圓柱側面展開當然可能是正方形

《小學教學參考》(數學版)2007年第3期刊登了汪渭芳老師的《圓柱側面展開可能是正方形嗎?》一文。仔細拜讀以后，我認為圓柱側面展開后完全可能是一個正方形。對于文童最后汪老師的困惑，我認為是完全可以解釋清楚的。

我在幾次執教這一內容時，學生也曾經有過類似的疑惑。對于小學生來說，由于他們受到自身的認知特點和小學數學學科特點等影響。產生此類誤解是完全可以理解的。但當學生產生此類問題時，教師若引導不好，容易讓學生產生一種越聽越糊涂的感覺。當時我是這樣去幫助學生理解的：(1)學生以四人小組為單位，通過折、量、剪等方法準備好一張正方形的白紙，這張白紙不要太小，以便于操作。(2)四人小組合作把這張白紙卷成一個圓柱形紙筒(接頭處不能重疊)。(3)觀察思考：這張正方形白紙卷成圓柱后就是圓柱的哪個部分?如果沿剛才的接頭處把這個側面剪開拉直，又是一個什么圖形?

上面三個環節的設計意圖是這樣的：第一環節的安排主要是為了讓學生堅信那張紙是正方形的，因為這張紙是學生自己通過操作得到的，這樣做比教師自己事先準備好白紙直接出示給學生看要更為可信。第二環節的安排是為了讓學生通過自己動手卷紙筒，來確認這張正方形的白紙是可以卷成一個圓柱形的。第三環節的安排是為了讓學生通過前后對比，發現這張紙和圓柱側面之間的聯系，從而明確“既然一張正方形的紙可以卷成圓柱的側面，那么這個圓柱的側面展開肯定也還是個正方形”這個觀點，進而去理解“側面展開是正方形的圓柱是存在的”這一道理。以上三個環節的安排組成了一個渾然的整體，學生通過自己的動手操作、觀察比較及合作探究，充分經歷了將抽象的數學問題轉化成實際操作問題的過程，體現了一種“做數學”的理念。這樣，學生的各種認識也必將在探究過程中得到進一步的深化。

對于汪老師原文中那個成績優異學生的疑惑，分析其原因，主要受到以下兩個方面的影響：1．受教材編排的影響。我們知道實數可以分為有理數和無理數兩大類，但小學數學教學內容的編排要遵循“由淺入深、循序漸進、螺旋上升”的原則。因此，在小學階段學生所涉及到的數都以有理數為主。如圓的直徑都是以整數、小數等有理數的形式出現。而圓周率π是個無限不循環小數，因此學生在求圓的周長時，就會認為用直徑乘圓周率后所得到的周長也是個無限不循環小數。其實學生的這種認識是片面的，圓的周長也可以是有理數，如6厘米。當圓的周長是6厘米時。其直徑就是6/π，而此時直徑是個無理數，小學里是不宜出現的。2．受學生認知特點的影響。由于小學生的年齡畢竟尚小，其抽象邏輯思維水平較低，同時也受到整數、有限小數等數的思維定勢作用，當圓柱底面周長是個無限小數時，學生就會認為圓柱的高無論如何都取不到和底面周長一樣長。其實從極限的觀點來看，不管底面的周長是怎樣一個無限不循環小數，圓柱的高上總存在這樣一個點(數)可以去無限地逼近這個底面周長，當達到這種狀態時，我們就可以認為此時圓柱的高和底面周長已經一樣長了。但如果在學生面前直接給他們講極限理論，肯定是不現實的。

當學生在課堂上出現類似于汪老師課堂上的情況時，我認為不妨先把“球”拋給學生，讓學生的思維碰撞出火花。教師這時所要做的不是急于立即公布答案，而是應積極地為學生之間的辯論搭橋鋪路。當學生在課堂上爭論的時間不夠時，教師完全可以讓他們在課后各自尋找素材，以便為自己的觀點繼續爭論。當到一定時候時，教師再專門花一定的時間帶領學生去探究、操作、比較、發現，讓學生真正理解與感悟數學。這樣。我們的課堂才會有精彩的生成，學生獲得的知識才會深刻。