對一道彈簧試題的質疑

某地聯考試卷上有這樣一道題：

原題如圖所示，質量為m=2kg的小球系在輕質彈簧的一端，另一端固定在懸點0處，將彈簧拉至水平位置A處，且彈簧處于自然狀態，彈簧的原長OA=0.3m；然后小球由靜止釋放，小球到達距0點下方h=0.5m處的B點時速度為v=2m/s，方向水平向左。求：

（1）小球從A運動到B的過程中彈簧的彈力做的功和此時彈簧的彈性勢能。

（2）求該彈簧的勁度系數k。

原解（1）小球從A至B過程中，取小球下落的最低點B為零勢能點，依機械能守恒定律：

可得：E彈=6J，所以彈簧在此過程做的負功，大小為6J。

（2）在B點，小球受拉力F=kx、重力G的作用，合力提供向心力，由牛頓第二定律得：F-mg=mv2r，代入已知x=0.2m、m=2kg、v=2m/s、r=h=0.5m，解得k=180N/m。

質疑第1問，沒有問題；而第2問中向心力表達式中的半徑r=h=0.5m成立嗎？小球從A點下落，OA長度逐漸變大，小球運動的等效半徑不斷變化，到達B點，離B點距離為h=0.5m，而此時等效曲率半徑不一定是OB間距。

由彈簧彈性勢能表達式EP=12kx2，代入E彈=6J、x=0.2m，解得彈簧的勁度系數為k=300N/m。代入F-mg=mv2r，可求得小球在B點的等效曲率半徑為r=0.2m，從而進一步說明原解的結果是錯誤的。

分析與建議擬題人考慮到高考不考查彈簧的彈性勢能EP=12kx2，而在B點應用牛頓第二定律，想當然地認為半徑等于OB間距，這也正是許多學生易錯的地方。為了不失去一道考查學生能力的好題，建議第2問改為：

求該彈簧的勁度系數（已知彈簧的彈性勢能表達式為：EP=12kx2，式中k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量）。

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