如何培養中學生的運算能力

在新課改的今天，許多中學數學教師在教學中都把培養學生的運算能力作為發展學生的智力和培養能力的手段之一。前蘇聯教育心理學家克魯切茨基指出：“數學才能在童年早期就能形成，其中大部分是以計算能力——數的運算能力——的形式出現的。當然，確切地說，計算能力還不能算是數學能力，但是在這個基礎上常?？梢孕纬烧嬲臄祵W能力——推理的能力、求證的能力和獨立地掌握數據的能力。”因此，運算能力不僅由于社會生活、生產和進一步學的廣泛需要可呈現出明顯的工具性，而且對于培養具有真正數學能力的人才具有十分重要的奠基性。

一、運算能力的意義、結構和內容

依據教育心理學的理論研究，運算能力的結構主要有以下六種元素組成：

1. 最初定向

學生拿到一個運算題目后，要對它進行分析和綜合處理，找出問題的結構，區分問題結構中的三種不同性質的成份：A.弄清問題中的基本數量關系，認出問題的類型；B.弄清問題中哪些是本質性的數量，哪些是非本質性的數量；C.弄清哪些是多余的或無關的數量。

2.概括能力

在這里主要有兩個方面：A.把已經了解的公式運用到特定的具體問題中。例如，要計算（6a²+b²+4c³）²，如果把括號中的前兩項看成一個整體，整個問題就可以用兩數和的完全平方公式，而歸入一個已會算的問題。通過這種概括，把此方法遷移到問題上來。B.要根據具體的例題，概括出還不了解的公式，從而得到計算某一類問題的一般方法。如通過用（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=5050的辦法計算1+2+3+……+100，可以概括出等差數列的求和公式來。

3.縮短推理過程和縮短相應的運算程序的能力

運算是被理解為從集合A到集合B的對應，而運算過程則是實現這種對應的過程，即根據運算定義及其性質，從已知的運算對象推導出結果的過程。因此，運算過程的實質是一種推理過程。讓學生進行一定數量的練習，對系統推理的整個過程做出明確的思考，概括出他們發現的運算方法之后，就立即開始對推理和相應運算環節的縮短。例如計算（2Y-3Y）/3-（-2X+8）/2，起初，學生要通分、變號、合并同類項等，一步一步地進行。但運算熟練后，一些能力強的學生會省略一些步驟乃至直接寫出結果來。

4.心理運算的靈活性

主要表現在對一個問題運算方法的多樣性上，表現在不斷地擺脫習慣算法的束縛作用上，表現在能重建一定的思維模式和運算系統上，能從一種思維水平轉向另一種思維水平，從一種運算方法轉換到另一種運算方法。心理過程的可逆也是靈活性的一個方面。在數學推理和運算中，能從正向思維轉向逆向思維，從正向運算轉逆向運算，從順向運用公式轉向逆向運用公式。

5.優化運算過程和運算方法的能力

學生對某一問題得到一種運算方法后，能不停頓地探求是否可能改進或有沒有更簡單地解題方法，力求用最合理的方式，最明確、最簡單、最直接地達到目的。

6.記憶能力

能有選擇地、精煉地、概括化地記憶概念、法則、公式、定理，以及推理和運算的典型模式和一般特點。

所以，運算能力的結構有兩個明顯的特點：一是綜合性。它既包括分析與綜合，也包括概括、推理、靈活、優化記憶。同時還包括良好的思想素質和心理素質。因此，培養運算能力必須綜合進行。二是層次性。最初定向、概括和記憶的正確性，保證了整個運算的準確性。運算能力寓于運算內容的學習與訓練之中。中小學數學運算的內容，是隨著數學知識體系的展開而展開的，貫穿課程內容的始終。

二、怎樣培養學生的運算能力

培養學生的運算能力，不僅要了解運算的內容、運算能力的結構，而且要研究學生這個主體，了解學生在運算過程中容易產生的問題，分析原因，有的放矢地采取有效方法。

1.學生運算中出現的主要問題

① 運算的速度慢、準確性差

學生運算中常出現的錯誤，多與概念、法則、公式、定理的理解掌握和運用相聯系。例如：符號法則用錯：如-3（a-b）=-3a-3b；公式記憶錯：如(a+b)²=a²+ab+b²。

② 運算的盲目性大

見積就乘，見商就除，見冪就乘方，見根式就開方，缺乏對運算合理性、靈活性的思考與實踐。較突出的問題是，習慣于機械運算，不重視對概念的理解和應用；盲目運算練習，不注意對知識結構、方法、技巧進行總結、歸納、整理。做題不少，但運算能力提高不大。

2.原因分析

學生運算能力差，不僅僅是粗心或技術性問題，大多是數學綜合素質有待提高的反映。主要表現如下：

(1) 學習目的、態度、意志、毅力等方面存在問題：有些學生的智力相當好，但自控能力差，聽課、做作業都不能集中注意力。有些學生只重視解題思路的思考分析，認為只要知道解法就算會了，不愿意動手或不愿意花時間進行規范的運算或草率從事，久而久之不僅運算逐步生疏，而且養成了粗心、馬虎的不良習慣，造成題目一看就會，一做就錯。例如：①2³=6，② -1²+5=6。第①題是把乘方理解為乘法，這種理解常常因為2×2＝4，2²＝4這個特例而扎根在頭腦中；第②題是把－1²錯誤的理解為“負1的平方”，而－1ⁿ與（－1）n有時相等（n為奇數時）有時不相等（n為偶數時）。

（2）知識技能基礎不適應運用的要求。例如：已知 |a-1| + |2-b| =0， 則100a-5b=____________

解：∵|a-1| + |2-b| =0 則a-1=0 且2-b=0

∴a=1 b=2 ∴100a-5b=100-10=90

如果不清楚、不理解絕對值概念，學生將束手無策。每次數學測驗，經過分析試卷，發現學生的知識、技能基礎不夠扎實是運算得分率低的主要原因。

（3）訓練欠科學與規范：在運算教學中，有的教師缺乏嚴格要求、缺乏對學生認真細致做題習慣的培養和做題規范的教育；其次是練習的目的不明確，缺乏長遠目標和對課本習題結構的深入研究，給學生布置作業、練習，往往具有“無意性”、“隨意性”、“應酬性”，不注重探討最佳訓練方法；最后是在學習的不同的階段中有的教師很少做到有計劃、分層次、有的放矢地設置練習任務，提出明確要求采取可行措施來提高練習效益。

3.培養學生運算能力的幾條途徑

(1)抓好起始教育：有理數的運算是中學培養運算能力的開始，不論是對良好思想素質、心理素質和良好運算習習慣的培養，還是對運算技能、技巧的訓練，都起著關鍵的作用。因此必須十分重視有理數的四則運算教學。要抓好知識技能與教法的銜接，小學數學在知識上可接受性、直觀性、常識性較強，科學性、抽象性、嚴密性較弱；數字計算多，字母運算少，因此要幫助和指導學生由常識性向科學性、直觀性向抽象性的觀點方法的過渡與轉化。同時還要探討科學的訓練方法，要做到基礎練習要做夠，要活用、巧用課本例題和習題。要按照層次性原則安排訓練階段，要安照轉化性原則設計題組，發揮練習在知識轉化為能力中的橋梁作用。不斷地讓學生自我反思，并且及時與同學進行交流，以探討思維規律。

（2）采取多種形式，加強運算能力各個組成部分的訓練

A、要重視運算的最初定向。全面分析題目中顯見的和隱含的一切條件，著力審清題目的結構性，確定好運算方向。

例如：已知拋物線經過A（-1，1）、B（3，0）、C（-2，0）。求拋物線的表達式。

分析：本題的基本結構是已知拋物線上三個點的坐標、求拋物線的方程。一般可用代入法。但進一步分析會發現，已知的三點中，有兩個點在X軸上。題目中隱含的這種特殊性，說明ax²+bx+c=0(a≠0)有X₁=3，X₂=-2兩個根。于是導至解法的特殊性，可用y=(x-x₁)(x-x₂)方法求表達式，只須輔之代入法求a就行了。同時在最初的定向中，要注意結構形式類同題目的條件變化，而引起的運算方法的變化。

B、注意運算方法的選擇，重視運算合理性訓練。一個具體的運算問題，由于運用的概念、公式、定理不同，往往簡繁程度各異。

例如：已知函數f(x)=x²+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，試確定f(1)、f(2)、f(4)的大小順序。

分析：已知條件“函數f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)”，實質上是二次函數的對稱性的數學表示，且對稱軸0，于是利用f(x)在［2，+∞］上單調遞增的性質，很快得到答案。（解略）

這里洞察出已知條件是對稱性的數學表示，辯明式子結構把f(2+t)=f(2-t)看作是f(t+2)=f(-t+2)的等價變式，是靈活運用偶函數概念進行運算的體現。

C、重視運算靈活性的訓練：要重視一題多解，訓練學生多側面、多角度、多方位觀察思考問題的習慣，通過運算方法的多樣性，訓練學生心理運算的靈活性，以增強轉換運算方法的能力。同時還要重視培養學生自如地進行正向和逆向思維，靈活地正用和逆用公式進行運算的能力。

如：計算（ x+1）²-（ x-1）²

分析：本題按常規思路可以直接用多項式乘法法則先去掉括號，再做減法運算，但若把 x+1與 x-1看成整體，可以逆用平方差公式使計算簡便。

解：（ x+1）²-（x -1）²

=［（x+1）+（x-1）］·［（x+1）-（x-1）］

=2x·2=4x

總之，運算練習是提高學生運算能力的有效途徑。教師要不懈地引導學生勤于動腦、動手，做好基本訓練，這是培養學生運算能力的必要條件。