阿羅定理的故事

阿羅定理證明了投票并不是通往民主的捷徑，同時也加深了人們對民主制度更多的理解

規則、約束似乎已經成為現代人生活中無法回避的重要內容。而我們可以設想，在結成社會之前的原始狀態下，由于沒有任何規則、任何約束，人們會陷入到“一切人對一切人戰爭”的恐怖生活之中。為了和平共處，人們必須達成一些基本的共識，比如共同遵守任何人不得隨意侵害他人生命之類的原則。

形成某種共同意志是人類社會中頻繁發生的事。可是，眾說紛紜時，共識怎樣才可能形成呢？我們可以設想有這樣幾種方式:其一，知識就是力量，讓最聰明的人替所有人做決定;其二是把命運交給上帝，根據宗教教義、傳統來做決定;其三，人群中有一個獨裁者，他的意志就是一切;其四，通過投票的方式，依據某種投票規則，比如少數服從多數的原則來做集體決策。

在現代社會里，前三種方式是不能被接受的，康德在200年前提出的一個偉大命題——“每一個人都是目的”，已然成為普世價值。在做集體決策時，每一個人的選擇都是必須被尊重的，上述前三種方式違背了這一原則，而最后一種方式則被廣為接受，這種方式被稱為“民主”。

“民主”，這是一個令國人百感交集的詞?！拔逅摹币詠?，“民主”與“科學”就成為國人孜孜以求的強國之路。在為數不少的人的理解中，“民主”被理解為是一種投票規則，其意義在于大家根據多數原則通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。

然而，在今天看來，如此理解民主顯然是太簡單化了。偉大的古希臘哲學家蘇格拉底因言獲罪，要接受公民大會的判決。這一次的公民大會經歷了初審和復審兩道程序，初審中500個公民進行了投票，結果是280票對220票判處蘇格拉底有罪。復審是決定蘇氏是否該判死刑，復審之前，蘇格拉底雄辯地為自己做了無罪辯護，可是希臘民眾不僅沒有被他口才折服，反而更加激怒，結果是以360∶140票判處蘇格拉底死刑。所謂的民主，就這樣剝奪了一個文化巨人的生命。

毫無疑問，民主是一種偉大的價值，可是，將民主簡單地理解為多數決策規則是過于簡單化了，多數決策原則很可能會帶來邏輯上矛盾的結果，對此做出了最深刻和最徹底揭示的是美國當代的思想家肯尼斯·阿羅，他于1972年獲得了諾貝爾經濟學獎。

阿羅定義了個人做選擇時必須遵守的5項公理性條件:第一，理性條件，這項條件要求個人選擇中的偏好排序是可以傳遞的，即如果某個人對三種狀態的排序順序是x優于y、y優于z，那么要求x優于z成立;第二，無約束域條件，即每個人對備選項中所有邏輯上可能的排序都是許可的，這一要求即是所謂“個人主權”原則，它強調的是個人的偏好完全是自主選擇自由表達的;第三是非獨裁條件，不允許存在某個人的偏好選擇總是自動地成為大家的共同偏好，這是要求不能存在獨裁者;第四是帕累托原則，當所有的社會成員都認為某種備選方案優于另一種方案時，社會也應該這樣認為;第五是無關方案獨立性條件，這要求任意兩個備選方案的排序應具有獨立性，應僅取決于個體對這兩個社會狀態的排序，與其他社會狀態的排序無關。這些前提條件被認為只是一些常識性的要求，大致都是一些起碼的共識。但是，從這些常識性前提出發，阿羅卻在1951年發現，如果對大于3個的備選方案按照少數服從多數規則進行投票時，會出現投票循環。進而，阿羅更徹底地證明了，不可能找到一種仍不為人所知，但又滿足阿羅合理性指標的社會決策規則。這就是著名的“阿羅不可能性定理”。

阿羅定理的證明過程很復雜，但并不難理解，可以給出一個最簡單的例子來說明。3個人甲、乙、丙對三種社會狀態a、b、c進行投票。甲的選擇是a優于b、b優于c，乙的選擇是b優于c、c優于a，丙的選擇是c優于a、a優于b，按照多數原則選出一個最佳方案，則我們可以發現，對a與b投票時a勝于b，對b與c投票時b勝于c，對c與a投票時c勝于a，出現了循環，即a>b、b>c、c>a，這種結果是一種邏輯矛盾。如果一定要做出選擇，無論是選擇哪個選項，總會違背一個人的意愿。當年，偉大的法國思想家托克維爾在考察美國的政治制度時就發現，簡單多數投票規則會出現一種所謂“多數人的暴政”，形成多數意見對少數意見的壓制。

當然，投票循環并不是經常發生，而具有一定的偶然性。后來有研究發現，隨著投票人數量或被選擇項越多，產生投票循環的可能性就越大。在投票者為3人，選擇方案為3個的情況下，產生投票循環的概率約為5.7％;當投票者增加至15人，選擇方案增加至11個時，產生投票循環的概率提高到50％，也就是說，兩次投票中就有一次投票循環現象出現。因而，對于每天都在頻繁進行著各種會議和集會的民主社會來講，如此高的投票循環概率使得這種決策方式失去了意義。

而且，按照多數原則形成的決策結果未必可靠。一個真實的例子是，烏克蘭在1991年3月的全民公決中，70.2％贊成維持蘇聯聯邦體制，不贊成獨立;同年12月的全民公決，90.3％的人卻轉過來支持烏克蘭的獨立。

阿羅定理的發現是向傳統思維投擲了一枚思想炸彈，引起了西方學術界廣泛的討論，一直延續到今天。但是，阿羅定理經受住了所有邏輯上的質疑，研究者們不得不同意，只要遵循阿羅的邏輯框架，阿羅定理就一定成立。

難道民主并不如想象中的美好嗎？事實并非如此，阿羅定理其實只是加深了人們對民主制度更多的理解。在今天，能有效克服阿羅定理的新型民主制度已然出現，并已在社會實踐中逐漸擴展，這就是“協商民主”制度。