微分學在市場經濟中的應用

［摘要］本文主要介紹商品價格、人均收入是如何影響商品的需求量，用高等數學中的微分學知識提出需求彈性，偏彈性的基本概念，并應用需求彈性，偏彈性去分析市場經濟中商品的需求關系。

［關鍵詞］需求函數需求彈性偏彈性

一、需求函數

在商品市場中，影響消費者對該商品的需求因素有價格、人均收入、供給、成本等，其中商品的價格是影響消費者對該商品的需求的主要因素，如果忽略如人均收入、供給、成本變化等其他因素，僅把需求量看成是價格的函數：Q=f(p)，Q表示需求量，p表示價格，稱為價格需求函數（簡稱需求函數）。在正常情況下，商品的價格下降，需求量增加，反之商品價格上漲，需求量減少。因此，需求函數一般為單調函數。

二、需求彈性

在商品市場經濟中，經營者要提高經濟效益，不僅要提高質量，降低成本而且要做好市場預測，掌握商品的供求信息。在銷售時，經營者應根據市場信息，常常對某些商品采取降價措施，使銷售量增加，薄利多銷，增加經濟收益，而有的商品，同樣采用降級銷售，但銷售量增加卻不多，經營者未能增加經濟收益，這時我們不僅要研究商品的絕對改變量，而且常常需要研究其相對改變量。例如:商品甲原每單位10元，現漲價2元，商品乙原每單位價格為1000元，現漲價2元，兩種商品價格的絕對改變量都是兩元，但與其原價相比，兩者漲價的幅度卻有很大的差異，商品甲漲價了20%，商品乙漲價了0.2%，即商品甲的價格相對改變量為20%，商品甲的價格相對改變量僅為0.2%，但其需求量Q的變化也明顯不一樣，其原因取決于該商品的需求量對價格變動的敏感程度，即商品的價格需求彈性。

設函數y=F(x)在點x可導，當自變量在點x取改變量△x時，函數相應的改變量△y=f(x+△x)-f(x)，則△x，分別表示自變量在點X取得的絕對改變量和相對改變量，△y，分別表示函數在點x相應取得的絕對改變量和相對改變量，相對改變量通常用百分數表示，函數的相對改變量與自變量的相對改變量的比值表示函數y=f(x)從x到△x+x兩點間的相對變化率，即當時△x→0時

表示函數y=f(x)在點x的相對變化率（也稱相對導數），在經濟學中稱函數y=f(x)在點x的彈性，記做，即因為，因此函數的彈性也表示邊際函數在平均函數之比。需求函數Q=f(p)在點P的彈性表示商品的社會需求量關于價格的相對變化率，稱為需求的價格彈性。簡稱為需求彈性，其經濟意義表示價格在P的基礎上改變了1%，需求量相應地在Q的基礎上改變的百分數。

由于需求函Q=f(p)數一般為單調減少函數。f’(p)＜0，因此需求彈性為負值，負號表示需求量的變化方向與價格的變化方向相反。

三、需求彈性的應用

設需求函數為Q=f(p)，當需求彈性分別為＜－１，＝－１或-1＜＜０時，需求量變動的百分數分別大于，等于和小于價格變動的百分數，分別稱為需求有彈性，需求有單位彈性或需求是低彈性的。

根據需求彈性的經濟意義，當商品需求有較高彈性時，商品的需求量對價格變動的反應較為敏感，經營者如采用降價銷售，能促進消費者消費，較大地增加銷售量，薄利多銷，可明顯增加經濟收益，當商品需求低彈性時，商品的需求量對價格變動的反應遲鈍，經營者若提高商品的價格，銷售量減少不大，經營者不會因銷售量減少而影響總的經濟收益。

根據有關統計表明，日常生活必需品如米、油、鹽等商品的需求彈性較低，高檔消費品、奢侈品如轎車等商品的需求彈性較高。

例1根據市場調查，某種商品的需求函數為Q=f(p)=1000e-0.2p

（1)求商品的需求彈性；

（2)現在市場上銷售價格為10元，當價格提高1%時，該商品的需求量如何變化。

解 （1)商品的需求彈性為，

（2)=-0.2×10=-2

因此，銷售價格在10元的基礎上提高1%，則商品的需求彈性約減少2%。

四、偏彈性

設二元函數z=f(x，y)在點(x，y)可微，當自變量x在點(x，y)取得絕對改變量△x，y保持。自變量x的相對改變量，△z/x表示函數z關于x的偏相對改變量，比值表示函數z=f(x，y)在(x，y)與(x+△x，y)兩點間關于x的相對變化率，當△x→0，表示函數z=f(x，y)在(x，y)關于x的相對變化率，稱為函數z=f(x，y)在(x，y)關于x的偏彈性，它表示在點(x，y)處，當自變量x的改變1%（自變量y不變）時，函數z相應改變的百分數，類似，稱為函數z=f(x，y)在(x，y)與(x，y+△y)關于y的偏彈性。

例2根據資料統計，某種商品的綜合需求函數為Q=0.51·p-1.6，M0.92其中Q為商品需求量，p為商品的價格，M為人均收入，求需求量關于價格和人均收入的偏彈性，并說明其經濟意義。

解需求量關于價格的偏彈性為

＝-1.6它表示當商品價格上漲1%時，商品的需求量大約下降1.6%。

需求量關于人均收入的偏彈性為

=0.92它表示當商品人均收入增加1%時，商品的需求量大約增加0.92%。

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