轉(zhuǎn)化與化歸策略在解題中的應用

轉(zhuǎn)化與化歸是高中數(shù)學中的一種重要的思想方法。其目的是在解決數(shù)學問題時由于思維受阻，讓我們改變思維方向，尋求簡單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是通過轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題獲得解決，這種轉(zhuǎn)

化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式。下面舉例說明轉(zhuǎn)化與化歸策略在解題中的應用。

一、 轉(zhuǎn)化與化歸的原則

為了更好地實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸，首先必須清楚所遵循的原則。

1. 熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決。

2. 簡單化原則：將復雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。

3. 和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律。

4. 直觀化原則：將比較抽象的問題化為比較直觀的問題來解決。

5. 正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。

二、 常見轉(zhuǎn)化與化歸策略的應用

1. 一般與特殊的轉(zhuǎn)化:

2. 正面與反面的轉(zhuǎn)化:

例2： 已知非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，m?綴R}，若A∩R-≠?準，求實數(shù)m的取值范圍(R-表示負實數(shù)集，R+表示正實數(shù)集)。

分析：如果從正面思維會使解題過程復雜，得對x2－4mx＋2m＋6＝0的根分為兩負根或一負根、一零根或一負根、一正根三種情況討論，而通過求A∩R-≠?準的反而A∩R-≠?準時的取值范圍，使問題得到了簡化。

3. 常量與變量的轉(zhuǎn)化：在有幾個變元的問題中，若轉(zhuǎn)換思考問題的角度，可消除一些討論問題中的分類因素，常通過變更主元的方法來求解。

例4：已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0，中的a為正整數(shù)，問a取何值時此方程至少有一個整數(shù)根。

分析 把x視為常量，用x表示a，再利用x為整數(shù)，a為正整數(shù)的條件，進一步確定a的取值。

略解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，因為x=-2不是原方程的解，所以a= ，又因為a為正整數(shù)，所以

4. 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：研究原問題中數(shù)量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑。

例5：若不等式 >(a-1)x的解集為A，且A?哿{x|0

若僅局限于不等式自身去求解，則較復雜，從解析幾何角度可知y1= 表示以(2，0)為圓心，半徑為2的上半圓，而y2=(a-1)x為過原點的直線束，畫出草圖(見圖)，則問題等價轉(zhuǎn)化為求“半圓在動直線上方時，a的范圍，由A {x|0

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”