點和直線的有關對稱問題

摘要：對稱問題是中學數學的一個重要知識點，也是近幾年高考中的熱點，主要有點、直線、曲線關于點和直線對稱兩種。中點坐標公式或兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具。解析幾何中的中心對稱和軸對稱問題最終都可以歸結為關于點的對稱問題加以解決。

關鍵詞:點；直線；中心對稱；軸對稱

對稱思想是近幾年高考中的熱點，它主要分為中心對稱和軸對稱兩種，解對稱問題要把握對稱的實質，掌握其解題方法，提高解題的準確性和解題的速度，它主要有以下幾種情況:

(一)中心對稱

⒈ 點關于點對稱

⒉ 直線關于點對稱

例1:求直線 x+y-2=0 關于點P(a，b)對稱的直線方程.

分析一:在已知直線上z任取兩點A、B，再分別求出A、B關于P點的對稱點A′、B′，然后由兩點式可得所求直線方程.

解:在直線x+y-2=0上取兩點A(0，2)、B(1，1)，則它們關于P(a，b)對稱的點分別為 A′(2a，2b-2)、B(2a-1，2b-1)，由兩點式得所求直線為:

分析二:中心對稱的兩條直線是互相平行的，并且這兩條直線與對稱中心的距離相等.

解:設所求直線方程為x+y+λ=0，則

點評:方法三為相關點法，是求曲線方程的一種常用方法，可進一步推廣:曲線C:f(x，y)=0關于點P(a，b)對稱的曲線C′的方程為f(2a-x，2b-y)=0.特別的， 曲線f(x，y)=0關于原點對稱的曲線方程為: f(-x，-y)=0.

(二)軸對稱

⒈ 點關于直線對稱

例2:M(-1，3)關于直線:x+y-1=0的對稱點M′的坐標.

解二:過點M(-1，3)與直線l 垂直的直線的斜率k=1，則直線方程為x-y+4=0.

設M關于直線l 的對稱點為M′，則E為線段MM′的中點，由中點坐標公式知:M′的坐標為(-2，2)

解三:設M′(a，b)， 線段MM′的垂直平分線上的任意一點為A(x，y).

∵MA=M′A ， ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2

這就是已知直線 l的方程

故點M′的坐標為(-2，2)

⒉ 直線關于直線對稱

例3:⑴求直線a:2x+y-4=0關于直線l :3x+4y-1=0對稱的直線b的方程.

⑵求直線 l1:2x-y+3=0關于直線l :2x-y+4=0對稱的直線l2 的方程.

分析:由平面幾何知識知，若a、b關于直線 l對稱，則應具有以下性質:①當a、b相交時，則對稱軸是a、b交角的平分線(且通過交點); 當a、b平行時，則a、b與對稱軸的距離相等. ②若點A在直線a上，則點A關于直線 l的對稱點B一定在直線b上，并且AB⊥l ;AB的中點在l 上.

⑴解一:由

2x+y-4=03x+4y-1=0得a與l的交點Ｅ為（３，２）則E(3，-2)一定在b上，設b的斜率為k，于是

(三)特殊的對稱關系

點(a，b)關于x軸的對稱點為(a，-b)；

點(a，b)關于y軸的對稱點為(-a，b)；點(a，b)關于原點的對稱點為(-a，-b)；點(a，b)關于直線y=x的對稱點為(b，a)；點(a，b)關于直線y=x+m的對稱點為(b-m，a+m)；點(a，b)關于直線y=-x+m的對稱點為(m-b，m-a).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。