三力平衡問題解法分析

共點力的平衡中，三力平衡是靜力學的基礎。掌握三力平衡的處理方法是十分重要的，下面以一常見習題，簡析處理三共點力平衡的常用方法。

如圖1所示，質量為m的小球，分別由繩AO和水平繩BO懸掛在天花板和豎直墻上，當保持懸點O不動，而沿豎直墻向上移動B點時細繩AO、BO的拉力大小各怎樣變化？

分析該題實質是已知重力的大小和方向及細繩OA拉力的方向，求細繩OA、OB中拉力的大小。

1正交分解法

解析如圖2所示建立直角坐標系，將不在坐標軸上的力沿x軸、y軸方向進行正交分解，再根據物體平衡條件（∑Fx=0，∑Fy=0)列平衡方程式，聯立求解。

設F1方向與豎直方向成α角，F2(OB′)方向與水平線成β角，把F1、F2進行正交分解，據共點力平衡的分量式列出：

2分解法

解析根據重力對O點拉力產生的實際效果，可將其分解為沿繩子AO方向的分力F1′和沿B′O方向的分力F2′，F1′和F2′分別與F1和F2相平衡，然后通過解三角形求未知力。如圖3利用三角形內角和及正弦定理得：

3合成法

解析對O點受力分析如圖4所示，三個共點力平衡時，任何兩個力的合力必與第三個力大小相等方向相反，因此F1和F2的合力與mg大小相等，方向相反，再用三角形內角和公式與正弦定理，所列方程完全同二。

4圖解法（矢量三角形法）

解析三個共點力平衡時以三力為邊，可構成一封閉的三角形；三共點力平衡時，任何二力的合力都與第三個力大小相等方向相反，如圖5所示，OA與OB的合力OC，組成矢量三角形△OAC，當懸點B豎直向上移動時，矢量三角形依次變為△OA′C、△OA″C、△OAC……

由圖可知F2先減小，當F2⊥F1時，F2變到最小，而后繼續由小變大，而F1一直變小。可見這種方法比較直觀，避免了數學的論證。

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