生產(chǎn)利潤(rùn)優(yōu)化問題的案例分析

摘要：文章根據(jù)某銅材廠生產(chǎn)的實(shí)際情況，建立了關(guān)于銅材生產(chǎn)量的一般化的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，利用Lingo數(shù)學(xué)軟件計(jì)算出數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的最優(yōu)解，并通過分析計(jì)算結(jié)果，對(duì)該廠銅材日產(chǎn)量的計(jì)劃提出合理的建議。

關(guān)鍵詞：利潤(rùn)；日產(chǎn)量設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；Lingo軟件；建議

一、前言

在以追求最大利益為目的的生產(chǎn)中，任何人力物力的浪費(fèi)都可能使得廠商在市場(chǎng)中失去競(jìng)爭(zhēng)力。而利用數(shù)學(xué)工具分析并優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃，可以有效地提高生產(chǎn)效率，減少浪費(fèi)，從而獲取更多的利潤(rùn)。筆者以某銅材廠為例，對(duì)其生產(chǎn)利潤(rùn)進(jìn)行優(yōu)化分析，并為提高其生產(chǎn)利潤(rùn)提出合理的建議。

二、問題的提出

該廠生產(chǎn)的銅母排產(chǎn)品分為初級(jí)制品和深加工制品兩種，其中10×120（mm2）、3×30（mm2）和90×360（mm2）三種規(guī)格的銅母排市場(chǎng)需求量非常大。這六種產(chǎn)品在生產(chǎn)中存在如下特點(diǎn)：

（一）相似性

三種初級(jí)制品的加工方法、所使用的生產(chǎn)設(shè)備以及產(chǎn)品原材料都相同；而三種深加工制品是分別利用三種初級(jí)制品為原材料，通過另外一套加工設(shè)備，以彼此相似的加工方法生產(chǎn)而成。

（二）差異性

由于產(chǎn)品規(guī)格的不同，過于精細(xì)的銅母排和體積過于龐大的銅母排加工難度要比中等規(guī)格的銅母排大，因此，加工不同的產(chǎn)品，工人所獲得的工資不同；而體積比較極端的產(chǎn)品成材率略低于中等規(guī)格的產(chǎn)品；同時(shí)，不同規(guī)格的產(chǎn)品在加工過程中原材料的損耗不同、市場(chǎng)需求不同，因此，產(chǎn)品的價(jià)格也各不相同。

（三）局限性

該廠的規(guī)模不大，且投入設(shè)備的資金有限，因此產(chǎn)品的生產(chǎn)能力會(huì)受到設(shè)備以及工人技術(shù)水平的限制；由于資金周轉(zhuǎn)的局限性，每天用于生產(chǎn)的銅母排原材料提供量是有限的；工人每天的工作時(shí)間也是有限的。

因此，上述六種銅母排產(chǎn)品中任何一種產(chǎn)品的產(chǎn)量都會(huì)直接或間接受到其他五種產(chǎn)品產(chǎn)量的影響。

針對(duì)上述情況，可利用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型設(shè)計(jì)生產(chǎn)計(jì)劃，以合理分配六種產(chǎn)品的日產(chǎn)量，獲得盡可能大的生產(chǎn)利潤(rùn)。

三、產(chǎn)品的日產(chǎn)量設(shè)計(jì)

（一）生產(chǎn)與銷售現(xiàn)狀

在該企業(yè)現(xiàn)有狀態(tài)下，三種規(guī)格的銅母排初級(jí)制品和深加工制品有關(guān)生產(chǎn)與銷售的原始數(shù)據(jù)見表1。

（二）模型假設(shè)

1、由于該廠當(dāng)前所處的市場(chǎng)環(huán)境存在供小于求的狀況，并且有長(zhǎng)期的訂單可以確保一部分的產(chǎn)品的銷路，因此產(chǎn)品銷售不出去的可能性相當(dāng)小，于是在數(shù)學(xué)模型中可假設(shè)，各種產(chǎn)品無論廠商每天生產(chǎn)多少，都一定可以全部銷售出去。

2、由于當(dāng)前銅材生產(chǎn)的趨勢(shì)是追求“零庫(kù)存”，因此熱銷的產(chǎn)品在一般情況下廠商是不會(huì)準(zhǔn)備庫(kù)存的，即不需要單獨(dú)支付一定量的庫(kù)存費(fèi)以及產(chǎn)品保養(yǎng)費(fèi)，于是在數(shù)學(xué)模型中可不考慮這一部分的成本。

3、由于三種規(guī)格的初級(jí)制品和深加工制品并不是互為替代品，因此各自的產(chǎn)量不會(huì)影響到彼此的價(jià)格。與此同時(shí)，銅材的成本以及售價(jià)都與期貨價(jià)格接軌，在短期內(nèi)基本上能夠維持平穩(wěn)狀態(tài)。

（三）符號(hào)說明

An：第n種初級(jí)制品；

Bn：由An加工而成的深加工制品；

k：一共有k種初級(jí)制品；

xAn、xBn：分別為An、Bn的日產(chǎn)量；

tAn：將單位質(zhì)量的原材料生產(chǎn)成An所需要的時(shí)間；

tBn-An：將單位質(zhì)量的原材料所生產(chǎn)出的An加工成Bn所需要的時(shí)間；

CAn、CBn：分別為生產(chǎn)An、Bn所需要的成本；

LAn、LBn：分別為單位質(zhì)量的原材料可以生產(chǎn)出的An、Bn的質(zhì)量；

SAn、S′An：分別為一次性購(gòu)買An的質(zhì)量小于或大于w1噸的部分的價(jià)格；

SBn、S′Bn：分別為一次性購(gòu)買Bn的質(zhì)量小于或大于W2噸的部分的價(jià)格；

TAn、TBn：分別為生產(chǎn)An、Bn的工人每天的總工作時(shí)間；

M：每天原材料的總供應(yīng)量；

mAn、mBn：分別為An、Bn每天的生產(chǎn)能力上限；

PAn、PBn：分別為客戶N每次對(duì)An、Bn的需求量；

I1、I2：分別為客戶N提貨當(dāng)天（提貨日）或不來提貨當(dāng)天（非提貨日）的日利潤(rùn)。

（四）模型的建立與求解

設(shè)備技術(shù)能力：每天生產(chǎn)出的各種規(guī)格初級(jí)制品（包括用來加工成深加工制品的初級(jí)制品）的總質(zhì)量不能超過生產(chǎn)初級(jí)制品的能力上限；每天生產(chǎn)出的各種規(guī)格深加工制品的質(zhì)量也不能超過生產(chǎn)深加工制品的能力上限。即

將有關(guān)生產(chǎn)與銷售的原始數(shù)據(jù)（表1）代入上述模型，并利用Lingo軟件計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

綜上所述，該廠日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望值最大為

I=I1×2/7+ I2×（7-2）/7=3548.86×2/7+3728.69×5/7=3677.31（元）

而調(diào)查結(jié)果顯示，該廠實(shí)際的平均日利潤(rùn)為3600元，因此通過該線性規(guī)劃模型的優(yōu)化，可以使該廠平均日利潤(rùn)增長(zhǎng)2.1%。

（五）對(duì)計(jì)算結(jié)果相關(guān)數(shù)據(jù)的說明

對(duì)于上述線性規(guī)劃模型，從Lingo計(jì)算的結(jié)果中，可以分析得出以下一些結(jié)論：

1、各因素的剩余量。提貨日各因素的剩余量如下：每日原材料為0.55噸；生產(chǎn)初級(jí)制品的工作時(shí)間為2.63小時(shí)；生產(chǎn)深加工制品的工作時(shí)間為0.013小時(shí)；三種初級(jí)制品的生產(chǎn)能力為0噸。非提貨日各因素的剩余量如下：原材料為0.55噸；生產(chǎn)初級(jí)制品的工作時(shí)間為0小時(shí)；生產(chǎn)深加工制品的工作時(shí)間為4.41小時(shí)；三種初級(jí)制品的生產(chǎn)能力為0噸。

2、各因素的邊際收益。提貨日初級(jí)制品生產(chǎn)能力的邊際收益如下：規(guī)格10×120 mm2為590元；規(guī)格3×30mm2為990元；規(guī)格90×360mm2為690元。提貨日深加工制品產(chǎn)量的邊際收益如下：規(guī)格10×120mm2為－32.82元；規(guī)格3×30 mm2為－26.89元；規(guī)格90×360 mm2為－43.52元。非提貨日初級(jí)制品生產(chǎn)能力的邊際收益如下：規(guī)格10×120mm2為573.4元；規(guī)格3×30mm2為964.56元；規(guī)格90×360mm2為674.28元。非提貨日生產(chǎn)三種規(guī)格初級(jí)制品工作時(shí)間的邊際收益均為5.2元。提貨日和非提貨日其他因素的邊際收益為0。

（六）對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)的建議

由上述分析及計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，針對(duì)該廠在現(xiàn)有生產(chǎn)情況下存在的問題，可提出如下建議：

1、提高利潤(rùn)最大的局限性在于生產(chǎn)能力水平的限制。若廠商更換設(shè)備，以提高生產(chǎn)技術(shù)水平的方式來突破生產(chǎn)能力上限的限制，則模型中“設(shè)備生產(chǎn)能力”約束條件被解除。在這種情況下，利用Lingo軟件同樣可計(jì)算出該廠日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望值最大為I=4176.34×2/7+4491.20×5/7=4401.24（元）。因此，上述結(jié)果比設(shè)備生產(chǎn)能力受限制時(shí)的最大平均日利潤(rùn)增加了近19.7%，比該廠現(xiàn)有的平均日利潤(rùn)增加了近22.3%。

2、非提貨日生產(chǎn)初級(jí)制品的工人工作時(shí)間的限制也使得利潤(rùn)受到局限。若廠商在非提貨日請(qǐng)生產(chǎn)初級(jí)制品的工人加班，以提高他們?nèi)展ぷ鲿r(shí)間的方式來突破工作時(shí)間的限制，則廠商每小時(shí)可收益5.2元，因此支付的總加班費(fèi)不能超過每小時(shí)5.2元。而通過Lingo計(jì)算可知，當(dāng)加班時(shí)間超過約2.3小時(shí)后，加班對(duì)提高日利潤(rùn)將不再有意義。

3、提前與客戶N簽下長(zhǎng)期合約，使得該廠提貨日的利潤(rùn)相對(duì)非提貨日的利潤(rùn)有一定的損失。但解除合約又將承擔(dān)一定風(fēng)險(xiǎn)。若解除與客戶N的合約而一直按照非提貨日的產(chǎn)量來進(jìn)行生產(chǎn)，可能出現(xiàn)只有提貨日的產(chǎn)量中除去合約要求的部分以外的產(chǎn)品能夠賣出去的情況，此時(shí)，該廠當(dāng)日的總利潤(rùn)I為：

I=（1.42-0.6）×（63000-62410）+（1.02-0.75）×（63600-62610）+（1.26-0.75）×（62800-62110）=1403.15

假設(shè)解除與客戶N的合約后，提貨日的日利潤(rùn)為隨機(jī)變數(shù)ξ，ξ服從在區(qū)間[1403.15，3728.69]上的均勻分布，

因此，上述結(jié)果比不解除合約時(shí)的最大平均日利潤(rùn)減少了近7.6%，比該廠現(xiàn)有的平均日利潤(rùn)減少了近5.7%。由此可見，該廠不應(yīng)該輕易解除現(xiàn)有的合約。

綜上所述，對(duì)實(shí)際生產(chǎn)的建議如下：

突破產(chǎn)品生產(chǎn)能力上限。這樣可使最大平均日利潤(rùn)達(dá)到4401.24元，比現(xiàn)有條件下的最大平均日利潤(rùn)增加近19.7%，比現(xiàn)有的平均日利潤(rùn)增加近22.3%。

合理安排工人加班。加班最多可以使得非提貨日日收益增加5.2元/小時(shí)，而加班時(shí)間最多不超過2.3小時(shí)。

避免輕易解除與客戶的長(zhǎng)期合約。解除合約會(huì)導(dǎo)致平均日利潤(rùn)只有3396.47元，比現(xiàn)有條件下的最大平均日利潤(rùn)減少近7.6%，比現(xiàn)有的平均日利潤(rùn)減少近5.7%。

四、結(jié)論

通過數(shù)學(xué)規(guī)劃模型可分析出該廠能夠獲得的最大平均日利潤(rùn)及其對(duì)應(yīng)的各種產(chǎn)品的日產(chǎn)量，從而可使該廠提升平均日利潤(rùn)。

通過突破產(chǎn)品生產(chǎn)能力上限，合理安排工人加班，或者避免輕易解除與客戶的長(zhǎng)期合約，能夠進(jìn)一步提升該廠平均日利潤(rùn)，或避免該廠平均日利潤(rùn)減少。

本文所涉及的一般化的數(shù)學(xué)模型和相關(guān)的數(shù)學(xué)分析方法，也可用來解決其他同類型的優(yōu)化問題。

參考文獻(xiàn)：

1、姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，1997.

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（作者單位：華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”