極大無關組求法探索

摘要:本文對極大無關組的求法進行了初步探索，總結和推廣了定義法、初等變換法、選錄法等各種方法在求解極大無關組時的應用。

關鍵詞:極大無關組；求法；線性表出；線性相關

極大無關組是高等代數中的一個非常重要的概念，有的書籍也稱之為最大無關組，只有正確理解極大無關組及其相關概念才能順利地學習高等代數的后續內容。本文現對極大無關組的求法進行相關探索。

1.定義法

(1)根據定義1求解

極大無關組有兩個等價的定義，其中第一個定義為：

定義1：向量組α1，α2，……，αn中含向量個數最多的線性無關部分組都稱為該向量組的極大線性無關組，簡稱極大無關組。

例1:設R3的向量組α1=(1，0，0)， α2=(0，1，0)， α3=(0，3，0)，試用定義求出該向量組的所有極大無關組。

解：該向量組共分為7個部分組：

(1)α1； (2)α2； (3)α3； (4)α1，α2； (5)α1，α3； (6)α2，α3； (7)α1，α2，α3。

因α1、α2、α3為非零向量，故第1，2，3個部分向量組線性無關。又因α1與α2；α1與α3的對應分量不成比例，第4、5個部分向量組也線性無關。而α2，α3對應分量成比例，第6個部分向量組線性相關，第7個部分向量組因含一線性相關向量組線性相關。

由此可知，7個部分組中，前面5個部分組都是向量組α1，α2，α3的線性無關部分組，而第4和第5個是含向量個數最多的線性無關部分組，由定義，它們都是該向量組的極大無關組。

(2) 根據定義2求解

極大無關組的第2個定義為：

定義2假定α1，α2，……，αn是某向量組中的n個向量，如果：(1)α1，α2，……，αn線性無關；(2)向量組中任一向量都可由α1，α2，……，αn線性表示，那么，α1，α2，……，αn叫做該向量組的一個極大無關組。

從定義2中，我們可看出，只有原向量組本身線性無關，它才是該向量組唯一的一個極大無關組。一般情況下，向量組的極大無關組不唯一，如果原向量組中的某部分向量組是一個極大無關組，那么原向量組可能有由不同向量組成的多個極大無關組。各個極大無關組的向量不完全相同，但它們所含的向量個數都相等。含有非零向量的向量組都有極大無關組。

例2:設R5的向量組α1=(3，1，2，5)， α2=(1，1，1，2)， α3=(2，0，1，3)，α4=(1，-1，0，1)， α5=(4，2，3，7)。求此向量組的一個極大無關組，并用它表示其余向量。

解：α1，α2線性無關，且該向量組的任一向量能表成它們的線性組合：α3=α1－α2，α4=α1－2α2，α5=α1＋α2(*)

由定義2可知，部分組α1，α2是其一個極大無關組。

事實上，α1，α2，α3，α4，α5中任意兩個不同向量均為一個極大無關組。今任取α1，α5兩向量，顯然它們線性無關，又由(*)式不難得到α2，α3，α4均可寫成α1，α5的線性組合：

α2＝α5-α1，α3＝α1-α2＝α1-(α5-α1)=2α1-α5，α4=α1-2α2＝α1-2(α5-α1)＝3α1-2α5，

故α1，α5也是一個極大無關組。同樣可證

α1，α3； α1，α4； α2，α3； α2，α4； α2，α5； α3，α4； α3，α5； α4，α5；

均分別為一個極大無關組。

2. 初等變換法

(1) 初等行變換法

引理2.1.1設矩陣A=(α1，α2，……，αn)經有限次初等行變換變為矩陣A1=(η1，η2，……，ηn)，則A的任意k個列向量與A1中對應的k個列向量有相同的線性相關性(因為初等行變換不改變列向量之間的線性關系)，即

(1)當且僅當A1的k個列向量ηi1，ηi2，……，ηik線性無關時，A中對應的k個列向量αi1，αi2，……，αik線性無關。

(2)當且僅當A1的某個列向量ηs可表為某些列向量ηi，ηj，……，ηr的線性組合ηs=tiηi＋tjηj＋……＋trηr 時，A中對應列向量αs可表為列向量αi，αj，……，αr的線性組合αs=tiαi＋tjαj＋……＋trαr

根據引理2.1.1，以所給向量為列向量作矩陣A，對此矩陣進行初等行變換(且只能進行初等行變換)，直到能看出初等變換矩陣中列向量組的一個極大無關組為止。由引理2.1.1，此極大無關組在原向量組中所對應的向量組就是所求的一個極大無關組。為能看出變換矩陣的一個極大無關組，我們常將A化為行階梯形或最簡形。

例3:設R5的向量組α1=(2，-1，3，5)，α2=(4，-3，1，3)，α3=(3，-2，3，4)，α4=(4，-1，15，17)，α5=(7，-6，-7，0)，求此向量組的一個極大無關組。

解：取α1，α2，α3，α4，α5為矩陣的列向量，對矩陣作初等行變換。

階梯形矩陣中，非零行的首非零元所在的列對應的列向量即為原向量組的一個極大無關組，從而所求的一個極大無關組為：α1，α2，α3。

(2) 初等列變換法

引理2.2.1設矩陣B=(β1，β2，……，βn)’經若干次初等列變換變為矩陣B1=(δ1，δ2，……，δn)’，則B的任意k個行向量與B1中對應的k個行向量有相同的線性相關性(因為初等列變換不改變行向量之間的線性關系)，即

①當且僅當B1的k個行向量δj1，δj2，……，δjk線性無關時，B中對應的k個行向量βj1，βj2，……，βjk線性無關；

②當且僅當B1中某個行向量δs可表為某些行向量δi，δt，……，δr的線性組合：δs=biδi＋btδt＋……＋brδr時，B中與其對應的行向量βs也可表為行向量βi，βt，……，βr的線性組合：βs=biβi＋btβt＋……＋brβr。

同初等行變換的情況一樣，使用初等列變換求向量組的極大無關組是利用引理2.2.1求之。但必須注意的是，求矩陣列向量組的極大無關組，用初等行變換，將其化為(0\\*)之形狀，而求矩陣行向量組的極大無關組，用初等列變換將其化為(*\\0)之形狀，兩者不可混淆。

例4:求R5的向量組α1=(1，2，1，0)，α2＝(1，1，1，2)，α3＝(3，4，3，4)，α4＝(1，1，2，1)，α5＝(4，5，6，4)的一個極大無關組，并把該向量組中其余向量用極大無關組線性表示。

解：用所給向量組做行，構成矩陣A，并對A作初等列變換化為最簡形

設該最簡形的1，2，3，4，5行分別為β1，β2，β3，β4，β5，則可知β1，β2，β4顯然是B的行向量組的一個極大無關組，并且β3=β1＋2β2， β5=β1＋β2＋2β4。

所以，對應地有：α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4，α5的一個極大無關組，且α3=α1＋2α2，α5=α1＋α2＋2α4。

3. 選錄法

選錄法也即是逐個刪去法，在α1，α2，……，αn中，取一個非零向量作為αi1；取一個與αi1的對應分量不成比例的向量作為αi2；取一個不能由αi1，αi2表出的向量作為αi3；繼續這一步驟，直到選出α1，α2，……αn的一個極大無關組為止。

此方法適合向量組中向量較少的情形。

例5 :求R4的向量組α1=(2，1，3，-1)，α2=(3，-1，2，0)，α3=(4，2，6，-2)，α4=(4，-3，1，1)的一個極大無關組。

解：取αi1=α1，再取αi2=α2，顯然αi1與αi2線性無關。因為α3=2α2，所以αi3不能取α3，又因為α4=2α2－α1，所以αi3不能取α4，于是可知α1與α2為其一個極大無關組。

4. 利用矩陣的子式求解

以所給向量為行(或列)向量作矩陣A，如果A的某個r階子式Dr是A的最高階不等于零的子式，則Dr所在的r個行(或列)向量即是矩陣A的行(或列)向量組的一個極大無關組。

如何求A的最高階不等于零的子式Dr呢？先求出一個不等于零的r階子式Dr，如果Dr的所有加邊子式(即包含Dr的子式)全等于零，則Dr即為A的最高階不等于零的子式。

因其加邊子式只一個D5(它是在D4的基礎上加上A的最后一行，最后一列所得的5階子式)，易驗證D5=0，故D4為A的一個不等于零的最高階子式，D4所在的列向量組α1，α2，α3，α5為A的即為上述向量組的一個極大無關組。

在以上各種求法中，一般情況下，常采用初等變換化階梯形或最簡形矩陣來求解。當向量個數較少，便于直接觀察時，則可使用選錄法或定義法等其他方法。

參考文獻：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”