偏好序距離與投票數為基數時Ｂａｎｚｈａｆ權力指數的推廣

[摘要] 在二元選擇下，測算加權投票制表決權的大小有兩種廣泛被接受的方法，即Shapley-Shubik指數法與Banzhaf指數法，但它們都不能解決多備選方案或多候選人時決策個體的權力問題，更不能解決在加權投票制下群體對多方案或多候選人進行排序時決策個體的權力問題。本文利用排序距離來度量不同群體偏好序差異，從而提出了加權投票制下群體對多方案或多候選人進行排序時決策個體的權力計算方法，此方法是投票數為基數下Banzhaf權力指數的推廣，最后，進行了實例分析。

[關鍵詞] 權力偏好序加權投票制

自從1954年Shapley和Shubik開創性地研究了委員會中個人在二元選擇下權力分布的測算問題以來，不少人對二元選擇下的權力指數進行了深入研究，出現了Shapley-Shubik指數、Banzhaf指數、Johnston指數和Deegan-Packel指數。其中，Banzhaf權力指數在實際的計算中被廣泛應用，在美國紐約州法院一些案例的判決中，就是用Banzhaf權力指數去測度法官的權力并以這種計算作為衡量投票權重分配公正性的標準。Felsenthal等人也正是用 Banzhaf權力指數去分析歐盟委員會各國代表的投票權重分配的合理性。但在二元選擇下的權力指數包括Banzhaf權力指數不能測算多方案下的決策個體權力問題，在二元選擇的條件下，為了節省時間通過一次表決就能得到結果，一般投票總數往往取基數，那么，在投票數是基數的條件下研究多方案下如何推廣Banzhaf權力指數就具有一定的意義。

一、國內外研究現狀

在加權投票制的條件下，決策個體的權力大小取決于他的投票對選舉結果的影響。對于二元選擇，即投票在兩種觀點中進行，且以多數票決定勝負的情況下，對于決策個體 的表決權，Shapley-Shubik權力指標是這樣定義的:設決策個體按照某種排列先后投票，這時投贊成票的決策個體不斷增加，若某個決策個體恰好排在他投贊成票之后就可以通過議案的位置，則稱該決策個體是這種排列的中軸。在所有可能的排列中，決策個體 成為中軸的概率大小就表明他權力的大小。

對于決策個體 的表決權，Banzhaf權力指標定義與Shapley-Shubik權力指標定義的最大不同在于它將排列改為組合，其定義為:在投贊成票（或投反對票）的決策個體的組合中，若某人改變投票將改變原有結果，那么稱此決策個體處于擺動地位，或稱他為擺動者。在所有可能的組合中決策個體i成為擺動者的次數記為αi，則Banzhaf權力指標βi為：（1）

在多個備選方案或多個候選人的加權投票決策中，決策個體的權力是無法用測度二元選擇下的權力指數來衡量的。Bolger注意到了這一事實，他通過推廣了Banzhaf權力指標中的擺動者，于是將Banzhaf權力指數推廣到群體從多個方案或多個候選人中選擇一個的加權投票制的情形。但在實際問題中的多個方案或多個候選人的群決策問題，不僅僅是“多擇一”的，許多情況下是對多個方案或多個候選人進行排序。例如，按名次進行獎勵的各種評獎活動和一些體育比賽都需要群體對被選方案進行排序。對于決策個體有不同的權重，每個決策者只選擇一個方案，各方案按得票多寡進行排序的加權投票制的決策個體的權力大小用Bolger的方法也不能進行計算。文和文通過構建群體偏好的距離得到了多方案排序的加權投票制決策個體權力的計算方法，但這些方法不能構成為Banzhaf權力指數的推廣，本文通過構建群體偏好閔可夫斯基距離在投票數是基數的條件下將Banzhaf權力指數推廣到多方案排序的加權投票制決策個體權力的計算問題。

二、群體對方案不同排序的閔可夫斯基距離距離

在所討論的加權投票選舉模型中，每個決策個體只投一個候選人的票。設有n個決策人權重向量為W={w1，w2，Λ，wn}，有k個方案，方案集為:P={p1，p2，Λ，pk}。取Γj為選擇第j個方案pj的投票人的集合，|Γj|為方案pj的總得票數。由于每個決策人都得投某個方案的票，那么，對于任意的決策人i，就存在一個Γj，使i∈Γj。我們稱向量Γ=(Γ1，Γ2，Λ，Γk)為n個投票人在k個方案中的安排。對于任意一個n個投票人在k個方案中的安排Γ，各方案的得票多寡就確定了，那么，在給定的方案排序規則ρ下，這 個方案的排序也就確定了。用pj1*pj2*Λ*pjk表示k個方案排成的序，其中pji∈P，(j1，j2，Λ，jk)是(1，2，Λ，k)的某種排列;*或是“>”（表示一個嚴格次序或優于），或是“=”（表示相等或無差異）。將 Γ確定的k個方案的排序記為:ρ(Γ)。

現在考慮決策個體 的不同投票行為對方案排序的影響。在Γ中設i投方案ph的票，在其它投票人的投票不變的情況下，讓i改變投pl的票就形成一個新的安排Γ`。那么，由Γ變為Γ`時，方案ph的的票就減少，同時，方案pl的的票就增加。決策人的不同投票行為就使方案ph的排序往后移，使方案pl的排序往前移。那么，i的權力就應隨決策個體i的不同投票方案ph后移的位序的增加或方案pl前移的位序的增加而增加。為了明確決策個體i的不同投票行為對方案排序的不同影響，需要構造群體偏好序的距離來計算。

對于任意一個n個投票人在 個方案中的安排Γ，方案的排序就確定了。對于給定的k個方案的排序ρ(Γ)，各方案就有一個名次與之對應，最優的方案為第1，無差別或相等的方案名次相同，但有幾個方案名次并列，它們就占用了幾個名次序。例如，有4個方案:p1、p2、p3和p4，它們之間的排序關系為:p1＞p2=p3＞p4，那么，這4個方案的名次就為:p1為第1，p2和p3為第2，p4為第4而不是第3，原因是p3占用了一個名次。若方案i的名次為xi，可記群體偏好序ρ(Γ)為名次序向量(x1，x2，Λ，xk)。對于任意兩個序ρ(Γ)與ρ(Γ`):

ρ(Γ):(x1，x2，Λ，xk)

ρ(Γ`):(x`1，x`2，Λ，x`k)

序ρ(Γ)與ρ(Γ`)代表的群體偏好差異我們用閔可夫斯基距離來衡量，稱為群體偏好的排序ρ(Γ)與ρ(Γ`)的距離： （2）

式中q，為距離參數。當q=1時，便為線性距離;當q=2時，便為歐幾里得距離;當q→∞時，便為車比雪夫距離。

如果決策個體i，原來投方案ph的票時群體對方案的排序為:ρ:p1*p2*Λ＊pk，決策個體i改變投票投pl后，pl的排序就會提升，設pl在提升的過程中比原來多優于了i個方案，而方案ph的排序往后移使之多劣于j個方案由此產生的群體偏好序為ρ`。ρ`的變化有多種可能，下面我們分不同的情況討論:

第一，在ρ中pl不劣于ph時，由ρ變為ρ`，就有k-i-j-2個方案的名次不變;方案ph的名次由h變為h-j;有i個方案的名次比原來的名次減少1;方案pl的名次由l變為l+i;有j個方案的名次比原來的名次增加1。那么，d(ρ，ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;

第二，在ρ中ph不劣于pl時，又分兩種情況:第一，由ρ變到ρ`后， ph仍不劣于pl，由ρ變為ρ`，就有k-i-j-2個方案的名次不變;方案ph的名次由h變為h-j;有i個方案的名次比原來的名次減少1；方案pl的名次由l變為l+i;有j個方案的名次比原來的名次增加1。那么，d(ρ，ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;第二，由ρ變到ρ`后，ph劣于pl，那么，同時被ph和pl置換的方案數最大時為m，m應滿足m＜i且m＜j。于是，由ρ變為ρ`，就有k+m-i-j-2個方案的名次不變;方案ph的名次由h變為h-j;有i-m個方案的名次比原來的名次減少1;方案pl的名次由l變為l+i;有j-m個方案的名次比原來的名次增加1。那么，d(ρ，ρ`)=[jq+iq+j+i-2m]1/q。對于實數q＞1，d(ρ，ρ`)隨i或j增加而增加。這說明，當q＞1時，決策個體i的不同投票由ρ變為ρ`時，使ph的排序往后移的位序的增加或使方案pl的排序往前移的位序的增加，ρ與ρ`的距離也增加，i的權力就應增加。這樣序ρ到序ρ`的距離，就反映了該種轉變的難易程度。即距離越長，則從序ρ變到序ρ`的難度就愈大，能促成這種變化的決策個體的權力就越大。相應地，在計算決策個體權力大小時，就讓距離參數q＞1。

三、決策個體權力大小的計算方法

表決權是一種相對概念，既相對于其它決策個體權力大小，也相對于其它決策個體如何投票。為此我們從以下角度來定義決策個體i的權力。

設p={p1，p2，Λ，pk}表示候選人集合，N={1，2，Λ，n}表示決策個體組成的集合，W={w1，w2，Λ，wn}為決策個體的加權數，決策個體按擁有的權數一次只投一個候選人，k維向量Γ=(Γ1，Γ2，ΛΓk)為n個投票人在k個方案中的安排。Γ-i表示n個投票人缺少i時 n-1個投票人在k個方案中的安排，表示在Γ-i的基礎上加入投票人i投方案ph時形成的n個投票人在k個方案中的安排。那么，當h≠l時，和確定的方案排序和就可以分別表示在其它投票人的投票不變的情況下，即向量Γ-i不變的情況下，i投ph時的方案排序和投pl時的方案排序。

對于給定的Γ-i，i投方案ph時的方案排序的名次序向量為:(x1，x2，Λ，xk)。i改投方案pl產生的方案排序的名次序向量為:(x`1，x`2，Λ，x`k)。方案排序和的不同用方案排序和的距離定義，為：(3)

距離一般取為歐幾里得距離或車比雪夫距離。讓h遍歷1到k的k個正整數，為了避免重復計算就讓l遍歷h+1到k的所有正整數，就得到了給定的Γ-i，i的表決權:再讓Γ-i遍歷所有的n個投票人缺少i時n-1個投票人在k個方案中的安排，就得到了i的最終表決權:（4）其相對表決權為:(5)

當方案數為2時，在投票數是基數的條件下，利用（5）式計算的決策個體的權力大小與用Banzhaf權力指數的計算一致，即在投票數是基數的條件下，（5）式計算方法是Banzhaf權力指數的擴張。這是因為當方案數為2時，在投票數是基數的條件下，決策個體改變投票若改變投票結果， 在Banzhaf權力指數算法中決策個體就是擺動者，計數1；而在上述的計算中，決策個體改變投票若改變投票結果就是將原有的排序向量(1，2）改變為(2，1）或者將(2，1）改變為(1，2），此時距離就為 。計算相對權力大小后，結果是一致的。

四、決策個體權力的計算示例

設決策個體的集合N={甲，乙，丙}，方案集為p={p1，p2，p3}，給甲、乙、丙三個決策個體賦予權數分別為1，2，3。規定每人只投票給一個方案，按方案的得票多寡來確定這三個方案的獲獎名次，現決定甲、乙、丙的表決權。

先看丙的表決權。取距離參數q=2。在丙未參加投票時，甲、乙給這三種方案的不同投票組合有9種。

當甲和乙同時投票給p1時，丙也投p1，方案p1就得到6票，p2，p3各得0票，ρ1:p1＞p2=p3就是甲、乙和丙此時認同的群體偏好序，對應的名次序向量便為:（1，2，2）。丙由投p1改投p2，由于丙擁有的加權數為3，ρ2:p1=p2＞p3就是甲、乙和丙此時認同的偏好序，對應的名次序向量為:（1，1，3）。那么d(ρ1，ρ2)=[(1-1)2=(2-1)2+(2-3)2]1/2=;同樣，丙由投p1改投 p2，由于丙擁有的加權數為3，ρ3:p3=p1＞p2就是甲、乙和丙認同的偏好序，對應的名次序向量為:（1，3，1）。那么d(ρ1，ρ3)=[(1-1)2=(2-3)2+(2-1)2]1/2=;丙由投p2改投p3，方案排序就是由ρ2變成ρ3，那么d(ρ2，ρ3)=[(1-1)2=(1-3)2+(3-1)2]1/2=。那么，在甲和乙同時投p1時，丙的權力就是以上三個不同距離之和為:5.659。

以上給出了特定情況下的決策個體權力的計算方法。若要計算決策個體的絕對權力，讓甲、乙取遍甲、乙所有的不同的9種投票組合，同樣能計算出丙在不同情況下的權力大小，將它們加起來，就得到丙的表決權:α丙=65.609。

同理:α甲=22.243；α乙=50.144。從而可計算出甲、乙、丙的相對權力為:（0.161，0.363，0.476）。

再設有甲、乙、丙和丁四個決策人，他們的選票分別為6、5、3和1，總選票數是基數，他們投票對兩個方案排序。無論取距離為歐幾里得距離還是其他距離，容易計算出甲、乙、丙和丁的相對權力為:1/3、1/3、1/3、0）。用Banzhaf權力指數進行計算結果是一樣的。

五、結束語

通過群體排序距離建立基于方案排序的加權投票制的權力測度模型，不單可以用于測度方案排序的加權投票制決策個體的權力大小，還可以用于分析方案排序的加權投票制中權重分配的合理性。此外，應該注意到，該權力測度模型與排序的距離參數 息息相關，例如，在上例中，若取q=2，即排序距離為歐幾里得距離時，甲、乙、丙的相對權力為:（0.161，0.363，0.476）;q→∞，即排序距離為車比雪夫距離時，甲、乙、丙的相對權力為:（0.233，0.367，0.400）。這是由于q值越大，距離就越側重于名次序變化較大的方案所置換另外方案的個數造成的。當方案數為2時，在投票數是基數的條件下，Banzhaf權力指數就與基于方案排序距離權力計算法是一致的，基于方案排序距離的權力計算法可視為在投票數是基數的條件下Banzhaf權力指數的推廣。