數學中的最大值問題

最大值問題是近幾年中考命題的一個重點，也是初中數學競賽的一個熱點。解此類型題由于涉及的知識面較廣，且解題技巧較強，很多時候會感到束手無策。筆者通過探索、研究、歸類，得到下面幾種求解最大值的常用方法。

1. 配方法

例1：南博汽車城銷售某種型號的汽車，每輛進貨價為25萬元，市場調研表明：當銷售價為29萬元時，平均每周能售出8輛，而當銷售價降低0.5萬元時，平均每周能多售出4輛，如果設每輛汽車降價x萬元，汽車平均每周的銷售利潤為y萬元.

(1)求y與x之間的函數關系式，寫出x的取值范圍(不虧本的前提)

(2)當每輛汽車的定價為多少萬元時，平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

解：①設每輛汽車的銷售利潤為z萬元。

②由(1)配方得y=-8(x-1.5)2+50

答：當每輛汽車定價為29-1.5=27.5萬元時，平均每周的銷售利潤最大，最大的利潤為50萬元。

2. 分類法

例2：某學校的禮堂共有座位24排，每排有30座位，全校650個同學坐到禮堂開會，至少有多少排座位上坐的學生人數同樣多？

解：1)先考慮最極端情況：假設24排座位上坐的人數都不一樣多，那么最多能坐 ×24=444(人)

2)假設只有2排座位上坐的學生人數同樣多，那么，最多能坐 ×2=588(人)

3)假設只有3排座位上坐的學生人數同樣多，那么最多能坐 ×3＝636(人)。

而題設全校共有學生650人，因此還有14人要坐在24排中的某些座位上，所以其中至少有4排座位的學生人數同樣多。

此法對離散型條件求極值問題最有效果，求解時常常對離散變量進行分類討論，采用窮舉的方法確定。

3. 換元法

例3：若xy=1。那么代數式 的最小值是多少？

運用換元法求極值時常用的代換有：局部代換、整體代換、比值代換、三角代換等。需要注意的是，應根據所給問題的特點，選取恰當的代換。

4. 數形結合法

例4：已知a，b是正實數，方程x2+ax+2b=0與x2+2bx+a=0都有實數根。求a2+b2的最小值。

如圖1，作出拋物線a2=8b(a>0)的右半支。再作出拋物線b2=a(b>0)的上半支。兩圖像交點為M(4、2)，于是滿足(1)(2)(3)的點在圖1所示的陰影區G上(含邊界)。而a2+b 表示b(a，b)與原點0 距離平方，即0m2=a2+b =22+42=20∴最小值為20。

利用數形結合的思想方法，技巧要求較高。由數想形、直觀轉化，解題奏效明顯。

5. 根的判別式法

例5：已知實數a，b，c滿足a+b+c=2。abc=4。求a，b，c中的最大者的最小值。

運用該方法需注意的是先轉化為一元二次方程，然后用一元二次方程根的判別式：b2-4ac?叟0進行求解。

6. 主元法

例6：已知x、y、z為實數，若x2+y2=1。y2+z2=2。z2+x2=2

則xy+yz+zx的最小值為()

求多元函數極值時，可選一個變量作為主元。其余變量暫時給予固定，依次求出這些一元函數的最值或定值，進而求出多元函數的最值。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”