“一次函數的圖象”課例點評

［摘 要］函數是刻畫我們生活中相關變量之間相互關系的常用模型，數形結合是解決函數問題的基本思想方法，筆者為此就一節“一次函數圖像”公開課，在授課時應注意的幾個問題加以探討：給學生提供了充分活動的機會，把握重點，調動各種能力激發了學生的積極性。

［關鍵詞］一次函數 一次函數圖像

［中圖分類號］G632 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009－5489(2007)08－58－02

含圖象信息的一次函數應用題，是近年來中考命題的熱點題型，這類題形式活潑、題型新穎、情景生動，富有時代氣息，充分體現了新課程標準的理念。借助函數圖象來研究函數的特性，是初中數學的一種重要的思想方法，要熟練掌握。

我們周圍充滿了許許多多相關聯的量，它們的變化以及之間的相互關系，都是我們十分感興趣的東西。而在數學中，函數就是刻畫這些變量間相互關系的常用模型，其中最簡單、最常見的，當然就是一次函數。數形結合的方法是解決函數問題的基本思想方法。筆者就一節“一次函數的圖像”的課，談談自己的看法。

一、教學實錄

師：上節課我們學習了一次函數，請同學們舉出幾個一次函數的例子。

學生1：y=x+2

學生2：y=2x-1

學生3：y=x

學生4：y=－3x

師：其中三、四兩位同學舉的是特殊的一次函數。

同學(齊答)：正比例函數。

師：昨天的作業讓同學們每人用描點法畫兩個一次函數的圖像，畫好的同學請舉手。同學們基本都畫好了，你們所畫的圖象是什么形狀的？

同學(齊答)：是直線。

師：有沒有畫的不是直線的，請舉手。

同學：沒有。從而你們能得出什么結論呢？

學生5：一次函數的圖象是直線。

師：這就是我們本節課要講的內容——一次函數的圖象。

師：回想一下，你是用什么方法畫出函數圖象的呢？

學生6：描點法。

師：你描了幾個點？

學生7：七個點。

師：減少點的個數行不行？六個、五個……二個可不可以畫出函數的圖象？

學生8：不可以，因為點的個數太少，圖象不夠精確。

學生9：可以，因為兩點確定一條直線。

師：你們贊成誰的說法？

同學(齊答)：贊成學生9的說法。

師：由于一次函數的圖象是一條直線，所以今后再畫一次函數的圖象，只要描出兩個點就可以了。如：y=2x－1的圖象，你會描出哪兩個點？

學生10：(0，－1)；(1，1)

學生11：(－2，－5)；(－1，－3)

學生12：(0，－1)；(1/2，0)

學生13：(－2，－5)；(1，1)

師：同學們描的這些點都可以，只要是在自變量取值范圍內函數圖象上的點都可以，但是這四位同學描的點有特殊的嗎？大家看一下點的位置在那兒？

眾生：有，在坐標軸上。(0，－1)和(1/2，0)

師：那你們認為取怎樣的點又方便些？

眾生：坐標軸上的。

師：那對于直線：y=kx+b我們如何取坐標軸上的點？(討論)

眾生：分別令xy等于零可得；y=b，x=－b/k即(0，b)，和(－b/k，0)點

師：下面請同學們在同一直角坐標系中畫出各組函數的圖象：(分組進行)

(1)y=x+1與y=x－2(2)y=－x與y=-x+3

(3)y=2x－1與y=x－1(4)y=-x+1與y=x－2

師：把各組同學完成的圖象展示給大家，你們觀察各組兩個圖象之間有什么關系？

學生14：前兩組中兩條直線互相平行，后兩組中的兩條直線相交。

師：你能通過觀察它們的函數關系式找出產生這種現象的原因嗎？

學生15：k值相同時兩直線平行。

師：k值相同、b值不同，兩條直線互相平行。由于兩條直線平行，所以一條直線可由另一條直線平移得到。如：y=x-2，可由y=x+1經怎樣平移得到？沿y軸向下平移3個單位得到。同樣，y=x+1可由y=x-2如何得到？

學生16：沿y軸向上平移3個單位。

師：再觀察后兩組的兩個函數的圖象有怎樣的位置關系？

學生17：兩條直線相交。

師：觀察函數關系中的k、b值可以發現，每組中兩個函數的k值不同。所以，k值不同時，兩直線相交于一點。

師：下面，我們一起來看一下常數k、b的取值對直線位置的影響。

(1)k相同、b不同，兩直線互相平行，函數圖象與y軸交點的縱坐標不相同；

(2)k不同，b相同，兩條直線傾斜程度不相同，兩直線與y軸相交與同一點(0，b)

師：填一填：

對于兩直線y1=k1x+b1，y2=k2+b2(k1、k2≠0)，

(1)當k1k2，b1b2，兩直線平行；

(2)當k1k2，b1b2，兩直線相交于；

(3)將y=kx+b(k≠0)得到y=kx+b－m(k≠0，m>0)。

師：小結

1、兩點法畫一次函數的圖象。即過(0，b)和(－b/k，0)兩點。

2、常數k、b的取值對直線位置的影響

(1)k相同，b不同，兩直線互相平行，函數圖象與y軸交點的縱坐標不相同；

(2)k不同，兩直線傾斜程度不相同，即(0，b)。

(3)b相同，兩直線在y軸上交于同一點。

師：布置作業，同學們通過觀察探索這節課所畫的直線通過的象限與k，b的直有關系嗎？若有試著歸納一下。

二、“一次函數的圖象”案例評析

《一次函數的圖象》是北師大版八年級數學，共兩課時。此為第一課時。這個課例，特點是設計的思路好，注重師生的雙邊活動，充分發揮學生的主體作用。筆者對照自己的教學，從以下幾個方面談點看法：

1、給學生提供了充分活動的機會，以學定教，保證活動的質量。整堂課是通過由學生分組畫不同的一次函數圖象，然后從所畫不同一次函數的圖象都是一條直線中得出一次函數的圖象是直線的結論，然后啟發學生去思考能否有簡便的方法將圖象畫出，得出本課的重點，可只描直線與坐標軸的兩個交點而得一次函數的圖象，起到了快速畫圖的作用。而后給學生練習的機會，讓學生利用兩點法很快畫出幾組一次函數的圖象，并觀察每組直線的位置關系從而得到本堂課第二個有用的結論。

2、能把握重點、調動各種能力，幫助學生理解和掌握知識，主要表現在兩個方面：(1)得出“畫一次函數圖象只需描出圖象上與坐標軸的兩個交點”的結論后，又讓學生畫了四組函數的圖像，使方法得到了進一步鞏固，既讓學生知道如何去找圖象上的兩個點，也使學生理解了剛剛得出的結論。(2)在整堂課畫圖的過程中都采用了分組畫的方法，這樣做的好處不僅向學生提供了充分從事數學活動的機會、使學生獲得廣泛的數學活動體驗，而且結論的得出也具有說服力且節省了大量的時間。

3、激發了學生的積極性，表現在提問學生以及展示學生的答案到位，而且整個教學過程是在大多數學生都完成圖象的情況下進行的，面向了全體學生。

4、注意用科學的方法激發學生的思維。例如，講兩個一次函數k相同、b不相同，問：與前一條直線相比，你有哪些感受。還有確定兩點法后又進一步引導啟發找特殊點與坐標軸的交點，符合這個年齡的學生的認知特點。

5、時間上把握的比較好，把用描點法畫圖像留在課前節省了時間，整節課顯的比較輕松。

任何事物有他的亮點同時也有他的不足，筆者根據自己的感受，基于本次課，談一點本人認為需要改進的兩個方面：

1、教師的仔細程度不夠，在展示學生的圖象時，有的沒有坐標原點，教師沒有及時強調指出。

2、在教學內容的處理上，如何實現兩條直線間的轉化部分，沒能很好地將舊知識與新知識聯系起來，特別是兩條平行線間可進行平移一帶而過，應在直線上取幾個點讓學生觀察，效果會更好。

總之，教學有法，但無定法。本課例是一節比較好的數學課，達到了預期的目標。實現了對學生能力的培養，符合新課程的理念。

［參考文獻］

［1］承錫生：《“一次函數”的學習方略》，《時代數學學習(八年級)》2004年11月。

［2］方常春：《“一次函數”回顧與思考》，《時代數學學習(八年級)》2006年12月。

［3］張渝：《一次函數》，《數學教學通訊》2005年8月。

［4］于志洪、劉東平：《一次函數應用題評析》，《中學課程輔導》2006年7月。