數(shù)學(xué)中的最大值問題

最大值問題是近幾年中考命題的一個(gè)重點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)熱點(diǎn)。解此類型題由于涉及的知識(shí)面較廣，且解題技巧較強(qiáng)，很多時(shí)候會(huì)感到束手無(wú)策。筆者通過探索、研究、歸類，得到下面幾種求解最大值的常用方法。

1. 配方法

例1：南博汽車城銷售某種型號(hào)的汽車，每輛進(jìn)貨價(jià)為25萬(wàn)元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為29萬(wàn)元時(shí)，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷售價(jià)降低0.5萬(wàn)元時(shí)，平均每周能多售出4輛，如果設(shè)每輛汽車降價(jià)x萬(wàn)元，汽車平均每周的銷售利潤(rùn)為y萬(wàn)元.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍(不虧本的前提)

(2)當(dāng)每輛汽車的定價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解：①設(shè)每輛汽車的銷售利潤(rùn)為z萬(wàn)元。

②由(1)配方得y=-8(x-1.5)2+50

答：當(dāng)每輛汽車定價(jià)為29-1.5=27.5萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷售利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)為50萬(wàn)元。

2. 分類法

例2：某學(xué)校的禮堂共有座位24排，每排有30座位，全校650個(gè)同學(xué)坐到禮堂開會(huì)，至少有多少排座位上坐的學(xué)生人數(shù)同樣多？

解：1)先考慮最極端情況：假設(shè)24排座位上坐的人數(shù)都不一樣多，那么最多能坐 ×24=444(人)

2)假設(shè)只有2排座位上坐的學(xué)生人數(shù)同樣多，那么，最多能坐 ×2=588(人)

3)假設(shè)只有3排座位上坐的學(xué)生人數(shù)同樣多，那么最多能坐 ×3＝636(人)。

而題設(shè)全校共有學(xué)生650人，因此還有14人要坐在24排中的某些座位上，所以其中至少有4排座位的學(xué)生人數(shù)同樣多。

此法對(duì)離散型條件求極值問題最有效果，求解時(shí)常常對(duì)離散變量進(jìn)行分類討論，采用窮舉的方法確定。

3. 換元法

例3：若xy=1。那么代數(shù)式 的最小值是多少？

運(yùn)用換元法求極值時(shí)常用的代換有：局部代換、整體代換、比值代換、三角代換等。需要注意的是，應(yīng)根據(jù)所給問題的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)拇鷵Q。

4. 數(shù)形結(jié)合法

例4：已知a，b是正實(shí)數(shù)，方程x2+ax+2b=0與x2+2bx+a=0都有實(shí)數(shù)根。求a2+b2的最小值。

如圖1，作出拋物線a2=8b(a>0)的右半支。再作出拋物線b2=a(b>0)的上半支。兩圖像交點(diǎn)為M(4、2)，于是滿足(1)(2)(3)的點(diǎn)在圖1所示的陰影區(qū)G上(含邊界)。而a2+b 表示b(a，b)與原點(diǎn)0 距離平方，即0m2=a2+b =22+42=20∴最小值為20。

利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，技巧要求較高。由數(shù)想形、直觀轉(zhuǎn)化，解題奏效明顯。

5. 根的判別式法

例5：已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2。abc=4。求a，b，c中的最大者的最小值。

運(yùn)用該方法需注意的是先轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后用一元二次方程根的判別式：b2-4ac?叟0進(jìn)行求解。

6. 主元法

例6：已知x、y、z為實(shí)數(shù)，若x2+y2=1。y2+z2=2。z2+x2=2

則xy+yz+zx的最小值為()

求多元函數(shù)極值時(shí)，可選一個(gè)變量作為主元。其余變量暫時(shí)給予固定，依次求出這些一元函數(shù)的最值或定值，進(jìn)而求出多元函數(shù)的最值。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”