有效數字典型錯例分析

在實踐中，大量的計算需要用有效數字來計算。而部分中學生對有效數字的概念、運算法則理解得不夠，在數理化近似計算中常常出現錯誤.現舉例說明，希望對讀者有所幫助.

例1：近似數0.00403，1.005，55600的有效數字是多少？

［錯解］ 0.00403的有效數字是4、3，有2個；

1.005的有效數字是1、5，有2個；

55600的有效數字是5、5、6，有3個.

[分析]錯解的理解是零不管是在什么位置不算有效數字.其實非零數字前面零不算，但中間或后面零應算為有效數字.

[正解]近似數0.00403，1.005，55600的有效數字分別是4、0、3有3個；1、0、0、5有四個；5、5、6、0、0有5個.

例2：近似數13.89萬，5.750×10⁴分別有___個和___個有效數字.

[錯解]∵13.89萬＝138900，5.750×10⁴＝57500.

∴13.89萬有6個有效數字1、3、8、9、0、0.

∴5.750×10⁴有5個有效數字5、7、5、0、0.

[分析]近似數13.89萬最后一位9處于百位數，也就是說精確度是百位，那么顯然有效數字是1、3、8、9，有4個.

[正解]13.89萬的有效數字有4個，5.570×10⁴的有效數字個數是4個.

[說明]近似數13.89萬與13.89的有效數字是相同的，但精確度就不同.13.89萬的精確度是百位，13.89的精確度是百分位.

例3：近似數5703，如果它的精確度是10，那么它的有效數字是多少？

[錯解1] ∵5703的精確度是10，

∴5703≈5700.于是它的有效數字是5、7、0、0，4個

[錯解2]∵5703的精確度是10，

∴5703≈5700=5.7×10³

∴有兩個有效數字5、7

[分析] 當一個近似數是整十、整百、整千的數，并且確定它的精確度時通常把它寫成a×10n的形式，其中a是由近似數的有效數字所組成，且1≤a＜10，n是整數.

[正解]由題意得，5703≈5.70×10³

∴所求的有效數字是3個：5、7、0.

例4：2001年3月國家統計局公布我國總人口為129533萬人，如果以億為單位保留4個有效數字，可以寫成約為_________億人.

[錯解]因為保留4個有效數字，所以129533≈1.295×105

[分析]錯解只考慮了四個有效數字，而忽視了以“億”為單位.

[正解]由題意得，129533萬=12.9533億≈12.95億.

例5：作近似數計算

(1)6.035×0.27；（2）0.6674÷2.1

[錯解1]（1）6.035×0.27≈1.629≈1.63.

(2)0.6674÷2.1≈0.67÷2.1≈0.32≈0.3.

[錯解2] (1)6.035×0.27≈1.630

(2) 0.6674÷2.1≈0.3178.

[分析]錯解1嚴重地混淆了近似數的加減與乘除法的運算法則，應該用有效數字來計算而他用精確度.當然對一個近似數來說有效數字越多精確度越高，而對乘除(或乘方、開方)法近似計算來說不見得.[錯解2]就是典型的錯例.

近似數的乘法、除法（或乘方、開方）時，首先把有效數字較多的近似數四舍五入，使其比有效數字較少的近似數多保留一個有效數字，最后使計算結果有效數字的個數和原來已知數中有效數字最少的那個近似數的有效數字的個數相同.

[正解]（1）6.035×0.27≈6.04×0.27≈1.63≈1.6 .

(2)0.6674÷2.1≈0.667÷2.1≈0.318≈0.32 .

例6 ：近似計算3.054×2.5-57.85÷9.21

[錯解]原式≈3.05×2.5-57.9÷9.21≈7.63-6.29≈1.34≈1.3.

[分析]錯解中第一步前面乘法計算保留3個有效數字是正確，但后面除法計算中57.9保留3個有效數字是錯誤的，因為除法計算的應比較少的有效數字的個數多保留一位.

[正解]原式≈3.05×2.5-57.85÷9.21≈7.63-6.281≈7.63-6.28=1.35≈1.4 .

[說明]在正解中，7.63的百分位數3，是乘法計算中已經多保留的一位，因此減法計算時精確度保留百分位就可以，不用再多保留一個，然后把多保留的百分位四舍五入，最后保留十分位.

例7：計算2.8546×0.2938+5.8421 使結果精確到0.1.

[錯解]原式≈2.85×0.29+5.84≈0.83+5.84=6.67≈6.7

[分析]近似數的混合運算應該分別按照有效數字和精確度來計算，而錯解都用精確度來計算.因此，雖然結果正確，偶然巧合，但還是錯誤的.

設a=2.8546，b=0.2938 ，c=5.8421 ，要使結果精確到0.1 ， a與b的積和c都應得兩位小數，因此可以取c≈5.84 ，又因為a與b的積肯定是一個純小數且十分位不是零，保留兩位小數就是取兩個有效數字，所以a和b也應取兩個有效數字.

[正解]原式≈2.9×0.29+5.84≈0.84+5.84≈6.67≈6.7