淺談數學解題中的判斷失誤

學生在思考問題時，經常會有這樣的經歷：明明感覺自己的判斷是對的，可最終的結論與自己的判斷相差甚遠.這里我們在判斷的時候，實際上是直覺思維在起作用.直覺思維在人的思維形式中占有很重要的地位，很多情況下，都是先有直覺思維，然后才有合情推理，最后上升到邏輯思維.但有時我們的直覺思維不一定是對的，一些不恰當的判斷會使我們的思路走偏，甚至誤入歧途，耽擱了時間，最終也沒有結果.現擷取幾例，并進行簡單分類，找出判斷失誤的原因，同時嘗試找出解決問題的方法．

一、 受視覺或背景材料等條件的干擾

1. 圖1中的3條線段a、b、c，哪一條與線段d在同一條直線上？

2. 先觀察并判斷圖2中間的圖形是正方形嗎？然后用工具檢驗一下．

3. 如圖3，兩條線段AB與CD那一條長一些？先猜一猜，再量一量．

分析：有興趣的讀者，可以按照題目要求的步驟去做，先看一看，猜一猜，然后再利用手中的工具做一做、量一量，可能你會有很奇異的發現．

小結與反思：受視覺或背景材料的干擾和影響，我們看到的現象可能不能反映真實的情況.我們可以借助于一些工具，通過動手操作、測量、畫圖等步驟，就能夠發現事情的真相．

二、 受工具或操作條件的限制

4. 如圖4-（1），是一張8cm×8cm的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖4-（2）重新拼合．這4塊紙片恰好能拼成一個長為13，寬為5的長方形嗎？

分析：學生通過動手操作，感覺好像拼成了一個長方形！但稍微細心一點的同學會發現一個很大的破綻，假如可以拼成功，圖4中兩圖的面積就會相等，而實際情況是64≠65！問題出在什么地方呢？

小結與反思：新課程倡導學生自主探索和合作交流，很多結論在拼一拼、剪一剪的活動中產生，這樣處理直觀形象，容易被學生接受．但一定要知道我們的這種操作還只是一種試驗，如果要確定結論的正確性的話，還需要邏輯推理和證明．

三、 受日常生活經驗的影響

5.假如用一根比地球赤道長1 m的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能能放進一顆紅棗嗎?能放進一個拳頭嗎?與同伴進行交流（把地球看成球形）．

分析：有些同學憑經驗判斷：地球是如此之大，只用一根比赤道長1m長的鐵絲把地球赤道圍起來，那形成的縫隙太小了，估計連一顆紅棗都放不下，何況是一個拳頭呢！而事實是：

6. 如圖6，兩個大小相同的大圓，其中一個大圓內有10個小圓，另一個大圓內有2個小圓（所有小圓的圓心在大圓的一條直徑上），你認為大圓內的10個小圓的周長之和與另一個大圓內的2個小圓的周長之和哪一個大一些？請你猜一猜，并用學過的知識和數學方法驗證你的猜想。

分析：憑感覺，第一個大圓中的小圓的半徑太小了，無法和第二個圖中的小圓相比，應該是第一個大圓內的10個小圓的周長之和比另一個大圓內的2個小圓的周長之和要?。鴮嶋H情況是兩個周長之和是相等的，都等于（r是大圓的半徑）！讀者可以證明。

小結與反思：這兩個情景教學實例，告訴我們數學中有時憑經驗估計、觀察、猜想有時不一定正確，應該引導學生運用已有的知識和方法進行驗證它的正確性，從而進一步培養學生數學思考的嚴密性和合理性．

四、 受某些規律性結論的影響

7. 1640年，在數論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題：式子22n+1(n為自然數)的值是否一定為素數．當n取0、1、2、3、4時，這個式子對應值分別為3、5、17、257、65537，費馬發現這五個數都是素數。由此規律，費馬提出一個猜想：形如22n+1的數一定為素數。后人稱之為費馬數，并用Fn 表示.費馬當時的猜想相當于說：所有費馬數都一定是素數.費馬是正確的嗎？

分析：進一步驗證費馬的猜想并不容易.因為隨著n的增大，Fn迅速增大.比如對后人來說第一個需要檢驗的F5＝4294967297已經是一個十位數了.那么，它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數呢？1732年，年僅25歲的歐拉在費馬死后67年得出F5＝641×6700417，這一結果意味著F5是一個合數，因此費馬的猜想是錯的.

小結與反思：數學上很多重要的結論就是在已有結果的基礎找出規律，然后進行猜想，得出進一步的一般結論.但受條件的限制，這些結論只是我們憑個人的感覺給出一般結論，這就很容易出現問題或錯誤，必須進行深入推理驗證，舉反例、數學歸納法就是中學教學中常用的方法.

五、 受慣性思維或已有結論的影響

8. 如圖7，正方形草坪的邊長為10米，草坪的中間有兩條相互交叉且寬度為1m的小路，你能否計算出三個圖當中的草坪面積，它們的大小關系怎樣？請說明理由.

分析：求圖7-（1）中草坪面積有兩種方法可以使用，比較簡單的方法是想象將兩條小路平移到正方形的邊上，如圖8，容易求出草坪的面積是（10－1）2＝31m2；第二種方法稍微復雜一些，可以用正方形的面積-兩條小路的面積+小正方形ABCD的面積，但此種方法適用于一般的情況.

圖7-(2)中草坪面積可以用正方形的面積-兩條小路的面積+小平行四邊形ABCD的面積，兩條小路的面積是不變的，圖7-（2）中小平行四邊形ABCD的面積與7-（1）的小正方形ABCD的面積相等，都是1m2，故圖7-（2）中的草坪面積仍是81m2．

受上述解決問題方法的影響，很多學生在解決圖7-（3）中草坪面積時，憑自己的“感覺”得出結論：草坪的面積仍是81，即三個圖中的草坪面積相等！這時你的“感覺”就出現了問題！

為方便觀察，我們可以將圖7-（2）、7-（3）的小平行四邊形ABCD放大，見圖9-（1）、9-（2），然后求它們的面積加以比較．如圖9-（1），很容易計算出小平行四邊形ABCD的面積為1m2；在圖9-（2）中過B作CD的垂線段BE，在Rt△BCE中，BE的長小于BC的長，即BE<1m2，故圖9-（2）中小平行四邊形ABCD的面積<1m2，那么可推出圖7-（3）中草坪面積<81m2，因此有圖7-（3）中草坪面積<圖7-（1）中草坪面積=圖7-（2）中草坪面積！

圖7-（3）中草坪的具體面積只有告訴有關的夾角或其他條件，然后借助于三角函數等知識才可以求出.讀者可以嘗試自己給出一些條件做一做，來驗證上面的結論．

小結與反思：借鑒已有結論，采用類比的方法有時可以得出正確的結果，但實際學習中會出現這樣的問題：一些問題看似相同，但條件卻有極細小的區別，這細小的差異可能就導致結論產生根本性的變化，因此千萬不能“望題生義”，妄下結論．

總結：雖然我們經常判斷失誤，但我想，我們任何時候都不要放棄我們的“感覺”.要相信自己的直覺思維，“跟著感覺走”，“大不了從頭再來”．正是在不斷地、反復地猜想、判斷和驗證過程中，我們才會有創新和進步.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。