金融資產波動性特征研究綜述

摘要：混沌和分形等非線性理論應用于金融市場的分析已成為近年來金融研究的一個熱點。文章綜述了用于金融資產價格或收益率波動性特征研究的分形理論，介紹了分形特征研究的最新進展，并對各種方法的優缺點進行了評述，最后給出適用于中國金融市場分析的一些建議。

關鍵詞：長記憶性；多重分形；標度；波動性

多年來，有效市場理論一直占據著傳統金融理論的統治地位，它是以許多如理性人假設、資產的價格或收益率變化是獨立同分布，且表現為布朗運動（Brownian Motion）等假設為前提的。20世紀90年代以來，非線性動力學理論、混沌和分形理論等逐漸被廣泛的應用于金融領域，有效市場理論受到前所未有的沖擊和挑戰。1991年，Peters提出分形市場理論，認為金融市場是由大量的具有不同投資期限的投資者組成，且不同的投資者對不同的市場信息具有不同的理解和反應。資產的價格變化并不服從高斯正態分布，而是具有“尖峰肥尾”性和長記憶性等分形特征，表現出分形布朗運動過程。此后，對金融市場資產價格或收益率的波動性的研究成為了金融研究的一個熱點和前沿問題。金融資產價格或收益率的波動性特征不僅是描述金融市場效率的一個重要指標，而且是金融資產定價、期貨和期權等金融衍生工具定價的基礎，是人們進行投資決策、風險管理等所要考慮的重要因素。

對于金融資產價格的波動性的描述主要分為兩種類型：一種是對價格波動進行直接的刻畫，包括各種概率分布模型和GARCH模型簇等，如魏宇和黃登仕、王明照和郭冰、李平等和曾勇等的綜述；另一種是利用分形（包括多重分性）理論對市場價格波動進行間接的刻畫。本文將以價格波動性的第二類型描述為重點，即對用分形（包括多重分形）理論研究資產價格或收益率波動性進行綜述。

用分形理論對資產價格或收益率的波動性進行研究，主要是探測價格或收益率時間序列的分形（包括多重分形）特征。分形特征主要包括序列的長記憶（Long memory）性（也稱持續性（Persistence）特征）或反持續性（Anti—persistence）、標度不變性（Scale Invarance）、間歇性（IntermitTency）或非同質性（Inhomogeneity）、極端易變性（Volatility）等等。長記憶性又可稱為長程相關性（Long Range Correlation），是指今天的價格變化將影響未來的價格變化，反應了價格或收益率的可預測性，但這種可預測的長度與長記憶性的長度有關，此指標的強弱一般被認為與金融市場的自由程度有關；反持續性表現為價格變化的回復反轉現象，是類似但又不同于均值回復的現象，此指標的強弱一般被認為與受金融調控政策影響的大小相聯系；標度不變性體現在金融資產價格在不同時間標度上的自相似性（Self—similar）和相關性（Correlation），也說明了價格時間序列的規模變化；間歇性或非同質性指資產價格波動的不連續性和突變性，可解釋價格的暴漲、暴跌甚至股市崩盤現象；易變性為資產價格變化的標準差，極端易變性是指資產價格變化的標準差會出現時變性及會出現極值方差。由于分形有單分形（Monofractal）和多重分形（Multifractal）之劃分，故本文結構安排如下：第一部分綜述單分形的研究，第二部分對多重分形的研究進行綜述，最后給出針對關于分形特征分析的一些建議。

一、 單分形研究

Brock等和Eldridge等對標準普爾500指數（Standard and Poor′s 500 Index）的收益率序列遵循隨機游走理論提出了質疑。Greene Fieltz檢驗了紐約證券交易所地200個收益序列和許多股票收益序列，發現了長程相關性的存在，從而否定了傳統的弱有效市場假說。Sewell等和Howe等通過研究，發現了日本、香港、韓國、新加坡和臺灣地區的市場指數序列均存在長記憶性。

應用于單分形特征研究的一個較早且最廣泛的方法是重標極差分析（Rescaled Range Analysis，簡稱R/S）方法。它是由Hurst研究尼羅河水壩工程時提出的一種非參數統計方法，由Mandelbrot將其應用到時間序列的分析中。后來雖經Mandelbrot Wallis（1969）和Wallis Matalas（1970）多次改進，但仍存在不能區分短期和長期相關性的不足。1991年，Lo改進了經典的R/S分析法的不足，得到了改進的R/S分析（Modified R/S Ananlysis）方法，它可在驅除短期相關性的同時探測出長程相關性或分形特征。因此，后來的應用于金融市場分析的R/S方法絕大多數都是指改進的R/S分析方法，本文下面所說的R/S分析也不例外。

R/S方法主要通過計算Hurst指數H來判斷時間序列的性質，當H=0.5時，時間序列表現為隨機游走（即布朗運動）過程，變量之間是獨立的，相應的相關系數為零，現在不會影響將來；當0?燮H＜0.5時，變量之間是負相關的，時間序列具有反持續性，在相鄰時刻會出現逆轉。反持續性具有比隨機序列更加激烈的波動性；當0.5＜H?燮1時，時間序列具有持續性，存在長記憶性的特征，就是現在的變化對將來的后續變化產生持續的影響，按照混沌動力學的觀點，就是對初始值具有敏感性。

Peters、Papaioannou和Karytinos分別運用R/S分析方法（或稱Hurst檢驗）檢驗了以美國為主的外國資本市場的分形結構。1991年，Peters令人信服地建立了標準普爾500家公司股票的日、周、月和年之間的收益曲線的自相似性，并于1994年再次利用分形統計方法（R/S分析方法等）對104年的道瓊斯股票指數（Dow Jones Industrial Index）數據及多種匯率數據進行了檢驗，均證明了資本市場的長記憶特征、自相似性和極端易變性的存在，并指出了美國證券市場平均循環（周期或非周期）長度大約為4年，而且Peters系統的總結了計算Hurst指數H的方法步驟、顯著性檢驗、計算平均循環長度的V統計方法和樣本數據的選取經驗準則 。

R/S雖然應用非常廣泛，能區分隨機時間序列和相關時間序列，但它依賴于數據序列的最大值和最小值，對異常值較敏感，因此一般只能對平穩時間序列和無趨勢時間序列適用。

由于金融市場受到國家宏觀政策和宏觀經濟因素的影響，金融資產的價格或收益率序列往往呈現出受外界影響的趨勢性和非平穩性。1994年，Peng等提出了可探測非平穩時間序列的長程相關性的消除趨勢波動分析（Detrended Fluctuation Analysis，簡稱DFA）方法。DFA方法是基于脫氧核糖核酸DNA機理提出的分析冪律函數關系的方法，它能探測出陷入在表面看來為非平穩時間序列中的長程相關性，可消除人造非平穩時間序列中的偽相關現象，且通過比較分析能大概判斷出時間序列趨勢的階數，因此比R/S分析和譜分析更具優越性。DFA方法通過按一定的時間標度把時間序列分成若干個時段，在每個時段上通過構造不同階的最優擬合多項式來消除趨勢的影響，最后計算標度指數?琢（或h（1））。它可被看作是原始時間序列“粗糙度”的指標，標度指數越大，價格時間序列越光滑。Lux Marches、Ausloos利用DFA方法分別研究了金融市場和外匯、證券市場的標度不變性，證實了分形特征在當今金融市場的存在性。Schmitt，Schertzer Loveoy在對金融市場多重分形特征研究中發現，應用DFA方法得到的標度指數?琢實際上就是R/S分析中得到的Hurst指數H。2001年，Kantelhardt等通過模擬研究發現對于較小的時間標度，計算出的標度指數h（1）將會有偏差，且此偏差將會隨著DFA擬合多項式的階數的增加而變大。在此基礎上，針對短記錄數據，Kantelhardt提出了修正的DFA方法以減小偏差，且給出了確定長程相關的交叉點（與長記憶性的界有關）的方法。同年，Vjushin等基于DFA方法，提出了一種探測時間序列趨勢存在性和趨勢階數的方法，且給出了最佳擬合多項式斜率的直方圖的標準差與標度指數的關系，這可能是估計金融資產價格或收益率波動的標度指數的新方法。

當然，對單分形特征進行分析也可利用混沌理論的一些方法，如功率譜方法、結構函數檢驗方法、Lyapunov指數等，關于這些可見呂金虎、陸君安和陳士華的著作，這里不再贅述。

單分形分析只能用一個唯一的參數（如Hurst指數H、分形維、h（1）等）來刻畫資產價格或收益率時間序列的宏觀概貌和長期統計特征，并沒有考慮價格變化過程的局部特征，對資產價格過程的描述遠遠不夠細致和全面。

二、 多重分形（或稱多標度分形）研究

多重分形分析是通過具有時變性的參數，如多重分形譜（Multifractal Spectrum）或奇異譜函數（Singularity Spectrum）、Holder指數（Local Holder Exponent）、廣義Hurst指數（Generalized Hurst Exponent）和廣義分形維（Generalized Fractal Dimension）等，來刻畫金融時間序列的局部分形特征，更加真實地描繪金融市場價格變化的復雜統計特征。

時間序列的多重分形分析方法主要分為兩種，即統計方法和幾何方法。統計方法否定一個依賴于決定性參數（Resolution parameter）的恰當的加強變量（Intensive variable）的存在，它通過對全體確定點和隨機基本點取平均來計算它的統計時點。只要這些時點展示了依賴于決定性參數的冪律性，就可稱這個時間變量序列具有多重分形結構。幾何方法是努力去估計在所有特定點上的相同加強變量的決定性參數的局部冪律性，它提供了空間上的局部自相似分形結構的信息。但是，應用幾何方法確定正確的標度指數具有較大的技術難度，因而較少被使用。

近年來，一些國外的學者運用各種算法和統計方法，通過對匯率、股票收益率、黃金價格等金融市場數據實證研究發現，基于不同時點具有不同分形參數的多重分形過程，可以更為全面地描述資產價格的市場統計特征。Ghashghaie等對美元/馬克的匯率數據的標度行為進行了研究，發現匯率變化的概率密度與時間標度之間的關系和湍流中兩點之間速度差的概率密度與兩點間的空間距離之間的關系相類似，進而認為在外匯市場中也存在信息級聯（Cascades），必須用多重分形理論來研究匯率的變化。1997年，Mandelbrot，Fisher Calvet基于標準分拆函數多重分形形式體系（Standard Partition Function Multifractal Formalism）提出了資產價格多重分形模型（Multifractal Model of Asset Return，簡稱MMAR），此模型考慮了“后尾”和長期記憶性。它區別于列維穩定分布（Levy Stable Distribution），因為MMAR不一定含有無限方差；它又區別于分形布朗運動（Fractal Brownian Motion，簡稱FBM），當資產價格增量自身不相關時，MMAR顯示出在價格增量的絕對值中具有長期記憶性。1999年，Mandelbrot指出，通過多重分形分析可以得到金融資產價格在不同時間標度上的不同波動程度的詳細信息，提供關于市場動向的概率估計值，顯示市場易變性的實質，探測金融市場劇烈震蕩。1998年，Mantegna對金融市場的多重分形特征進行了實證研究，發現不同幅度的波動具有不同的標度關系，此標度行為的存在說明了ARCH模型族的假設有一定的問題。2002年，Andreadis等運用統計學和系統動力學理論中的多種方法對Dow—Jones Average從1928年~2000年的日收盤價進行了檢驗，證實了美國股票市場的隨機多重分形結構的存在。2004年，Fulco等在不考慮股價運動的動力學因素的情況下，用馬爾可夫隨機過程（Markovian Stochastic Process）再現實驗上觀察到的金融時間學列概率密度函數的肥尾、波動的冪律（Power Law）記憶性及多重分形特征。

標準分拆函數多重分形形式體系要求時間序列是正規和平穩的，因此MMAR對帶有趨勢影響的非平穩或非正規化的時間序列分析具有局限性。為了克服此缺陷，20世紀90年代以來人們提出了改進的多重分形分析形式體系——小波變換模最大法（Wavelet Transform Modulus Maxima Method，簡稱WTMM），并被應用于金融市場的多重分形分析。2001年，Pavlov等采用WTMM及DFA方法研究了DOW-Jones Average和DAX期貨時間序列的標度特征，結果表明時間序列具有復雜的多重分形結構，且不同幅度的波動對應不同的標度。WTMM方法是在小波分析的基礎上建立的，一方面，它可充分利用小波變換的數學顯微鏡功能，為分析分形體的局部細微性質和研究分形體的構造規則提供了有效的手段；另一方面，它需要在整個時間標度上的連續小波變換中搜索最大路徑，計算量大且較復雜。2002年，Kantelhardt等推廣了DFA方法得到多重分性消除趨勢分析（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，簡記MFDFA）方法。MFDFA不僅操作簡單易理解，且可對帶有趨勢的非平穩時間序列的多重分形特征進行分析。而且，Kantelhardt等通過對非平穩時間序列的計算機模擬發現：MFDFA方法得到的標度指數與用標準多重分形形式體系得到的標度指數相等，且效果不次于WTMM方法；在短序列的多重分形分析方面，MFDFA得到的結果要比WTMM得到的結果顯著性要強。MFDFA對于非平穩時間序列的多重分析方面，得到的一個最主要的標度指數是廣義Hurst指數H（q），此處的q可取負值。根據 q的不同取值，可以刻畫出價格變化不同程度波動的標度行為，對于正的q，H（q）刻畫了大規模波動的標度行為，對于負的q，H（q）刻畫了小規模波動的標度行為。

對于平穩正規化時間序列，MFDFA得到的廣義Hurst指數H（q）直接與經典的基于標準分拆函數多重分形形式體系得到的多重分析標度指數?子（q）有關，關系式為?子（q）=qh（q）-1。另一種能表征多重分形序列特征的指數是奇異譜函數f（?琢），它是對分形結構不規則程度和不均勻程度的度量。f（?琢）可通過Legendre變換與?子（q）相聯系，即?琢=?子′（q）和f（?琢）=q?琢-?子（q），此處的?琢為Holder指數。這樣就可得到三種標度指數?琢、f（?琢）和H（q）之間的關系：?琢=h（q）+qh′（q）和f（?琢）=q[?琢-h（q）]+1，從而可得到廣義分形維Dq=[q（?琢）-f（?琢）]。而且，MFDFA方法通過對原始序列和隨機打亂次序后的序列的分別分析，能準確的區分兩種不同的引起多重分形特征的原因。記經多次隨機打亂次序后的時間序列的多重分形標度指數為hshuff（q），原時間序列的多重分形標度指數仍為h（q）。若hshuff（q）=0.5（或非常接近與0.5），則引起原始時間序列多重分形特征的原因是大小波動的不同的長程相關性；若hshuff（q）=h（q），則引起原始時間序列多重分形特征的原因是原始序列存在廣義概率密度函數，即具有“肥尾”分布特征；若多重分形的是由這兩種原因共同引起，則隨機打亂次序后的序列的多重分形程度要弱于原始序列。

目前，國外應用MFDFA方法進行金融市場分析的文獻極少（可能受筆者了解能力所限）。但國內已有少部分學者開始利用此方法研究上海和深圳股票市場的多重分形特征。

另外，可喜的是，人們為了提高幾何分形分析方法的技術作出了大量工作，并取得了顯著的進步和良好的表現（Farmer，1998、Jefferies，2001）。前面的WTMM和MFDAF方法都可看作幾何多重分形分析方法。另外，2005年，Norouzzadeh Jafari利用了幾何多重分形分析方法——廣義Hurst指數并結合其他方法對TEPIX（Tehran價格指數）進行了實證分析，證明了長記憶性的存在，算出了TEPIX收益率的概率空間的分形維，并根據指標H（1）和H（2）得到Tehran證券交易市場仍是一個新興的資本市場的結論。

三、 結束語

利用分形理論對金融資產價格波動性的分析，事實上是利用數學和物理理論來研究金融問題，因此隨著物理理論的發展和大量物理學者的加入，金融市場的復雜性的面紗必將被逐漸掀開。但從上面的各種分析方法，包括單分形和多重分形，我們看到，每種方法均有自身的缺陷或局限性，因此帶來了多同一市場分析的結果往往會產生偏離。并且，學者對到底是幾何分形分析好還是利用統計分形分析好并沒有統一的認識。2000年，Richards認為在金融市場所觀測到的分形過程嚴格不同于物理意義上的多重分形，物理上的分形表現出強烈的標度對稱性（Scaling Symmetries），而標度對稱性在金融市場中卻不存在或很弱，僅在短時間間隔上存在。因此，他建議用統計多重分形分析方法來分析金融市場的波動性。但在2004年，Richards卻用極限分割距離上的變化率來表征標度對稱性，利用價格的間歇性或非同質性，建立了基于分形理論的金融時間序列分形預測模型—合適的狀態轉移殘差標度率（State Transition—Fitted Residual Scale Ratio，簡記為SF—FRSR）模型。所以，目前有部分學者開始嘗試用多種方法同時來分析同一問題，通過不同方法得到的不同標度指標來比較分析，最后得出可信度較強的結論。例如2004年Mulligan Lomobardo利用R/S分析、功率譜方法和小波分析方法等綜合分析了Martime股價波動的分形特征，驗證了MMAR方法的正確性，2005年Norouzzadeh Jafari綜合利用R/S分析、改進的R/S分析、DFA和廣義Hurst指數分析等方法實證分析了TEPIX（Tehran價格指數）等。

多重分形分析或結合其他理論（例如隨機游走理論等）已開始被應用于對金融市場風險的度量，及對金融時間序列的建摸，以期能對資產價格、波動性程度和異常波動的進行預測。因此多重分形分析理論必將在未來的金融市場分析、風險管理和資產定價中發揮越來越大的作用。

另外，我國學者在運用分形特別是多重分形理論對我國金融市場的波動性進行分析仍必將是今后金融研究的一個熱點和重點。但由于我國的金融市場建立的時間較短，金融數據有可能存在抽樣不足的問題，特別是以日、周以上的長度為時間間隔的頻率數據，基本上都屬于短序列，因此進行分形分析時要特別注意方法的適用性。

參考文獻：

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作者簡介：曹廣喜，博士，南京信息工程大學經濟管理學院、中國制造業發展研究院講師。

收稿日期：2008-01-14。