談利用必要條件解題

　　必要條件是數學中的一個重要概念，數學中很多問題利用其題設的必要條件，往往可以得到簡捷迅速的解決. 利用必要條件解題，即挖掘題設的必要條件，通過對題設必要條件的解決，而獲得原問題的解決或解題思路. 利用必要條件解題作為解題策略，基本思想是很簡單的：問題往往是尋求“題設的充要條件”，而相對于“題設的充要條件或充分條件”而言，“題設的必要條件”往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且所求得的題設的必要條件，不僅包含著題設的充要條件，而且在題設的必要條件的解決過程中，常常隱含著問題的解法. 因此，人們在對某個問題解決有困難時，常常會想到先尋求題設的必要條件，然后再通過驗證其充分性，而獲得問題的解決．即直接解決題設的充要條件有困難時，通過先考慮題設的必要條件，使題設的充要條件只需到題設的必要條件這個較小的集合中去尋找即可(如圖). 因此，利用必要條件解題常表現為范圍的收縮或限制，即由從較大范圍(U)中的尋找轉化為在較小范圍(B)中的尋找．
　　利用必要條件解題有三種功能：⑴直接解答問題；⑵提示解題方向；⑶先縮小范圍，再通過逐一驗證是否是充分條件，使問題獲解. 總之，利用必要條件解題是一個非常有實效的解題策略．以下略舉數例加以驗證．
　　
　　1 直接解題
　　
　　2 提示解題方向
　　
　　例3 如圖，在△ABC的三個頂點A、B、C處分別有動點D、E、F，并且它們分別沿射線AB、BC、CA方向做勻速直線運動. 已知它們同時出發，并同時分別到達B、C、A三點. 求證:在這個運動過程中，△DEF的重心G是定點．
　　分析 既然在這個運動過程中，△DEF的重心G是定點，所以運動過程中的任意時刻的△DEF的重心M就是定點G(必要條件). 從而只需先確定某一特殊位置的△DEF的重心，此即為要證明的定點. 這樣，解題目標已經明確，問題的證明就會變得明朗起來. 故，首先，確定△DEF的重心G是定點誰，至關重要. 一方面它能使解題目標明確；另一方面它能幫助我們檢驗結論是否正確. 這只需注意到剛開始運動時和運動結束時，△DEF的重心G均是△ABC的重心，是定點. 其次，同時出發、同時到達、勻速直線運動，這些關鍵詞暗示著什么?時間過半，則任務過半，在同一時刻，動點D、E、F所走完全程的“份額”是相同的. 用數學語言表示就是在任何時刻點D、E、F分別分有向線段AB、BC、CA的比是同一個實數λ．這是一個重要的信息！第三，下面顯然可以用坐標法，即在平面ABC上建立坐標系，使點與有序實數對一一對應，將幾何證明轉化為程序化的代數計算．第四，可能會有同學根據建立平面直角坐標系的常規方法，以直線BC為x軸、以線段BC的中點為原點建立平面直角坐標系．這樣雖然可以使B、C兩點的坐標具有對稱性，但A、B、C三點的對稱性卻被破壞了. 在題設中A、B、C三點的地位是平等的，我們應該不偏不倚地對待它們，即任意建立直角坐標系．
　　
　　巧解：令f(x)=0，易知滿足題設條件(充分條件)．立得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0．上述解法就是用的特殊化方法，而不是利用必要條件解題．
　　
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