馬爾柯夫鏈在預測商品零售價格指數中的應用

[摘要] 根據馬爾柯夫鏈的基本原理，以我國1978年～2004年的商品零售價格指數為實例詳細闡述了馬爾柯夫鏈分析與預測的全過程，檢驗結果表明該模型用于近期預測結果準確可靠，易于操作。

[關鍵詞] 馬爾柯夫鏈商品零售價格指數預測

商品零售價格指數是反映一定時期內城鄉商品零售價格變動趨勢和程度的相對數。商品零售物價的變動直接影響到城鄉居民的生活支出和國家的財政收入等。同時對商品零售價格指數的預測對企業的經營決策也起著很大的作用。因此，為準確把握商品零售價格指數的變動趨勢，本文利用吸收的Markov鏈建立一個描述商品零售價格指數變動趨勢的分析模型，最后檢驗結果顯示，該模型預測準確，可操作性較強。

一、馬爾柯夫鏈簡介

所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機時間序列，它在將來取什么值只與它現在的取值有關，而與它過去取什么值的歷史情況無關，即無后效性。用數學語言描述，即設{Xn，n≥0}為隨機時間序列， E={E1，E2，…，Em}（E為有限個或可列個）為隨機變量的狀態空間，滿足如下條件：

每個隨機變量Xn只取非負整數值；

對任意的非負整數t1＜t2＜…＜m＜m+k，及E1，E2，…Em;Ej，當時，有:

則稱{Xn，n≥0}為馬爾柯夫鏈。

其中馬爾柯夫鏈的概率特性取決于條件概率:

P(Xm+k=Ej|Xm=Ei)。

P(k)ij(m)=P(Xm+k=Ej|Xm=Ei)為K步轉移概率，特別地，當k=1時，Pij(m)=P(Xm+1=Ej|Xm=Ei)為一步轉移概率。由轉移概率組成的矩陣稱為轉移概率矩陣，記為：

為K步轉移概率矩陣。同理，當k=1時，為一步轉移概率矩陣。且P(k)=Pk。

二、應用實例

1978年以來，我國商品零售價格指數受市場因素的影響逐年增大，其變化也逐漸呈現出比較明顯的穩定性，且市場又是一個隨機的動態系統，商品零售價格指數的狀態變化究竟受市場上哪種因素的影響是不確定的，因此，商品零售價格指數的高低也呈現出隨機性。綜合以上特征，可將它視之為一個馬爾柯夫鏈。

1.數據的取得

數據取自1981年～2002年的《中國經濟年鑒》和2000年～2003年的《中國統計年鑒》（按1978年=100計算。其中，1986年、1987年、1988年的數字經過了換算；2004年國內零售物價指數為參考黃善明在《中國物價》2004年第3期上發表的《影響2004年我國價格走勢的因素分析》一文中的估算值）。表1中列出了1978年～2004年我國商品零售價格指數資料。

2.確定系統狀態及系統狀態的初始分布

以表1中每年為離散的時間單位。為確保預測的精度和準確度，劃分系統狀態時應以3～6個為好。本文按照如下標準劃分以下5種狀態：

E1-快速下降（yt-yt-1≤－5）

E2－緩慢下降（-5＜yt-yt-1＜0）

E3－相對不變（yt-yt-1=0 ）

E4－緩慢上升（0＜yt-yt-1＜5）

E5－快速上升（yt-yt-1≥5）

其中:yt－第t年商品零售價格指數原始值，yt-1－第t-1年商品零售價格指數原始值。所以取E1=快速下降，E2=緩慢下降，E3=相對不變，E4=緩慢上升，E5=快速上升，則該系統的狀態空間為E(E1，E2，E3，E4，E5)。由于1979年數據不祥，因此本文以1981年起開始劃分狀態，根據各狀態取值范圍確定原始資料各年商品零售價格指數所在狀態（表2）。

狀態概率用狀態向量(P1，P2，…Pj)表示，其中Pj為狀態是Ej時的概率。表中收集了1978年～2004年的歷史資料，由于1979年數據不祥，且本文將2004年的數據作為檢驗該模型的檢驗數據不參加過程計算。因此，過程中參加計算的數據是從1981年～2003年共23年的商品零售價格指數值。其中E1＝4，E2＝2，E3＝0，E4＝6，E5＝11。所以各個狀態概率分別為:P1=0.1739，P2=0.0870，P3=0.0000，P4=0.2609，P5=0.4783，狀態向量π=(0)=(0.1739，0.0870，0.0000，0.2609，0.4783)稱為狀態的初始分布。

3.建立轉移概率矩陣

在實際問題中，經常近似地用狀態相互轉移的頻率來描述狀態轉移概率。Pij為i態到j狀態的一步轉移概率，則:Pij=P(i-j)，其中，Mi為系統處于i狀態時的樣本個數，Mij為樣本中由j狀態一步轉移到 狀態的個數。在計算時，最后一個數據（2003年的數據）不參加計算，因為此時在假定2004年狀態未知時，它究竟轉到哪個狀態尚不清楚。由以上可以算得:

從而獲得一步轉移概率矩陣為:

4.商品零售價格指數狀態預測及檢驗

如果目前預測對象處于狀態Ei(i=1，2，3，4，5)，這時Pij就描述了目前狀態Ei在未來將轉向狀態Ej(j=1，2，3，4，5)的可能性。按最大概率原則，這里選擇(Pi1，Pi2，Pi3，Pi4，Pi5)中最大者對應的狀態即為預測結果。

由于2003年的商品零售價格指數狀態為緩慢上升狀態，而經由一次轉移到達5種狀態的概率分別為:P41=0.2000，P42=0.0000，P43=0.0000，P44=0.2000，P45=0.6000，由

max{P41，P42，P43，P44，P45}=P45=0.6000

可知2004年的商品零售價格指數將快速上升，即2004年的商品零售價格指數與2003年相比將會上升，且上升指數的幅度超過5。

將預測結果與實際結果比較，由表2可知，2004年的商品零售價格指數狀態為快速上升，且由表1中原始數據可得出2004年較2003年商品零售價格指數上升幅度為:357.5-350.5=7＞5符合前述的快速上升的范圍。說明預測結果是準確的。

同時，在馬爾柯夫過程中，不同時期的狀態概率由狀態向量 表示。且有公式π(n)=π(n-1)P，P為狀態轉移矩陣。按此公式也可預測出2004年的商品零售價格指數狀態向量為：

即2004年出現快速上升狀態的概率為0.6000，比其他狀態出現的概率都較大。因此，2004年是快速上升的可能性較大，這也與前面預測的結果是一致的。同理，按此公式也可預測2005年等近期內年份的商品零售價格指數的狀態向量。如2005年商品零售價格指數的狀態向量為:

結果表明，2005年的商品零售價格指數的變動趨勢是出現快速下降狀態的概率是0.1945，緩慢下降狀態的概率是0.0500，緩慢上升的概率是0.3982，快速上升的概率是0.5564，因此，2005年商品零售價格指數繼續出現快速上升的可能性比較大。

三、結論

經檢驗，對2004年預測的結果與實際給出的結果是一致的，說明此方法在預測商品零售價格指數時是可靠準確的，并且該方法原理簡單，是繼時間序列分析和因果分析等方法后又一種科學預測手段，凡是具有無后效性的序貫動態系統都可用該方法預測。據有較強的可操作性。

利用該模型預測分析過程中，得到的結果是區間預測，但不能為提高精確度而設置較多的狀態，這樣雖然不能得到精確度很高的結果，但卻提高了預測的準確度。

以上結論都是在狀態轉移概率平穩的假設下推導出來的，即假定初始狀態向量和狀態轉移概率矩陣保持不變。如果忽視此條件，對本文實例中無限制地預測以后各年份的商品零售價格指數值，將會產生較大的誤差。因此要想保證預測準確度，就要不時地根據實際情況適時調整初始狀態向量和狀態轉移概率矩陣。因此，馬爾柯夫鏈法比較適合做近期預測。