馬爾柯夫鏈在預(yù)測(cè)商品零售價(jià)格指數(shù)中的應(yīng)用

[摘要] 根據(jù)馬爾柯夫鏈的基本原理，以我國(guó)1978年～2004年的商品零售價(jià)格指數(shù)為實(shí)例詳細(xì)闡述了馬爾柯夫鏈分析與預(yù)測(cè)的全過(guò)程，檢驗(yàn)結(jié)果表明該模型用于近期預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確可靠，易于操作。

[關(guān)鍵詞] 馬爾柯夫鏈商品零售價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)

商品零售價(jià)格指數(shù)是反映一定時(shí)期內(nèi)城鄉(xiāng)商品零售價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)和程度的相對(duì)數(shù)。商品零售物價(jià)的變動(dòng)直接影響到城鄉(xiāng)居民的生活支出和國(guó)家的財(cái)政收入等。同時(shí)對(duì)商品零售價(jià)格指數(shù)的預(yù)測(cè)對(duì)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)決策也起著很大的作用。因此，為準(zhǔn)確把握商品零售價(jià)格指數(shù)的變動(dòng)趨勢(shì)，本文利用吸收的Markov鏈建立一個(gè)描述商品零售價(jià)格指數(shù)變動(dòng)趨勢(shì)的分析模型，最后檢驗(yàn)結(jié)果顯示，該模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，可操作性較強(qiáng)。

一、馬爾柯夫鏈簡(jiǎn)介

所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機(jī)時(shí)間序列，它在將來(lái)取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過(guò)去取什么值的歷史情況無(wú)關(guān)，即無(wú)后效性。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，即設(shè){Xn，n≥0}為隨機(jī)時(shí)間序列， E={E1，E2，…，Em}（E為有限個(gè)或可列個(gè)）為隨機(jī)變量的狀態(tài)空間，滿足如下條件：

每個(gè)隨機(jī)變量Xn只取非負(fù)整數(shù)值；

對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)t1＜t2＜…＜m＜m+k，及E1，E2，…Em;Ej，當(dāng)時(shí)，有:

則稱{Xn，n≥0}為馬爾柯夫鏈。

其中馬爾柯夫鏈的概率特性取決于條件概率:

P(Xm+k=Ej|Xm=Ei)。

P(k)ij(m)=P(Xm+k=Ej|Xm=Ei)為K步轉(zhuǎn)移概率，特別地，當(dāng)k=1時(shí)，Pij(m)=P(Xm+1=Ej|Xm=Ei)為一步轉(zhuǎn)移概率。由轉(zhuǎn)移概率組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為：

為K步轉(zhuǎn)移概率矩陣。同理，當(dāng)k=1時(shí)，為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。且P(k)=Pk。

二、應(yīng)用實(shí)例

1978年以來(lái)，我國(guó)商品零售價(jià)格指數(shù)受市場(chǎng)因素的影響逐年增大，其變化也逐漸呈現(xiàn)出比較明顯的穩(wěn)定性，且市場(chǎng)又是一個(gè)隨機(jī)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，商品零售價(jià)格指數(shù)的狀態(tài)變化究竟受市場(chǎng)上哪種因素的影響是不確定的，因此，商品零售價(jià)格指數(shù)的高低也呈現(xiàn)出隨機(jī)性。綜合以上特征，可將它視之為一個(gè)馬爾柯夫鏈。

1.數(shù)據(jù)的取得

數(shù)據(jù)取自1981年～2002年的《中國(guó)經(jīng)濟(jì)年鑒》和2000年～2003年的《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》（按1978年=100計(jì)算。其中，1986年、1987年、1988年的數(shù)字經(jīng)過(guò)了換算；2004年國(guó)內(nèi)零售物價(jià)指數(shù)為參考黃善明在《中國(guó)物價(jià)》2004年第3期上發(fā)表的《影響2004年我國(guó)價(jià)格走勢(shì)的因素分析》一文中的估算值）。表1中列出了1978年～2004年我國(guó)商品零售價(jià)格指數(shù)資料。

2.確定系統(tǒng)狀態(tài)及系統(tǒng)狀態(tài)的初始分布

以表1中每年為離散的時(shí)間單位。為確保預(yù)測(cè)的精度和準(zhǔn)確度，劃分系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)應(yīng)以3～6個(gè)為好。本文按照如下標(biāo)準(zhǔn)劃分以下5種狀態(tài)：

E1-快速下降（yt-yt-1≤－5）

E2－緩慢下降（-5＜yt-yt-1＜0）

E3－相對(duì)不變（yt-yt-1=0 ）

E4－緩慢上升（0＜yt-yt-1＜5）

E5－快速上升（yt-yt-1≥5）

其中:yt－第t年商品零售價(jià)格指數(shù)原始值，yt-1－第t-1年商品零售價(jià)格指數(shù)原始值。所以取E1=快速下降，E2=緩慢下降，E3=相對(duì)不變，E4=緩慢上升，E5=快速上升，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間為E(E1，E2，E3，E4，E5)。由于1979年數(shù)據(jù)不祥，因此本文以1981年起開(kāi)始劃分狀態(tài)，根據(jù)各狀態(tài)取值范圍確定原始資料各年商品零售價(jià)格指數(shù)所在狀態(tài)（表2）。

狀態(tài)概率用狀態(tài)向量(P1，P2，…Pj)表示，其中Pj為狀態(tài)是Ej時(shí)的概率。表中收集了1978年～2004年的歷史資料，由于1979年數(shù)據(jù)不祥，且本文將2004年的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)該模型的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)不參加過(guò)程計(jì)算。因此，過(guò)程中參加計(jì)算的數(shù)據(jù)是從1981年～2003年共23年的商品零售價(jià)格指數(shù)值。其中E1＝4，E2＝2，E3＝0，E4＝6，E5＝11。所以各個(gè)狀態(tài)概率分別為:P1=0.1739，P2=0.0870，P3=0.0000，P4=0.2609，P5=0.4783，狀態(tài)向量π=(0)=(0.1739，0.0870，0.0000，0.2609，0.4783)稱為狀態(tài)的初始分布。

3.建立轉(zhuǎn)移概率矩陣

在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常近似地用狀態(tài)相互轉(zhuǎn)移的頻率來(lái)描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。Pij為i態(tài)到j(luò)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率，則:Pij=P(i-j)，其中，Mi為系統(tǒng)處于i狀態(tài)時(shí)的樣本個(gè)數(shù)，Mij為樣本中由j狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到 狀態(tài)的個(gè)數(shù)。在計(jì)算時(shí)，最后一個(gè)數(shù)據(jù)（2003年的數(shù)據(jù)）不參加計(jì)算，因?yàn)榇藭r(shí)在假定2004年?duì)顟B(tài)未知時(shí)，它究竟轉(zhuǎn)到哪個(gè)狀態(tài)尚不清楚。由以上可以算得:

從而獲得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

4.商品零售價(jià)格指數(shù)狀態(tài)預(yù)測(cè)及檢驗(yàn)

如果目前預(yù)測(cè)對(duì)象處于狀態(tài)Ei(i=1，2，3，4，5)，這時(shí)Pij就描述了目前狀態(tài)Ei在未來(lái)將轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej(j=1，2，3，4，5)的可能性。按最大概率原則，這里選擇(Pi1，Pi2，Pi3，Pi4，Pi5)中最大者對(duì)應(yīng)的狀態(tài)即為預(yù)測(cè)結(jié)果。

由于2003年的商品零售價(jià)格指數(shù)狀態(tài)為緩慢上升狀態(tài)，而經(jīng)由一次轉(zhuǎn)移到達(dá)5種狀態(tài)的概率分別為:P41=0.2000，P42=0.0000，P43=0.0000，P44=0.2000，P45=0.6000，由

max{P41，P42，P43，P44，P45}=P45=0.6000

可知2004年的商品零售價(jià)格指數(shù)將快速上升，即2004年的商品零售價(jià)格指數(shù)與2003年相比將會(huì)上升，且上升指數(shù)的幅度超過(guò)5。

將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果比較，由表2可知，2004年的商品零售價(jià)格指數(shù)狀態(tài)為快速上升，且由表1中原始數(shù)據(jù)可得出2004年較2003年商品零售價(jià)格指數(shù)上升幅度為:357.5-350.5=7＞5符合前述的快速上升的范圍。說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果是準(zhǔn)確的。

同時(shí)，在馬爾柯夫過(guò)程中，不同時(shí)期的狀態(tài)概率由狀態(tài)向量 表示。且有公式π(n)=π(n-1)P，P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。按此公式也可預(yù)測(cè)出2004年的商品零售價(jià)格指數(shù)狀態(tài)向量為：

即2004年出現(xiàn)快速上升狀態(tài)的概率為0.6000，比其他狀態(tài)出現(xiàn)的概率都較大。因此，2004年是快速上升的可能性較大，這也與前面預(yù)測(cè)的結(jié)果是一致的。同理，按此公式也可預(yù)測(cè)2005年等近期內(nèi)年份的商品零售價(jià)格指數(shù)的狀態(tài)向量。如2005年商品零售價(jià)格指數(shù)的狀態(tài)向量為:

結(jié)果表明，2005年的商品零售價(jià)格指數(shù)的變動(dòng)趨勢(shì)是出現(xiàn)快速下降狀態(tài)的概率是0.1945，緩慢下降狀態(tài)的概率是0.0500，緩慢上升的概率是0.3982，快速上升的概率是0.5564，因此，2005年商品零售價(jià)格指數(shù)繼續(xù)出現(xiàn)快速上升的可能性比較大。

三、結(jié)論

經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)2004年預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際給出的結(jié)果是一致的，說(shuō)明此方法在預(yù)測(cè)商品零售價(jià)格指數(shù)時(shí)是可靠準(zhǔn)確的，并且該方法原理簡(jiǎn)單，是繼時(shí)間序列分析和因果分析等方法后又一種科學(xué)預(yù)測(cè)手段，凡是具有無(wú)后效性的序貫動(dòng)態(tài)系統(tǒng)都可用該方法預(yù)測(cè)。據(jù)有較強(qiáng)的可操作性。

利用該模型預(yù)測(cè)分析過(guò)程中，得到的結(jié)果是區(qū)間預(yù)測(cè)，但不能為提高精確度而設(shè)置較多的狀態(tài)，這樣雖然不能得到精確度很高的結(jié)果，但卻提高了預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。

以上結(jié)論都是在狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率平穩(wěn)的假設(shè)下推導(dǎo)出來(lái)的，即假定初始狀態(tài)向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣保持不變。如果忽視此條件，對(duì)本文實(shí)例中無(wú)限制地預(yù)測(cè)以后各年份的商品零售價(jià)格指數(shù)值，將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。因此要想保證預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，就要不時(shí)地根據(jù)實(shí)際情況適時(shí)調(diào)整初始狀態(tài)向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。因此，馬爾柯夫鏈法比較適合做近期預(yù)測(cè)。