x= 則y=1，z=-1n =( ，1，-1)

∴ sinθ=即θ=450

∴直線A1B與平面A1MCN所成的角為450

評析：運用法向量方法求直線與平面所成的角，可以免去作輔助線，構造三角形的繁瑣．

3 求二面角

設n1、n2分別為二面角α-l-β的面α、β的法向量．

1） 當n1、n2均指向二面角的內部或外部時，

二面角等于π-< n1、n2>；

2)當n1、n2分別指向二面角的內部和外部時，二面角等于< n1、n2>．

例3如圖3所示，已知四棱錐P-ABCD的

底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=900， PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M為PB的中點。求面AMC與面BMC所成的二面角的大?。?/p>

解析：以A為原點建立如圖3所示，的坐標系A-xyz則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)P(0，0，1) ， M(0，1， ) ， 所以AM=(0，1，)，

=(0，-1，)， =(-1，0，)

令面AMC的一個法向量n1=(1，y，z)則 ·n1=y+z=0， ·n1=-1+z=0

解之可得y=-1，z=2

∴n1=（1，-1，2）

同樣令面CBM的一個法向量n2=(a，b，1)可求得：

n2=( ， ，1)

又因為n1、n2均指向二面角的外部∴ 所求的二面角等于π-cosarc．

評析：用法向量方法求空間二面角的大小，把用向量法解空間幾何的方法體現得淋漓盡致，充分體現了向量法的簡便靈活，使復雜的幾何問題具體數據化了，完善空間幾何的解題方法，我建議新版的高中數學教材，應把平面的法向量編入教材里．

4 求線面垂直

設a是直線L的方向向量，平面α的法向量是n，若a∥n則L⊥α．

例4 如圖4所示，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD為正三角形，面VAD⊥面ABCD．

證明：AB⊥面VAD．

證明：以D為原點建立如圖4所示的坐標系D-xyz設正方形的邊長為1則

令面VAD的法向量n=(x，y，z)則

解得x=0，y=0，令y=1

∴面VAD的一個法向量n=(0，1，0)=

∴AB⊥面VAD

總之，向量的引入為初等數學增添了一道亮麗的風景，使學生的視野大為擴展，把原本復雜抽象，難以想象的空間幾何變得簡單明了，由抽象的空間圖形轉化為具體的數學運算，把幾何問題代數化，尤其是平面的法向量，使數學更加完美，把代數與幾何融合為一整體。

注：本文中所涉及到的“圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>