ＡＤＦ與ＰＰ法在非對稱單位根檢驗中的應用研究

摘 要：經濟理論認為許多經濟變量具有非對稱的閾值自回歸調整行為，而標準的單位根檢驗ADF和PP法都是基于線性自回歸模型而構造的，因此對非對稱單位根檢驗并不適用。本文應用Monte-Carlo模擬方法對ADF和PP檢驗在TAR與M-TAR模型下的檢驗勢進行系統研究，并對模擬結果的產生原因進行了深入分析。模擬結果表明：數據的非對稱性程度和數據的均值回復時間是影響ADF和PP檢驗的最主要因素；當非對稱性增強和均值回復時間增大時，ADF和PP的檢驗勢都具有較大幅度的下降，但是PP比ADF法具有更大程度的下降。

關鍵詞： TAR與M-TAR模型；Monte-Carlo模擬；非對稱性；檢驗勢

中圖分類號：F224.0 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2008)06-0067-06

Research into the ADF and PP Methods in Asymmetric Unit Root Test

LIU Han-zhong1， LI Chen-hua2

(1. College of Economics and Commerce， Hunan University of Commerce， Changsha 410205， China; 2. Academe of Economics and Management， Hunan University ofCommerce， Changsha 410205， China)

Abstract:Economic theory often predicts that some economic variables display asymmetric threshold autoregressive adjustments towards their long-run equilibrium， but standardADF and PP test methods are misspecified in this case， consequently， may suffer from a lack of power against such alternatives. This paper aims to study the power of ADF and PP against such alternatives as TAR or M-TAR， and analyse some reasons for that. Mont-Carlo experiments demonstrate that the Asymmetry and mean-reversion of the data plays a important role in the power of ADF and PP methods; and when the Asymmetry and mean-reversion is very strong， the power of ADF and PP test falls dramatically， but the PP method is less powerful than the ADF test.

Key words:TAR and M-TAR model; Monte-Carlo simulation; asymmetry; test power

1 引言

在現代經濟學的數量分析中單位根檢驗已經成為不可缺失的重要方法，眾所周知許多經濟變量呈現出非平穩的數據生成過程（DGP），其中單位根過程（即I(1)過程）無疑是最主要的數據形式，因此對變量進行單位根檢驗可以避免經典回歸分析中的“偽回歸”問題，因為如果對相互獨立的單位根過程進行回歸分析時，回歸方程往往會通過所有的顯著性檢驗。目前ADF和PP法已經成為了單位根檢驗的最主要方法，但是ADF［1］和PP［2］都是基于線性自回歸模型而構造的，對非線性自回歸模型的單位根檢驗并不適用［3~5］，同時在非線性自回歸模型中應用最廣泛的是閾值自回歸模型［6］，刻畫了自回歸“衰減”隨著一些變量值的不同而呈現不同的“衰減”速率；沖量閾值自回歸模型(Momentum-TAR，簡記為M-TAR)是由Enders和Granger［7］引入到經濟分析，刻畫了自回歸“衰減”隨著一些變量變化程度的不同而呈現不同的“衰減”速率。Perron［8］認為當時間序列數據在任何時候發生突變時，即使變化前后的兩段都各自表現出平穩性，仍會使單位根檢驗的檢驗勢大大下降。雖然Perron首次發現了這個問題，但是他只是對時間軸上發生的結構突變情況進行了研究，而本文是對TAR或M-TAR下的單位根檢驗勢進行系統研究。Balke和Fomby［3］運用Engle-Granger［9］的兩步協整檢驗法，對ADF和PP分別在EQ-TAR、Band-TAR與RD-TAR三種閾值自回歸誤差下的檢驗勢進行了模擬研究，但是沒有對ADF和PP檢驗在非對稱單位根檢驗中的適用性進行研究，因此本文將對ADF和PP方法在非對稱TAR和M-TAR模型下的檢驗勢進行模擬研究與原因分析。

2 TAR、M-TAR模型和單位根檢驗

2.1 TAR模型

根據Tong對TAR模型的描述，TAR模型的定義如下

在以上模型中，每個Ai上擬合一個線性自回歸模型，分割由轉換變量Xt-d來確定，通常由下式來決定：Ai=（γi-1，γi］，-∞=γ0＜γ1＜…＜γk=∞，在這里γi是閾值（Threshold Value）。事實上該模型是自激勵閾值自回歸模型（Self-exciting Threshold Autoregression，簡記為SETAR）的一種特殊形式，它可以廣泛用于不同領域的各種非線性建模，包括經濟學、環境科學、金融學以及人口動力學等。在這個模型中，我們假定閾值是不連續的（Discontinuity），如果閾值是連續的，則此時的模型被稱為光滑轉換自回歸模型（Smooth Transition Autoregression，簡記為：STAR），這個模型已被Granger和Terasvirta［10］詳細討論過，國內許多學者［11］也對該模型在我國貨幣政策中的應用研究作了詳細的討論。在本文中由于簡單起見我們只討論當閾值是不連續的情形。

2.2M-TAR模型

沖量閾值自回歸模型（Momentum Threshold Autoregression，簡記為M-TAR）由Enders和Granger引入到經濟分析中，與TAR模型的主要區別在于轉換變量不同。在TAR模型中以滯后的時間序列作為轉換變量。而在M-TAR中，轉換變量不再是滯后的時間序列，而是滯后的時間序列變化量，其它變量含義與TAR模型相同。即

（3）式和（1）式的唯一區別在于：在（1）式的TAR模型中轉換變量是Xt-d，而在（3）式表示的M-TAR中轉換變量不再是Xt-d，而是ΔXt-d。Enders和Granger認為TAR模型可以捕捉時間序列中的“深”的特征，而M-TAR模型可以捕捉時間序列的“尖”特征。時間序列的“深”和“尖”特征是由Sichel［12］在研究美國的GNP、失業率與工業總產值的周期波動過程中，發現它們的周期波動呈現“深”(Deepness)和“尖”(Sharpness)的非對稱特征，所謂“深”是長期趨勢以下的周期成分和長期趨勢之上的周期成分的“衰減”(decay)速度不一樣。所謂“尖”是指上升的周期成分與下降的周期成分呈現不同的“衰減”速度。Enders和Siklos［13］也對TAR模型和M-TAR模型的性質作了詳細的比較研究。

2.3 單位根檢驗 

傳統的單位根檢驗假定時間序列是線性和具有對稱調整機制，即基于以下的回歸模型

ΔXt=θXt-1+εt(4)

其中εt是白噪聲序列或具有自相關的隨機項，對(4)式進行對稱單位根檢驗的主要方法是DF、ADF和PP檢驗。如果接受原假設即θ=0，則認為Xt是單位根過程，反之認為是對稱調整的平穩過程。即ADF和PP檢驗的原假設和備擇假設為

H0：單位根過程H1：對稱調整的平穩過程

而隨著經濟理論的發展，許多經濟變量呈現出非對稱的調整行為，這種非對稱調整機制可以通過閾值自回歸模型（即TAR）或沖量自回歸模型（即M-TAR）來刻畫，且在交易成本等經濟分析中具有非凡的應用價值。因此具有非對稱調整行為的單位根檢驗中，原假設和備擇假設分別為

H0：單位根過程

H1：非對稱調整的平穩過程（TAR或M-TAR模型）

如果采用傳統的ADF對以上原假設進行檢驗是不適用的，因為ADF方法是針對線性自回歸模型而構造的，對非線性自回歸模型并不適用［14］，但是Pippenger和Goering并沒有對PP單位根檢驗法在非對稱單位根檢驗中的適用性進行研究，因此本文采用Monte-Carlo模擬來揭示ADF和PP方法在非對稱單位根檢驗中的適用性；同時由于經濟分析中普遍存在異方差，所以也對ADF和PP法在異方差下的檢驗勢進行了MC模擬研究。



3 ADF和PP檢驗在TAR與M-TAR模型下的檢驗勢研究

3.1 在TAR下的檢驗勢研究

為了進行MC模擬研究，我們特構造以下的Two-Regime的TAR模型

Xt=ρ1X

首先根據(5)式和（6）式分別生成Two-Regime或Three-Regime閾值自回歸模型Xt。為了應用ADF和PP檢驗，對隨機誤差項εt施加自回歸條件：εt=0.6εt-1+ηt，其中ηt是相互獨立的N（0，1）。如果是異方差情形，對隨機變量ηt的方差施加GARCH(1，1)的異方差，其表達式為：σ2t=1+0.12t-1+0.85σ2t-1，在模擬中樣本容量T=50、100、200，每種情形模擬1000次，所有初始值都設為0，方差的初始值設定為1，因此為了消除初始值的設定對檢驗所帶來的影響，模擬中去掉數據列的前200個數據。顯著性水平分別為5%、10%，利用AIC準則確定最佳滯后階數。

從表1得出如下結論：首先，不論是同方差還是異方差，ADF和PP檢驗會隨著模型的非對稱性程度越大(即在Two-Regime的TAR模型中，不同Regimes中自回歸系數相差越大或在Three-Regime模型中，除中間Regime之外的自回歸系數相差越大)，則檢驗勢都呈下降趨勢，但是PP法的檢驗勢比ADF的檢驗勢下降幅度要大，如在樣本容量為200、5％顯著性水平下，隨著非對稱程度的加大，同方差下ADF的檢驗勢由1.0下降到0.304，而PP的檢驗勢由1.0下降到0.203；在異方差下ADF的檢驗勢由0.995下降到0.301，而PP的檢驗勢由1.0下降到0.210。這主要是因為當非對稱程度越大，ADF和PP法具有越嚴重的設定誤差，會導致檢驗勢下降；而另一方面由于非對稱程度加大使得數據的均值回復時間發生變化而導致檢驗勢發生變化，兩種效應疊加使得ADF和PP檢驗勢下降。其次，在每一種情形中，兩種方法的檢驗勢都隨樣本容量的增大而增大，但是PP法的檢驗勢隨樣本容量增大而增加的幅度在大多數情形比ADF法要大，可能的原因在于PP法是一種非參數方法，要求更多的樣本；第三，在Three-Regime的TAR模型的檢驗勢要低于Two-Regime的TAR模型的檢驗勢，這主要是因為在Three-Regime的TAR模型的中間Regime服從單位根過程，增大了數據過程的均值回復時間；第四，是否存在異方差對ADF和PP的檢驗勢沒有明顯的規律性影響。第五，在Three-Regime的TAR模型的檢驗中，隨著中間Regime的單位根過程的加寬，ADF和PP檢驗勢呈現出沒有規律性的變化，原因在于加寬中間Regime的單位根過程的不同設定具有不同的均值回復時間，因而ADF和PP檢驗勢也會發生變化。

3.2 在M-TAR下的檢驗勢研究

首先生成沖量閾值自回歸模型Xt，數據生成過程同（6）式，只是此時的轉換變量為ΔXt-1，參數的設定、顯著性水平、樣本容量以及GARCH異方差形式與TAR模擬相同，表2為模擬結果。

從上面的模擬結果來看，首先，ADF和PP在檢驗M-TAR時比檢驗TAR時具有較高的檢驗勢，可能的原因在于在其它條件(自回歸系數都是大于0的正數，在經濟時間序列中往往如此)都相同的情況下，M-TAR模型的“持久性”(persistence)一般要小于相應的TAR模型，因而在M-TAR模型中的均值回復時間往往要小于TAR模型的均值回復時間，這樣M-TAR模型的ADF和PP統計量比TAR模型的ADF和PP統計量要更加左偏，拒絕單位根原假設的概率也增大。“持久性”反映了數據的均值回復時間的長短特征，如在一階線性自回歸即AR(1)模型中，當一階自回歸系數(大于0的正數)較大時，則數據的均值回復時間較長，“持久性”也較強，當一階自回歸系數(大于0的正數)較小時，則數據的均值回復時間較短，“持久性”也較弱；其次，在Two-Regime和Three-Regime的M-TAR模型中，隨著非對稱程度的增加，ADF和PP的檢驗勢都呈上升趨勢。究其原因在于隨著M-TAR的非對稱程度加大，一方面檢驗式的設定誤差會導致ADF和PP檢驗勢下降，而另一方面非對稱程度加大使得數據的均值回復時間發生變化而導致檢驗勢發生變化，兩種效應疊加使得ADF和PP檢驗勢上升。這與TAR模型下的ADF和PP的檢驗勢變化趨勢正好相反。第三，在異方差下兩方法的檢驗勢影響不明顯。第四，在Three-Regime的M-TAR模型中，隨著中間Regime的單位根過程加寬對ADF和PP法的檢驗勢影響也不明顯，具體的原因在于中間Regime的單位根過程加寬的數據設定的不同也是影響ADF和PP檢驗勢的主要原因。

4 結論

ADF和PP檢驗雖然已經成為單位根檢驗的標準化方法，但是近年來隨著經濟學理論的發展，許多經濟變量具有非對稱自回歸非線性行為，因此新的非對稱單位根檢驗方法論的研究已經成為目前時間序列計量經濟學的重要領域之一。顯然傳統的ADF和PP單位根檢驗法由于檢驗式的設定誤差已經不能適應非對稱單位根檢驗。本文的模擬結果也顯示了隨著序列的非對稱程度的加大，在TAR模型下ADF和PP的檢驗勢都呈下降趨勢；而在M-TAR下ADF和PP的檢驗勢都呈上升趨勢。究其原因：隨著TAR或M-TAR的非對稱程度加大，一方面ADF和PP檢驗式的設定誤差也增大，因而其檢驗勢也下降；而另一方面非對稱程度加大使得數據的均值回復時間發生變化而導致檢驗勢發生變化，兩種效應疊加使得ADF和PP檢驗勢在不同的模型下具有不同的變化規律。其次，在非對稱程度保持不變，而轉換變量不同，此時M-TAR的檢驗勢要高于TAR模型的檢驗勢，究其原因：TAR模型比M-TAR模型回復均值的時間要長(即“持久性”較大)，因而M-TAR模型的檢驗勢要高于相應的TAR模型的檢驗勢。再次，在非對稱程度和轉換變量都相同的情況下，Three-Regime的TAR或M-TAR比相應的Two-Regime的TAR或M-TAR模型的檢驗勢要低，究其原因：在Three-Regime中由于中間Regime中數據呈單位根過程，所以數據序列的均值回復時間比Two-Regime數據序列的均值回復時間要長，因而“持久性”也較強導致檢驗勢下降。另外由于ADF和PP檢驗式的設定不同，ADF法的檢驗式是根據信息準則來確定滯后階，不同的信息準則就有可能得到不同的滯后階數，因而有可能得到不同的結論。因此在同一模型的單位根檢驗中，在檢驗式的設定上PP法比ADF法具有優勢，原因在于：PP檢驗通過非參數方法可以全部剔除干擾項自相關對檢驗所帶來的影響(檢驗式中不包含被解釋變量的滯后項)，而ADF只是通過增加滯后項來減弱自相關的影響，不同的信息準則具有不同的滯后階數。但是在我們的MC模擬中反映出大多數情況下ADF檢驗勢要高于PP檢驗勢，其中可能的原因在于樣本容量較小。由于PP是非參數方法，它的有效性要求樣本容量較大，所以隨著樣本容量的增大PP的檢驗勢增加較ADF法快，這一點在我們的結果中得到了充分的反映。最后，ADF和PP法在非對稱單位根檢驗中，異方差對兩方法的檢驗勢不存在明顯的規律性影響。還有一點需要說明的是在理論上隨著Three-Regime的TAR或M-TAR模型中間Regime的單位根過程加寬，會導致ADF和PP的檢驗勢下降，而在模擬中表現不明顯，原因在于加寬中間Regime的單位根過程的不同設定具有不同的均值回復時間，因而ADF和PP檢驗勢也會發生變化。

參 考 文 獻：

［1］Dickey D A， Fuller W A. Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root［J］. Econometrica， 1981， 49: 1057-1072.

［2］Phillips P C B， Perron P. Testing for a unit root in time series regression［J］. Biometrika， 1988， 75: 335-346.

［3］Balke N S， FombyT B. Threshold cointegration［J］. International Economic Reviews， 1997， 38(3): 627-645.

［4］劉漢中.Enders-Granger方法在協整檢驗中的應用研究［J］.數量經濟技術經濟研究，2007，24(8):137-144.［5］劉漢中.具有GARCH(1，1)-正態誤差項的非對稱單位根檢驗研究［J］.統計研究，2007，24(11):74-79.

［6］Tong H. Threshold models in non-linear time series analysis［M］. New York: Spinger-Verlag， 1983.

［7］Enders W， Granger C W. Unit-root tests and asymmetric adjustment with an example using the term structure of interest rates［J］. Journal of Business Economic Statistics， 1998， 16(3): 304-311.

［8］Perron P. The great crash，the oil price shock and the unit root hypothesis［J］. Biometrika， 1989， 57: 1361-1401.

［9］Engle R F， Granger C W J. Cointegration and error correction: representation， estimation and testing［J］. Econometrica， 1987， 55(2): 251-276.

［10］Granger C W J， Terasvirta T. Modeling nonlinear economic relationship (advanced texts in econometrics)［M］. Oxford University Press， New York， 1993.

［11］王少平，彭方平.我國通貨膨脹與通貨緊縮的非線性轉換［J］.經濟研究，2006，(8):35-44.

［12］Sichel D E. Business cycle asymmetry: a deeper look［J］. Economic Inquiry， 1993， 31(2): 224-236. 

［13］Enders W， Siklos P L. Cointegration and threshold adjustment［J］. Journal of Business Economic Statistics， 2001， 19(2): 166-176.

［14］Pippenger M K， Goering G E. A note on the empirical power of unit root tests under threshold processes［J］. Oxford Bulletin of Economics and Statistics，1993， 55: 373-481.