一個隱含條件的挖掘在初中解題中的應用

有一個公式表示的隱含條件，只要在數學題的條件或結論中挖掘出這一個隱含條件，數學題就會迎刃而解。初中數學教師與學生應該重視這一個公式表示的隱含條件。這一個公式為：a2 ＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0，這只要乘以2再配方即可證明，事實上，2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0。

一、 證明三角形面積的大小

二、 判定三角形的形狀

判定三角形的形狀是數學思維中充滿活力而又非常神奇，具有探索功能，可以用先猜后證的數學思想來解題的重要園地。

(我們先用待定系數法，然后進一步挖掘隱含條件)即，

2x3+2(a+b+c)x+ab+bc+ca+m2x2+2mnx+n2，x3+3……(1)2mn=2(a+b+c)……(2)n2=ab+bc+ca……(3)

將(2) 的兩邊平方，4m2n2=4(a+b+c)2，再將(1)，(3)代入前式得出12(ab+bc+ca)=4(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)?圯4(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0 ，這就是我們挖掘的隱含條件。2(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0。觀察中發現挖掘出的隱含條件都是同一個隱含條件a=b=c，所以，三角形是等邊三角形。

三、 證明不等式

例4：已知△ABC的三邊為a，b，c，求證：ab+bc+ca a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)。(1985年全國部分地市初中數學競賽題)

分析：左邊的不等式只要注意挖掘的隱含條件的不嚴格的不等式是很容易的。要證明右邊的不等式， 即證明a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0 由于“不同質的矛盾要用不同質的方法來解決”，即證明(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2三角形中“兩邊之差小于第三邊。”a-b

綜上所述，我們所挖掘的隱含條件的不嚴格的不等式，遠遠不止于以上三個方面的應用。到了高中，它的挖掘更加神奇，它的應用更加廣泛。此不等式的變式從技能訓練到能力培養更具有魅力，數學教師對待這個問題既要有前瞻性，又要打好基礎，培養學生有變形能力、挖掘能力與洞察能力，才能在初中數學解題中遇到需要挖掘出同樣的隱含條件時，立于不敗之地。

參考文獻：

[1] 補愛軍等. “先猜后證”的數學思想判定三角形的形狀(J).河北理科教學研究.2004(1).

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