“住房抵押貸款支持證券”定價模型及其應用

摘 要：從最優期權贖回策略的角度探討了借款人的提前清償行為，從理論上推導了一般債券定價的偏微分方程，分析了住房抵押貸款支持證券及其它四類債券定價的邊界條件，利用隱形差分法求解了在CIR模型下的偏微分方程并獲得了MBS的最優贖回利率，比較分析了MBS和其它債券的價格關系。

關鍵詞：最優期權贖回策略；住房抵押貸款支持證券；數值分析

中圖分類號：F830.593

文獻標識碼： A

文章編號：1003-7217(2007)02-0061-05

一、引言

2005年12月15日，中國建設銀行在全國銀行間債券市場發行了國內首只“住房抵押貸款支持證券”(mortgagebacked security，MBS)“建元2005-1個人住房抵押貸款支持證券”，這標志著國內住房抵押貸款證券化已經進入實際操作階段。按照中國銀監會的要求，為深化銀行改革，進一步匹配和優化銀行的資產負債結構，提高資本充足率，防范、分散、轉移風險，推進信貸資產業務標準化和規范化，試點MBS的銀行將會進一步擴大，最終形成一個完備的住房抵押貸款二級交易市場。

在MBS方面，自1998年起，國內學術界和各金融機構就為住房抵押貸款證券化的具體實施和操作做了大量積極的研究和探索，這主要集中在證券化模式的選擇和操作過程中的制度安排等問題。勿庸置疑，這些研究從制度上保證了住房抵押貸款證券化的順利推進。然而應當看到的是，對MBS定價方面的研究還相當缺乏，目前僅有陳穎和屠梅曾以及陳柏東綜述了國外MBS的定價方法^[1，2]，施方雖然定量分析了MBS的價格，但缺乏MBS與其他含權債券的系統比較^[3]。就國外的研究現狀而言，Dunn-McConnell最早利用期權定價理論求解了MBS所滿足的偏微分方程，從而開創了基于期權的MBS定價方法^[4]。Stanton在這兩位學者的基礎上，進一步考慮了借款人異質、交易成本等影響借款人提前清償行為的因素^[5]。Brennan和Schwartz將長期利率作為影響MBS價格的另一潛在要素，考慮了基于雙要素的MBS定價模型^[6]。與Dunn和McConnell相比，Schwartz和Torous認為基于期權的MBS定價方法不能完全解釋借款人的提前清償行為。因此，利用30多年的美國MBS提前清償數據，在生存分析(survival analysis)的基礎上，將COX模型并入偏微分方程來求解MBS的價格，從而開創了基于實證分析的MBS定價法^{[7， 8]}。與實際市場數據相比，兩種方法求得的價格都與其存在一定差距，而造成這些差異的主要原因是由于借款人的提前清償行為較難用模型加以刻畫，同時交易成本、借款人異質、抵押貸款違約率等因素也會造成兩者的差異。因此，Downing， Stanton和Wallace在其最新的研究中將抵押的房屋價格、借款人異質、交易成本等因素同時納入定價模型中，發現兩者的差異變得很小^[9]。

應當看到，由于市場之間的差異，國外的定價模型不能照搬到中國的市場來直接利用，同時，并非所有的定價模型都能很好地加以利用，如基于實證的MBS定價方法。這主要是因為中國還缺乏抵押貸款借款人提前清償行為的數據，雖然理論上既可以利用抵押證券群的還款數據(目前還沒有)，也可以利用各銀行單筆抵押貸款還款人的數據，但由于后者對各銀行來說屬于機密數據，一般的學術研究很難獲得這些資料，這些現實困難使得目前國內對MBS的定價研究方法，只能利用基于期權的定價方法。

以下將從理論上利用期權思想來對MBS進行價值分析，由于沒有實際的還款數據，借款人提前清償行為將從最優期權贖回策略的角度來加以解決。作為定價模型的一個應用，在假設要素動態過程的基礎上利用隱形差分法來求解偏微分方程，并獲得借款人的最優贖回利率，再對MBS和其它各類含權和無權債券進行比較。

二、MBS的定價模型和求解方法

（一）MBS的價值分析

假設一只MBS，票面利率為c0，住房抵押貸款每月等額償還，那么，月利息率為c0/12，將單利轉換為連續復利，它的年連續復利為c=12ln(1+c0/12)。假設債券面值為f(0)，當前時刻為0，債券到期日為T，在不考慮提前清償的情況下，這只債券是每月等額償還。在連續時間下，可以將每月的等額償還轉換為連續等額償還，假設每時刻該債券的等額償還額為x，根據現值關系，那么，x與f(0)和連續復利c存在以下關系：

MBS定價之所以復雜，主要是由于支撐MBS現金流的是住房抵押貸款，而住房抵押借款人存在提前清償和違約行為。從期權的角度分析，在一個不存在摩擦的市場下，當借款人向銀行申請住房抵押貸款成功后，銀行同時給予住房抵押借款人提前清償貸款和違約的權利，當市場的利率不斷下跌，抵押貸款的價值高于未償還的本金時，住房抵押借款人將會執行贖回期權(call option)，即從其他銀行以更低的成本借入相應的資金來償還未支付的本金，致使住房抵押貸款提前結束，這將導致MBS的現金流發生劇烈變化；而當抵押的房屋市價不斷下跌，跌至未償還本金以下時，借款人將會執行回售期權(put option)，即發生違約行為，這使得銀行不得不處理抵押的房屋來挽回損失，從而影響MBS的現金流。從以上的分析可以看到，基于期權的MBS定價方法，其提前清償行為是從最優贖回策略的角度來加以考慮的，即在任一時點上，存在一個最優的贖回利率，當市場利率低于最優贖回利率以下時，所有的住房抵押貸款將會發生提前清償；而當市場利率高于最優贖回利率時，所有的借款人都不會提前清償。

（二）基于最優贖回策略的MBS定價模型

假設在一個不存在摩擦的經濟里，整個經濟的狀態可以由m個狀態變量來加以描述，t時刻這m個狀態變量形成了狀態向量（t)＝（Ｘ1（t)，…，Ｘm(t))，考慮最一般的情況，這m個狀態變量服從如下的隨機微分方程：

式(4)中，βi和ηi表示第i個狀態變量隨機微分方程的漂移項和擴散項，dwi表示維納增量財經理論與實踐(雙月刊)2007年第2期2007年第2期(總第146期)謝 赤等：“住房抵押貸款支持證券”定價模型及其應用基于最優期權贖回策略的分析過程，不同狀態變量的擾動項可能存在相關性，即dwidwj=ρijdt。由于整個經濟的狀態都可以由這m個狀態變量來加以描述，那么，t時刻任意債券的價格可以表示為狀態向量和時間的函數，即Ｖ（（t)，t)。

在極短的時間內，債券自身價格的變化可以表示為dV：

上式被定義為債券的瞬時收益率。用r(t)表示t時刻的無風險利率，為了滿足市場不存在套利機會，根據CIR，債券的瞬時收益率應當滿足以下條件^[10]：

式(8)中λi表示風險的市場價格，由于Vi一般為負，為了保證正的風險溢價，λi一般應大于0，由于有m個狀態變量，那么，必須有m個風險的市場價格來描述債券收益與無風險利率之間的均衡關系。將式(7)帶入式(8)，可以得到任意債券價格所滿足的偏微分方程：

式(9)是所有債券價格必須滿足的偏微分方程。差別只是不同的邊界條件限定了不同類型的債券價格變化過程。下面逐一分析MBS及其它含權和無權債券定價的邊界條件。

1. MBS的邊界條件。以V1表示MBS的價格，其期限為T，由于抵押貸款具有分期等額償還和可提前清償的性質，因此，MBS債券到期價格為0，在債券期限的任意時點上，債券都有可能被贖回(call)，而且該期權的執行價格是時變的，等于債券的未償還本金f(t)。當利率趨近于無窮大時，MBS的價格為0。因此，可以得到以下3個邊界條件：

2. 無權債券邊界條件。以V2表示無權債券的價格，其期限為T，無權債券是普通的附息債券，按期支付利息，到期還本。因此，到期日其價格為面值(假設為100)，當利率趨近于無窮大時，MBS的價格為0。其它邊界條件需要根據狀態模型來加以確定。

3. 可贖回債券邊界條件。以V3表示可贖回債券的價格，并且這種權利是美式的，債券期限為T，其執行價格為E，由于在債券期限的任意時點上，債券都有可能被贖回(call)。當利率趨近于無窮大時，MBS的價格為0。因此，可以得到以下3個邊界條件：

4. 可回售債券邊界條件。以V4表示可贖回債券的價格，并且這種權利是美式的，債券期限為T，其執行價格為E，由于在債券期限的任意時點上，債券都有可能被回售(put)?？苫厥蹅睦什荒苴吔跓o窮大，由于在期限內的任意時點上都存在一個最優回售利率，當利率高于最優回售利率時，債券都將會被回售，因此，其利率的取值只能在某一利率邊界以下。因此，可以得到以下2個邊界條件：

5. 分期不含權債券邊界條件。以V5表示分期不含權債券的價格，其期限為T，分期不含權債券具有MBS的性質，即在債券期限內本金和利息同時等額加以支付，在到期日，債券的價格為0，其他性質類似于普通附息債券。因此，其邊界定價條件為：

在不同的狀態變量隨機微分方程和風險市場價格的假設條件下，可以通過求解偏微分方程(8)獲得各類型債券的解。在絕大多數狀態變量隨機過程下，式(9)并不存在解析解，這意味著必須利用數值方法才能求得各種債券的數值解。目前，求解偏微分方程的方法主要有顯性差分法、隱性差分法和利率樹圖法。Brenha和Schwartz證明了在時間網格趨近于0的條件下，顯性差分法等價于利率三叉樹法^[11]。Geske和Shastri^[12]進一步比較了顯性差分法和隱性差分法在求解偏微分方程過程中的能力，發現隱性差分法比顯性差分法更可靠，求得的數值解均會收斂于方程的解，而顯性差分法雖然求解過程較快，但需要保證網格間距在一定條件下，求得的數值解才會收斂于方程的解^[13]。因此，可以利用隱性差分法來求解式(9)。

三、模型的數值求解和比較

理論上，模型(9)很好地解決了各類債券的定價問題。然而，在實際應用過程中還存在一些障礙：一方面用來描述整個經濟的狀態變量個數和狀態變量服從的隨機微分方程如何設定；另一方面對風險市場價格λ的設定既可以采用外生假定的形式，也可以從整個經濟均衡的角度，根據極大化投資者期望效用函數來求得。對于這兩個問題目前學術界都還沒有達成共識。這里，假設狀態變量個數為1，并設定這個狀態變量為短期無風險利率r(t)，其隨機微分方程服從CIR過程^[10]：

其中，a表示短期利率的均值回復速度，b表示均值回復水平，σ表示利率的波動系數。CIR能較好地描述利率的動態行為，它克服了Vasicek和其他一些短期利率模型可能取負值的缺點，同時利率的波動項與利率水平相關，能夠描述部分利率變化過程中的波動群聚(volatility clustering)行為。

在后續的數值分析中，設定a＝0.1，b=0.06，σ=0.05，λ=0.1，債券的期限為30年，票面利率為8%，面值為100，期權的執行價格為100。通過隱性差分法求解在(10)～(14)的邊界條件下偏微分方程(9)的數值解，可以得到如表1的計算結果。表1中僅列出了當前利率初值為1%～15%的條件下，30年期各類債券的理論價格。同時在圖1中，畫出了這5種債券在不同利率初值下的價格關系圖。

表1 不同利率初值下MBS和其它債券的價格比較

圖1 不同利率初值下MBS和其它債券的價格關系

將表1和圖1結合起來考慮，可以發現以下幾個特點：

(1)5種債券中無權債券和分期支付債券是不含有任何其他權利的債券，分期支付債券由于可以提前獲得現金流，因此，在較小的利率初值時無權債券價格應當高于分期支付債券，隨著利率的提升，分期支付債券價格將超過無權債券價格，并且這種差距越來越大。然而，這種價格關系將會受到利率均值回復速度、波動系數和風險市場價格的影響，并非所有的價格關系都包含這兩種情況。這里，當初始利率處于較小值時，分期支付債券的價格就已經高于無權債券，而且隨著利率的提升，兩者差距進一步加大，出現這種情況主要是由于設定的均值回復速度和波動系數偏大，造成未來利率變化大，從而在初始利率較小時無權債券價格就高于分期支付債券。

(2)5種債券中，可回售債券由于是投資者持有權利，因此在相同條款下，其價格均大于其他含權債券，大于或者等于無權債券，表1和圖1清楚的說明了這點。對于回售債券，在債券期限內任一時點上均存在一最優回售利率，當市場利率高于該利率時，該債券將會發生回售。表1的計算表明，在0時刻，該債券回售的最優利率處于9.1%～10%之間。當初始利率高于這一利率時，債券價格等于回售價格100。當利率波動較小，在初始利率前期，可回售債券價格將等于無權債券，隨著初始利率的增大，兩者的差距越來越大。由于數值分析部分波動系數偏大，造成期權價值大，因此，圖1中沒有完全顯現出兩者在前期發生收斂的情況。

(3)MBS和可贖回債券具有類似性，除了兩者支付利息和本金的方式不同，對于MBS和可贖回債券，兩者在0時刻均存在一個最優贖回利率。表1的計算表明，可贖回債券的最優贖回利率在2%～3.1%之間，而MBS的最優贖回利率在3.1%～4.1%，這表明由于MBS現金流的等額支付性造成其最優贖回利率將會高于可贖回債券的最優贖回利率。圖1也進一步說明了這種關系。在0時刻，當初始利率較小時，MBS和可贖回債券的價格相等，等于其面值。當初始利率進一步加大，MBS和可贖回債券的隱含期權價格越來越小，這造成MBS的價格將會收斂于分期支付債券，而可贖回債券價格將會收斂于無權債券價格。

圖2 MBS的最優贖回利率

由于住房抵押貸款內涵贖回期權的美式性，因此，在MBS期限內的任意時點上，均存在一個最優贖回利率。利用隱性差分法，求得在假設條件下MBS的最優贖回利率，如圖2。從圖2可以看到，求得的最優贖回利率表現為一個階梯函數，這是由于在差分求解過程中，網格的間距所造成的，隨著網格間距越來越短，最優贖回利率曲線將會越來越光滑。圖2中，MBS的最優贖回利率是不斷上升的，隨著到期日的臨近，觸發借款人贖回的利率不斷提高。這主要是由于隨著債券期限越來越短，期權執行價格越來越低，因此，需要更大的利率來使得貼現的現金流等于其執行價格，從而造成最優贖回利率的不斷提高。

四、結論和后續研究建議

以上從最優期權贖回策略的角度來分析借款人的提前清償行為，經過理論和數值方面的分析，主要得到以下結論：

(1)推導的偏微分方程理論上可以為任意債券定價，不同類型的債券可以通過不同的偏微分方程邊界條件來體現。這里利用的隱性差分法能較好地解決這一方程的數值求解問題。

(2)MBS和分析的4類債券，它們的價格存在一定關系?；谧顑炡H回策略的MBS與可贖回債券最相似，MBS的最優執行利率高于可贖回債券的最優贖回利率。當初始利率處于最優贖回利率以下時候，MBS的價格等于其未償還本金，可贖回債券價格等于其指定贖回價格。當利率超過最優贖回利率并進一步加大，MBS的價格將會收斂于分期支付債券，而可贖回債券價格將會收斂于無權債券價格。

(3)住房抵押貸款隱含期權可以在貸款期限的任意時點上執行，其最優執行利率隨著期限的變小而不斷變大。

可以看到，以上從最優贖回策略的角度來對MBS定價，由于數據方面的原因，還沒有考慮交易成本、借款人異質等問題，借款人提前清償行為沒有考慮非利率等其他變量的影響。隨著數據庫建設的不斷完善，在模型中進一步考慮其它因素將是以后研究的重點。

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The Pricing Model of the MBS Based on the Optimal Option Call Policy and Numerical Analysis XIE Chi1， 2， TAN Wensheng1， YAN Ruizeng1

(1. College of Business Administration， Hunan University， Changsha，Hunan 410082， China;

2. Center of Finance and Investment Management， Hunan University， Changsha，Hunan 410082， China)Abstract：In this paper， we analyze the prepayment behavior of the borrower form the perspective of the optimal option call policy. We theoretically derive the generic pricing partial equation and analyze the boundary condition to the mortgage backed security (MBS) and other four bonds. Then we numerically solve the partial equation under the CIR model and get the optimal call interest rate for the MBS. After comparisons， the relationships between the prices of MBS and other bonds are also analyzed.

Key words： Optimal Option Call Policy; Mortgagebacked Security (MBS); Numerical Analysis

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