基于集對論的可轉換債券定價模型

摘要：可轉債是一種既含債券性質又含期權性質的金融衍生產(chǎn)品，利用常規(guī)的定價模型常常低估市場價格，使定價方法的可信度大大降低?；诩瘜Ψ治龇椒?，選取單因素B-S期權定價模型與單因素交換期權模型，對定價模型進行測度和修正，通過實證檢驗，可以了解到，修正后的定價模型更具適用性。

關鍵詞：集對;可轉債;定價模型

中圖分類號：F830．91文獻標識碼：A

SPA-Based Investigation on Pricing Model of Convertible Bonds

WANG Jing，WANG Min

(College of Economics Management，Northwest AF University，Yangling 712100，China)

Abstract:Convertible bond is a hybrid derivative security，involving the charateritics of both common corporate bonds and stocks. With a common pricing model of convertible both，the market pricing appears always underestimated． As a result， it debases the reliability of the models． This paper uses a set-pair-analysis method to by choos B-S model and exchange option model to identify and modify them. Through analysing the actual data， the new models are much more available．

Key words:SPA;convertible bond;pricing model

一、引言

可轉債是指發(fā)行公司依法發(fā)行、在一定期間內依據(jù)約定的條件可以轉換成發(fā)行公司普通股股票的公司債券?？赊D債兼具債券和股票的雙重特征，它首先是一種固定收益證券，具有確定的期限和票面利率；進入轉換期后，轉債持有者可以將轉債轉換為公司股票或發(fā)行者按照發(fā)行約定將可轉債贖回或回售。如果可轉債的持有者在轉換期內未轉換為股票，轉債發(fā)行者要定期支付利息并到期償還全部本金。

從目前對可轉債定價的研究情況看，學術界對可轉債的定價研究始于20世紀60年代，這一時期的相關定價理論僅局限于對可轉債價值特征的大致刻畫上，自B－S期權定價模型問世以來，對可轉債的定價問題則成為學術界關注的焦點。然而，綜合國外對可轉債定價研究的理論成果，可轉債定價理論總體上分為兩類：可轉債整體價值拆分理論、可轉債整體估價理論。

我國的可轉債市場雖起步較晚，但經(jīng)過10多年的發(fā)展，國內學者對可轉債的研究也積累了相當?shù)某晒?，從目前的研究狀況來看，對可轉債的定價研究主要集中在對可轉債的定價模型及相應的解法上，基本上都以B－S期權模型和二叉樹模型為基礎工具。

可轉債定價的實證研究要晚于其理論研究。King(1986)，對美國103支可轉換債券的定價進行了實證研究，結果發(fā)現(xiàn)這些可轉換債券被平均低估3．75%，即轉債的市場價格平均低于模型價格3．75%；Carayannopoulous (1996)，利用可轉換債券定價模型及CIR隨機利率模型，實證檢驗了30支美國可轉換債券從1989年第4季度到次年第4季度月度數(shù)據(jù)的可轉債理論價格與實際價格，發(fā)現(xiàn)低估的幅度達到12．9%；Manuel Amman ，Axel Kind 和 Christian Wilde(2003)，選取法國市場14支可轉換債券和7支可交換債券為樣本、樣本期18個月的日數(shù)據(jù)進行實證研究，結果是模型價格平均高出市場價格3．24％，且在虛值狀態(tài)下的可轉換債券的市場價格與理論價格的差異率大于在兩平均實值狀態(tài)下的差異率，低估率與至到期時間正相關，至到期時間越短，錯誤定價越小。 Fer nandez(1997)對西班牙的288支可轉換債券進行估價后，得出可轉換債券價值被低估的結論，低估率從0．25%-170%，平均為21%。

國內的可轉換債券定價實證中，范辛亭、方兆本(2001)對機場轉債日收盤價(2000年8月25日-2000年10月12日)進行驗證，他們通過增大破產(chǎn)風險補償?shù)霓k法使機場轉債定價的最大誤差率降到1．13%。楊如彥、魏剛等(2002)認為轉債發(fā)生破產(chǎn)的概率非常小，在定價的實踐中不予考慮，并對機場轉債2000年3月17日至2001年9月7日的周收盤價進行模擬，樣本期間的平均定價誤差為0．546%，進入轉股期后的平均定價誤差為0．18%。鄭振龍、林海（2004）對所選取的11只可轉債2003年6月11日的轉債理論價值與市場價格比較，發(fā)現(xiàn)市場價格被低估的幅度在10％－20％之間。

二、定價模型的選取

為檢驗交換期權定價模型對可轉債的轉換權價值定價的適用性，筆者利用已被多數(shù)理論工作者所運用的B－S模型對可轉債的轉換權價值進行定價，再進一步計算可轉債的理論價格，并運用兩種模型對可轉債的價值進行了實證對比分析。

（一）可轉債的價值分析

可轉債的整個有效期被劃分為非轉換期和轉換期。

可轉債涉及兩種基礎資產(chǎn)——債券和股票，在轉股過程中，轉債持有者是用債券去交換股票，持有者執(zhí)行的可轉債的轉換權實質是將一種資產(chǎn)轉換為另一種資產(chǎn)的選擇權，因而，可將其視做交換期權來處理。從轉債發(fā)行之日起，轉換權就具備了期權的特征，但在進入轉換期以前，這種期權是不能被執(zhí)行的，因而，它是一份歐式看漲交換期權；但進入轉換期以后，轉股權可以隨時行使，它就具有了美式看漲交換期權的性質。

（二）可轉債定價

在目前已形成一套比較系統(tǒng)完善的期權定價理論的情況下，Black-Scholes期權定價模型是在國際范圍內較為成熟并得到廣泛認可的期權定價的依據(jù)。在已有的轉債定價研究中，也有不少的學者用B－S模型為轉債的轉換權定價，并得到學術界的認可。為研究利用交換期權定價模型為轉債的轉股權定價的適用性，在實證分析時，對各時期的轉股權分別用B－ S模型和交換期權模型進行對比分析。

1．非轉換期定價

用B-S模型計算轉換權的可轉債理論定價模型為：

可轉換債券價值＝普通債券價值+歐式標準期權價值，即：

2．轉換期定價模型

通過對可轉債價值組成的分析，可以知道處于轉換期的可轉債，其價值主要表現(xiàn)為普通債券價值與轉換價值的最大值與美式交換買權價值之和，可轉債價值＝Max{普通債券價值，轉換價值}+美式交換買權價值。

轉換期內用B-S模型計算轉換權的可轉債理論定價模型為：

可轉換債券價值＝Max{普通債券價值，轉換價值}＋B-S歐式期權價值，即：

用交換期權模型計算轉換權的可轉債理論定價模型為：

可轉換債券價值＝Max{普通債券價值，轉換價值}＋歐式交換期權價值，即：

三、實證分析與對比研究

（一）樣本的選取

在筆者的驗證分析中，為保證數(shù)據(jù)資料的權威性與真實性，其數(shù)據(jù)均來自上海證券交易所網(wǎng)站（www．sse．com．cn）、深圳證券交易所網(wǎng)站（www．szse．cn）、和訊證券網(wǎng)（www．hexun．com）、證券之星網(wǎng)站（www．stockstar．com）、新浪財經(jīng)網(wǎng)站（www．sina．com．cn）和金融界網(wǎng)站（www．jrj．com．cn）。

我國發(fā)行的可轉債在上海及深圳證券交易所均有上市，無論從交易量或者交易的品種來看，深圳市場都無法與上海市場進行比較。根據(jù)樣本選取的同一性原則，即保證已發(fā)行的可轉債分布在各個行業(yè)，彼此間基本沒有聯(lián)系，主要表現(xiàn)在發(fā)行的時間上相近，因而具有相同的宏觀經(jīng)濟背景。同時，為不失全面性，從這兩個市場共選擇十三只可轉債作為實證分析的樣本。其中，深市樣本選擇為?；D債、華菱轉債、金牛轉債、首鋼轉債、晨鳴轉債、萬科2轉債；滬市樣本選擇為江淮轉債、營港轉債、南山轉債、歌華轉債、招行轉債、包鋼轉債、創(chuàng)業(yè)轉債。由于各只可轉債的非轉換期和轉換期各不相同，且在同一時期有不同的交易表現(xiàn)，為保證樣本交易的連續(xù)性，所選取的各只可轉債的樣本期是不同的。

（二）實證對比結果分析

運用SPSS 11．5統(tǒng)計軟件計算的轉債樣本期各樣本變量間的相關情況如下（見表1、圖1、圖2和表2、圖3、圖4）。

由此可以看出，到目前為止，任何一種定價模型，在應用于可轉換債券定價方面，都或多或少地存在著誤差。使人們對定價結果的可信度產(chǎn)生懷疑。其原因就在于市場本身的不確定性，而現(xiàn)在所采用定價方法大多以確定性原理為基礎。

四、基于集對分析理論定價可轉換債券

可轉換債券價格本身具有動態(tài)的不確定性，因此，人們利用很多相關的評估模型，如B-S定價，交換期權定價模型等用以判斷這種不確定性。然而，市場處在一個隨機不確定性環(huán)境當中，不確定性一直困擾著人們的工作，相應的概率論和建立在此基礎上的評估模型強調被觀察對象的相對獨立性，并將不確定性硬性轉化為確定性進行研究，而事實上常常難以檢驗這種獨立性，使得人們在不少情況下并不執(zhí)行以概率論為基礎建立起來的推理規(guī)則。基于集對分析理論，對不確定性采取了與以前不同的處理方法，即不同于某些確定性理論，一味地去把不確定性轉化為確定性來研究，而是把不確定性與確定性作為一個系統(tǒng)來加以研究，通過該系統(tǒng)中的確定性與不確定性相互依存、相互聯(lián)系、相互滲透和在一定條件下相互轉化過程的描述、分析、處理來研究不確定性在具體條件下的定價過程。

（一） 基對分析對不確定性的認識和處理

集對分析用一個既確定又不確定的聯(lián)系μ=a+bi+cj來描述系統(tǒng)中有關確定性和不確定性的狀況與程度，體現(xiàn)在不僅對客觀存在的確定性與不確定性的狀況和程度作系統(tǒng)的描述：a+bi+ci，i∈［－1，1］，j=－1，a＋b＋c＝1，而且包括作系統(tǒng)性分析，同時對確定不確定系統(tǒng)作同異反定量描述。這主要體現(xiàn)在集對分析根據(jù)事物總是可分的思想，把事物的確定性分成同一與對立兩個側面，聯(lián)系度中的a與c分別是對事物同一和對立這兩種狀態(tài)作定量刻畫，同時又把介于同一和對立之間的不確定性區(qū)分為宏觀層次上的不確定性，用μ中的b來度量；微觀層次上的不確定性，用不確定系統(tǒng)i來承載。另外對不確定數(shù)根據(jù)不同情況作不同的取值。由于聯(lián)系度中的i是處于微觀層次上的不確定性所作的刻畫，而不確定性的本質是不確定，因此i的值不僅不能隨便加以確定，而且在一般情況下具有多值性，需要根據(jù)不同情況作不同的分析。

集對是由一定聯(lián)系的2個集合作成的對子。設給定2個集合A和B，并設這2個集合組成集對H＝（A，B），在某個具體問題背景（設為W）下，對集對H的特性展開分析，共得到N個特性，其中：有S個為集對H中的兩個集合A和B所共同擁有，有P個特性上綜合A和B對立，在其余的F＝N－S－P個特性上既不相互對立，又不為這兩個集合所共同擁有。則S／N為這2個集合在問題W下的同一度；F／N為這2個集合在問題W下的差異度；P／N為這2個集合在問題W下的對立度，用下面式子表示：

（二）度量可轉換債券的基礎模型及其集對表示

在證券定價模型中，人們建立了許多用于可轉債的定價模型，這些模型均以確定性理論為基礎，即即使定出的價格有很大的不確定性，也無法估計這種模型定價的可信度，忽視了問題的動態(tài)不確定性的存在。因而具有一定的局限性。為此設定定價價格與市場價格為一個集對，在定價問題下，定出的價格與市價一致稱為定價模型與市場價格的同一度，定出的價格與市場價格相差甚遠稱為對立度，處于一定的區(qū)間內稱為差異度。

設定誤差率〈0．1，認為定價結果是可信的，為同勢；0．2>誤差率>0．1，為差異度;誤差率>0．2，為反勢，也就是說定價結果與市場價格相差較大，需要進一步對模型進行調整。

1．在非轉換期內，可轉換債券B-S定價理論與市價的聯(lián)系度

2.同異反決策矩陣的計算

根據(jù)不同的決策要求，可以對同異反決策矩陣有不同的計算。從經(jīng)濟分析角度，作為證券價格預測，從風險和時機的角度考慮，首先取平均聯(lián)系度。

（1）非轉換期定價分析。在非轉換期內，從時機的角度考慮， 求同異反決策矩陣的平均聯(lián)系度(H)=a+bj+cj。

由于a＞c，a＞b＞c故得該集對為強同勢。對i進行逆勢取值，因為a>c，在區(qū)間i∈［-1，1］之間，有可能產(chǎn)生漸變，而倒轉的可能性并不大。

另外從折線圖可以直觀地看出，非轉換期用兩種定價方法為可轉債定價得到的結果幾乎無差異，證明了B-S模型和單因素交換期權模型為可轉債定價的適用性。

綜上，可以認為兩種模型在非轉換期內，對可轉換債券的定價結果是可信的。

（2） 轉換期定價分析。在轉換期內，從時機的角度考慮， 求同異反決策矩陣的平均聯(lián)系度 (H)=a+bj+cj。

由于c＞a，c＞b＞a， 故得該集對為強反勢。因為c>a，故在區(qū)間i∈［-1，1］之間，該條件很易達到，也就是說，該集對勢在區(qū)間范圍內，不會產(chǎn)生集對的漸變和倒轉。

容易推斷，從風險角度考慮，結果同上。

因此，基于誤差率>0.2的水平上， 從實證研究的結果來看，利用B-S模型和單因素交換期權模型所計算出的可轉債理論價格均明顯高于實際市場價格，且轉換期的理論價格與實際市場價格的差值較非轉換期明顯增大。增大的部分主要在于普通債券價值的增加，期權價值沒有明顯變化。理論上，離到期時間越近，期權價值越小，但由于轉換價格的調低使得每份轉債能轉換的股數(shù)增加，因而相應的交換期權價值增加，所以兩種因素相抵使之對期權價值變動的影響較小。因此，這兩種模型對可轉換債券的定價結果在轉換期內，變動較大，需要對模型進一步進行調整。

根據(jù)有關專家研究的經(jīng)驗，可知在可轉換期，模型價格一般情況下高出市場價格，且高估率與至到期時間正相關，現(xiàn)對兩種模型在轉換期內進行修正（見表3和圖5）。

其中δ=0.1t，0.1為被高估的最小幅度，隨著到期時間t的增長，δ不斷增大，到期時，設定t的值為1;每增長一個月加0.1，如1.1、1.2、1.3。

在轉換期內， 可轉換債券B-S定價理論修正模型與市價的聯(lián)系度:

由于a＞c，a＞b＞c故得該集對為強同勢。對i進行逆勢取值，因為a>c，在區(qū)間i∈［-1，1］之間，有可能產(chǎn)生漸變，而倒轉的可能性并不大。

綜上，可以認為兩種調整后的模型在轉換期內，對可轉換債券的定價結果是可信的。

五、結論

從以往國內外學者對可轉債定價的實證研究看，無論采用何種定價方法都不同程度地得出了“可轉債理論價格高于市場流通價格，市場價格被低估”的結論。筆者沿用傳統(tǒng)的價值拆解法，利用B－S模型及交換期權模型對可轉債的轉換權進行定價研究，利用貼現(xiàn)因子模型對可轉債的純債券價值進行定價研究，將兩結果相加后所計算出可轉債理論價格，也得出了相同的結論，即“可轉債市場價格被低估”。

理論價格與市場價格不一致是任何一種金融資產(chǎn)定價中所必然出現(xiàn)的問題，對可轉債的定價也不例外。針對各種金融資產(chǎn)理論價與市場價不一致這一問題，國內外的相關研究學者給出了種種的解釋，現(xiàn)可以從中分析并借鑒這些解釋，并把它應用到解釋我國可轉換債券模型價格與市場價格產(chǎn)生差異這一問題當中。

在綜合參考了國內外學者關于金融資產(chǎn)模型價格與市場價格偏差的解析基礎上，結合我國證券市場的實際發(fā)展階段和運行機制，并考慮到模型本身的運用問題，從以下兩方面分析可轉債模型價格與市場價格產(chǎn)生偏差的原因。

（一）模型本身的設計及參數(shù)的選取

模型的建立及運用是以假設條件為前提，在假設條件不能完全滿足的情況下必然會產(chǎn)生偏差。筆者實證研究中所取的樣本不能完全滿足模型的假設條件，主要表現(xiàn)在：

首先， 模型假設股價遵循幾何布朗運動，連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布，如果是這樣，則Q－Q圖是一條直線。但把所選取的樣本基礎股價在樣本期內，發(fā)現(xiàn)Q－Q圖基本上呈“S”形，說明樣本基礎股價并不完全符合對數(shù)正態(tài)分布；另外，這一假設間接引出的一個假設條件股票收益率方差不變，而這在實際市場運行中是不可能的。

其次，無論是B－S歐式期權定價模型還是Margrabe交換期權模型，都假設證券市場可以無限制賣空。賣空限制的初衷是為防止股市的大幅波動，但實證結果卻表明賣空限制反而會加大股市的波動性。Kim Wai Ho(1996)運用無條件和條件波動率檢驗對新加坡1985年12月5日至1986年1月3日股市進行研究，發(fā)現(xiàn)賣空限制加劇了股市的波動性。股市的波動性加劇表現(xiàn)為波動率σ增大，由模型計算出的期權值增大，從而使可轉債理論價格增大。

目前我國發(fā)行可轉債的公司均不發(fā)行普通的企業(yè)債，難以找到合適的債券貼現(xiàn)率，以相同到期期限的國債到期收益率代替貼現(xiàn)率必然是不準確的，只能是一種近似的估計。

（二）投資者的理性投資問題

大量的研究證明證券市場投資者的行為在很多情況下不是以理性態(tài)度作出決策的，其投資行為存在各種決策和認知偏差。投資者非理性表現(xiàn)的一個例子：2004年，根據(jù)機場轉債的贖回結果公告，有2 700多萬面值的機場轉債被強制贖回，而未能在上市公司的三次贖回公告后及時行使轉換權或直接轉讓。投資者不成熟的非理性投資行為也是市場價格偏離理論價格的原因之一。

可轉債市場價格的行為是受投資者行為主導的，而投資者行為又受宏觀經(jīng)濟環(huán)境、金融環(huán)境、市場環(huán)境及投資者個人因素的影響，這些因素影響投資者對未來經(jīng)濟及金融形勢的預期、對現(xiàn)有股價和可轉債價格走勢的判斷，也影響投資者的博弈策略。市場上投資者的行為特征各不相同，長期以來，許多學者只能對投資者的行為進行粗略的定性分析，卻不能建立一個較為精確的數(shù)量模型來描述投資者行為對可轉債價格的影響。

有鑒于此，基于集對分析理論，指出現(xiàn)有定價模型的不足，并對其進行了修正，在綜合各模型的基礎上估計出市場價格是一系列可變的不確定數(shù)，但從宏觀上確可予以估計，從而為可轉換債券定價提供更加科學的依據(jù)。作為一種嘗試，評估模型是在筆者掌握現(xiàn)有定價模型的基礎上，首次將集對理論引入設計而成的。基于不確定性理論的動態(tài)變化原則，在實際應用中，可根據(jù)實際情況加以修正。

利用集對理論建立信用評估模型具有以下優(yōu)點：（1）從多方面考查定價結果，因而結果比較準確。（2）能夠根據(jù)所獲得的信息，對所選定價方法進行取舍，使使用的靈活性大大增加，并且計算量不是很大。（3）以動態(tài)的觀點看待價格變動更具實際性。

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（責任編輯：孫桂珍）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>