新定義型試題

在近幾年各地的中考試題中，出現了一些新定義型試題.這些試題定義了新的概念、運算或圖形，要求考生按照這種新的定義進行運算或推理.它們是書本知識的拓寬和延伸，有利于考查基礎知識和應變能力.本文選擇幾個典型問題，探討它們的解法.

一、定義新運算

例1用“☆”定義新運算：對于任意實數a、b，都有a☆b=b2+1.例如7☆4

=42+1=17，那么5☆3=_______；當m為實數時，m☆(m☆2)=_______.

(2006年北京市中考試題)

分析：這種題型主要考查模仿能力，要求同學們根據所給的定義，進行混合運算來完成．

解：10；26.

二、定義新圖形

例2我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形，請解答下列問題：

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；

(2)探究當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論.(2006年北京市中考試題)

分析：(1)對角線相等的特殊四邊形有：等腰梯形、矩形、正方形；

(2)由于已知條件比較分散，我們通常可用平移(或旋轉)的方法，轉化在同一個三角形中來處理．由于圖形的變化，在推理的過程中，還必須運用分類討論的數學思想.

解：(1)略．

(2)結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長．

已知：四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC＝BD，且∠AOD=60°．

求證：BC+AD≥AC．

證明：如圖1，過點D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC.

連結CE、BE，則四邊形ACED是平行四邊形，所以ＣＥ＝ＡＤ.

因為∠EDO=60°，

所以△BDE是等邊三角形，DE=BE=AC．

①當BC與CE不在同一條直線上時，

在△BCE中，有BC+CE＞BE，所以BC+AD＞AC.

②當BC與CE在同一條直線上時，如圖2所示，

有BC+CE=BE，

因此BC+AD=AC.

綜合①、②，得BC+AD≥AC.

例3如圖3，凸四邊形ABCD中，如果點P滿足∠APD=∠APB=α，且∠BPC＝∠CPD=β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點．

(1)在圖4正方形ABCD內畫一個半等角點P，且滿足α≠β．

(2)在圖5四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡(不需寫出畫法).

(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點P1、P２(如圖6），證明線段P1P２上任一點也是它的半等角點．(2006年安徽省中考試題)

分析：(1)根據半等角點的概念及其試題的要求，所求的點在AC上，且不能為AC的中點和兩個端點；(2)我們利用對稱性來處理；(3)我們可以把問題轉化為證明直線P1P２是四邊形ABCD的對稱軸.

略解（１）根據分析（１）作圖，圖略．

(2)畫點B關于AC的對稱點Ｂ′，延長DＢ′交AC于點P，點P為所求，具體畫圖略．

(3)連P1A、P1Ｄ、P1Ｂ、P1Ｃ和P２Ｄ、P２Ｂ，根據題意，

∠AP1Ｄ=∠AP1Ｂ，∠DP1C=∠ＢP1Ｃ，

∴∠AP1B+∠BP1C=180°．

∴P1在AC上，

同理，P２也在AC上．

在△DP1P２和△BP1P２中，

∠DP２P1=∠BP２P1，∠DP1P２=∠BP1P２，P1P２公共，

∴△DP1P２≌△BP1P２．

所以DP1=BP1，DP２=BP２，于是B、D關于AC對稱.設P是P1P２上任一點，

連結PD、PB，由對稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以點P是四邊形的半等角點．

三、定義新數

例4如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．

如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20這三個數都是神秘數．

(1)28和2012這兩個數是神秘數嗎?為什么?

(2)設兩個連續偶數2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎?為什么?

(3)兩個連續奇數的平方差(取正數)是神秘數嗎?為什么?

(2006年浙江省實驗區中考試題)

解：(1)找規律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，…2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘數．

(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由這兩個連續偶數2k+2和2k構造的神秘數是4的倍數．

(3)由(2)知，神秘數一定可以表示成4(2k+1)的形式，因為2k+1是奇數，因此神秘數是4的倍數，但一定不是8的倍數.另一方面，設兩個連續奇數為2n+1和2n-1（n為正整數），則（2n+1)2-(2n-1)2=8n，即兩個連續奇數的平方差是8的倍數.因此，兩個連續奇數的平方差不是神秘數.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。