用“遷移”來學數學

教學內容：蘇教版小學數學四年級下冊“最小公倍數”。

教學過程：

一、操作入手，引出概念

師：課前，老師發給大家的信封里有一些長方形紙片。這些長方形有的長10厘米、寬4厘米，有的長5厘米、寬3厘米，有的長8厘米、寬2厘米。下面，請大家從中選擇一些來拼成一個最小的正方形，這個正方形的邊長會是多少呢?

(學生同桌合作完成操作，并指名學生在黑板上演示拼正方形的過程，同時匯報最小的正方形的邊長是多少，教師在拼成的圖旁板書邊長，如下圖)

師：請大家觀察拼成的正方形的邊長與長方形的長有什么關系?與寬又有什么關系?

生：邊長是長的倍數，也是寬的倍數。

師：正方形的邊長與長方形的長、寬有什么關系?

生1：邊長是長和寬的公倍數。

生2：邊長是長和寬的最小公倍數。

師：對，拼成的最小正方形的邊長的確是長和寬的最小公倍數。今天，我們就來研究“最小公倍數”。(板書課題：最小公倍數)

師：關于最小公倍數，你們想知道些什么呢?

生3：怎樣找最小公倍數?

生4：什么叫公倍數?什么叫最小公倍數?

師：這兩個問題現在就來解決，誰會?

生5：兩個數公有的倍數叫做這兩個數的公倍數，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數。

生6：幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數。

師：關于最小公倍數，你們還想知道些什么?

生7：學習最小公倍數有什么作用?

生8：最小公倍數與最大公約數有什么區別和聯系?

生9：互質數的最小公倍數會有什么特點?有倍數關系的兩個數，最小公倍數有什么特點?

師：同學們提出了四個問題，下面我們就先來看其中的一個問題：怎樣找最小公倍數?首先，用找倍數的方法找出12和30的公倍數與最小公倍數。12的倍數有：12、24、36、48、60、72、84、96、108、120……30的倍數有：30、60、90、120……那么，12和30的公倍數有：60、120、180……

師：后面用什么符號?

生：用“……”。

師：說明什么呢?

生10：說明兩個數的公倍數的個數是無限的。

生11：沒有最大的公倍數。

(師板書：12和30的最小公倍數是60)

【賞析：有效的操作活動，能促使學生在“做數學”的過程中對數學知識產生深刻的體驗。本環節中，教師從操作入手，通過用若干個同樣的長方形拼最小的正方形，讓學生直觀感受到最小的正方形的邊長就是長方形長和寬的最小公倍數，并借助操作引出新知概念。愛因斯坦說過：“提出問題往往比解決問題更重要。”新知導入后，教師接著引導學生圍繞課題質疑，提出問題并進行篩選，由問題形式呈現目標。只有“疑”才有“思”，只有勤“思”才能迸射出創新的火花。面對實際問題，學生能主動去嘗試從數學角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，這樣所獲得的知識更加牢固。】

二、自主探究，實踐體驗

1.學生自行為探究提供材料。

師：前面我們學習最大公約數時重點研究了兩類特殊關系的數，剛才同學們也提出了有互質關系、倍數關系的兩個數，它們的最小公倍數有什么特點的問題，下面我們就來研究。

師：請同學們在草稿紙上先列舉一對互質數，用找倍數的方法找出它們的公倍數和最小公倍數，然后再列舉一對有倍數關系的數，用找倍數的方法找出它們的公倍數與最小公倍數。

2.交流匯報。

師：下面，請大家匯報交流一下。

(學生一一匯報，師在黑板上板書)

3.發現規律。

師：請同學們觀察黑板上的兩組數及它們的最小公倍數，你們發現了什么，同桌交流一下。

生1：兩個互質數的最小公倍數正好是它們的乘積。

(師板書：互質關系)

生2：如果較大數是較小數的倍數，它們的最小公倍數就是那個大數，較大數的倍數是兩個數的公倍數。

(師板書：倍數關系)

師小結(略)。

4.運用規律。

題目：請快速找出下面每組數的最小公倍數，并說說是怎樣想的？

3和78和2430和510和96和15

師：6和15是互質數嗎?它們有倍數關系嗎?12和30呢?12和30之間沒有特殊的關系，我們把它稱為一般關系。剛才我們是用找倍數的方法找最小公倍數的，除了這種方法，還有別的方法可以很快找出它們的最小公倍數嗎?

【賞析：在教學活動中，教師要給學生創造自主學習的機會，放手讓學生充分經歷知識形成和發展的過程，讓學生自主探究、實踐體驗，在觀察、思考中發現規律，并運用規律解決一些生活中的實際問題。在這一環節中，教師根據學生提出的問題，先讓學生自己列舉一對互質數與一對有倍數關系的數，用找倍數的方法找出它們的公倍數和最小公倍數，再引導學生發現規律，學生很快就得出了結論。這樣，學生在體驗中學到了數學知識，思維能力得到了發展。】

三、觀察嘗試，形成結論

1.探究用分解質因數求最小公倍數的方法。

師：4和10、12和30的最小公倍數已經在這兒了，前面我們已經學過用短除法分解質因數求最大公約數，下面請你們試著琢磨一下能不能用短除法求兩個數的最小公倍數。

(學生先獨立思考，然后指名匯報，教師適時指導用短除法求最小公倍數：用兩個數公有的質因數乘各自獨有的質因數)

生1：我根本不需要用短除法，只要把12先擴大2倍是24，看看24是不是30的倍數，再把12擴大3倍是36，看看36是不是30的倍數……

生2(未等生1說完)：應該把大數翻倍。

師：對，這叫大數翻倍法。

生3：用短除法分解質因數后，只要把一個數乘另一個數獨有的質因數，就可以得到兩個數的最小公倍數。

生4：只要用最大公約數乘兩個數各自獨有的質因數即可。

……

師：對，同學們的發現都很有價值。前面兩位同學得出的方法是用大數翻倍法求最小公倍數，它與用小數縮小法求最大公約數有點相像。我們把大數先擴大2倍，看看是不是小數的倍數，如果是，那這個數就是兩個數的最小公倍數，如果不是，那就再把大數擴大3倍，看看是不是小數的倍數……但這種方法有時候很方便，有時候則比較麻煩。因此，我們一般用短除法分解質因數求最小公倍數。后面兩位同學講的方法很有道理，那他們講的方法與前面同學得出的方法有什么關系呢?

(學生通過觀察，發現方法是一樣的)

2.出示書上P62的“試一試”：用短除法求出下面每組數的最小公倍數。

24和36 16和18 30和50

【賞析：學生探索如何用短除法求最小公倍數是大膽的嘗試，事實證明學生的嘗試是有效的。在學習活動中，要允許學生有機會表達自己的見解，成為課堂的主角。在教學過程中，教師要利用學生提出的一些富有思考性的問題，引導學生探究，使學生通過積極思考形成解決問題的策略。】

四、總結深化，課外延伸

師：我們已經解決了兩個問題，還有兩個未解決的問題：最小公倍數有什么作用?最小公倍數和最大公約數有什么區別與聯系?對于前一個問題，老師要告訴大家，在后面學習分數的加減法計算和解決一些實際問題時要用到最小公倍數的知識。關于最大公約數和最小公倍數有什么聯系與區別，后面我們會作專門的研究。

師：通過學習，你們有什么收獲?

生1：我知道怎樣求最小公倍數。

生2：我認為動手操作能解決生活中的一些實際問題。

生3：我知道學習新知可以用“遷移”的方法

生4：我認為解決問題策略可以多樣化。

……

【賞析：從課堂延伸到課外，進一步激發了學生探究的欲望，體現了“人人學有價值的數學”這一新的數學課程理念。】

總評：

《數學課程標準》指出：“數學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。”這節課中，學生一直處于一種探究、發現的興奮狀態，目標的達成度較高。教師具有創新意識，教學設計沒有按部就班地照教材的路子走，而是對該課進行了一次大膽的改動和設計。

1.用“遷移”學數學。

本節課的設計，以最大公約數的學習與有關知識作為遷移學習最小公倍數的基礎。首先，拼圖形的基礎是切割圖形。如：有一個長方形長10厘米，寬4厘米，把它剪成若干個同樣的正方形且沒有剩余，正方形的邊長最長是多少?這道題是用最大公約數的知識來遷移的，學生很容易解決，而課始的拼圖形則剛巧是和它互逆的。學生通過動手操作，能體會到公倍數、最小公倍數的意義都可以由公約數、最大公約數的意義模仿而來。前面學習最大公約數是先用找約數的方法找出兩個數的最大公約數，再研究有兩種特殊關系的數的最大公約數，最后用短除法分解質因數求最大公約數。最小公倍數的結構與之一致，內容與之對應，教師完全放手讓學生在一種自然的狀態下完成知識的遷移。

2.把“現成”的數學變成“活動”的數學。

本節課，教師在進行教學設計時努力將作為思維結果的教學內容看作思維過程的材料，并對它進行充實、重組和處理，把“現成”的數學變成“活動”的數學，讓學生自主構建新知。如操作拼圖、探究有特殊關系的兩個數的最小公倍數、嘗試用短除法求最小公倍數等都得到了體現，這樣有利于培養學生的數學思維能力。

3.思維的成果取決于思維的空間和思維的自主。

本節課的教學設計基本體現了這一思路：教師提倡板塊式的教學結構與塊狀的思維含量大的問題設計。思維的成果還取決于思維的自主，所以教師在課堂上努力做到“問題讓學生提出，材料讓學生組織，過程讓學生經歷，結論讓學生發現，評價讓學生發表，反思讓學生進行”，給學生真正的思維自由與思維空間，最大限度地發揮學生的創造潛能。