基于Ｂ－Ｓ模型的金融衍生工具定價(jià)創(chuàng)新機(jī)理研究

摘 要：在金融市場(chǎng)中，對(duì)金融衍生工具的定價(jià)是非常困難同時(shí)也是非常重要的問題。本文從金融學(xué)角度，在理論上證明和推導(dǎo)了布萊克-舒爾斯定價(jià)模型，并通過對(duì)該模型加以分析與應(yīng)用，導(dǎo)出了期貨價(jià)格的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型。。

關(guān)鍵詞：B-S模型;金融衍生工具;定價(jià);創(chuàng)新機(jī)理

中圖分類號(hào)：F830文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Ａ文章編號(hào)：１００６－３５４４（２００8）０5－００11－05

在金融市場(chǎng)中， 由于金融衍生工具的價(jià)格受不確定因素的影響， 對(duì)其定價(jià)是非常困難的但同時(shí)也是非常重要的。期權(quán)和期貨是重要的金融衍生工具。自20世紀(jì)70年代標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)合約問世以來， 期權(quán)在國(guó)際金融市場(chǎng)上呼風(fēng)喚雨，獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，以至于成為人們心目中金融衍生工具的全部。 對(duì)于期權(quán)理論及其應(yīng)用的研究， 西方國(guó)家研究的較早。1973年， 美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Black和Scholes在衍生證券定價(jià)方面做出了開創(chuàng)性的工作， 建立了被理論界和實(shí)務(wù)界廣泛接受和使用的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型 [1] （以下簡(jiǎn)稱B-S模型）。后來，國(guó)外的許多學(xué)者相繼進(jìn)行了研究，其中較具代表性的有：Cox [2] 采用交錯(cuò)隨機(jī)過程討論了期權(quán)定價(jià)問題及股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)不具有連續(xù)性樣本路徑時(shí)的期權(quán)價(jià)值問題；Leland [3] 、Davis [4] 考慮了帶有交易成本的期權(quán)定價(jià)與復(fù)制問題；Perrakis [5] 、Ritchken [6] 、Lo [7] 等討論了具有偏好限制邊界的期權(quán)定價(jià)問題；Ball [8] 研究了美式期貨期權(quán)相關(guān)問題；Merton [9] 對(duì)期權(quán)定價(jià)理論的未來應(yīng)用做了探討；等等。而國(guó)內(nèi)對(duì)于金融衍生品理論的研究較晚，其中較具代表性的有：施兵超 [10] 、李一智 [11] 、趙曙東 [12] 以專著的形式研究了期貨和期權(quán)的基本概念及相關(guān)理論；郭寶新等 [13] 對(duì)金融期貨期權(quán)及其市場(chǎng)監(jiān)管做了探討；等等。近20年來，隨著金融衍生品定價(jià)理論發(fā)展的日新月異， 其應(yīng)用性也緊跟其后。1997年，有關(guān)期權(quán)定價(jià)的研究使兩位美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)， 也使得西方20多年的期權(quán)及其應(yīng)用研究進(jìn)一步升溫。因此，從理論意義上講，有關(guān)期權(quán)的理論可以說是20世紀(jì)經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最偉大的發(fā)現(xiàn)之一， 同時(shí)有待于國(guó)內(nèi)外學(xué)者在21世紀(jì)繼續(xù)進(jìn)行深入探討。本文從金融學(xué)角度， 在理論上證明和推導(dǎo)了布萊克-舒爾斯定價(jià)模型， 并通過對(duì)該模型加以分析與應(yīng)用，導(dǎo)出了期貨的定價(jià)模型。

一、基于金融學(xué)視角對(duì)B-S定價(jià)模型的理論證明和推導(dǎo)

在布萊克和舒爾斯的原始論文里， 是通過變量替換把微分方程變換成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的拋物型方程（熱擴(kuò)散方程） 來求解， 其中涉及一些較高深的數(shù)學(xué)技巧。本文將從金融學(xué)角度，基于風(fēng)險(xiǎn)中性思路，在理論上給出B-S定價(jià)模型的證明和推導(dǎo)。

（一）B-S定價(jià)模型的基本假設(shè)

B-S定價(jià)模型主要基于如下的假設(shè)：

1.股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且股票收益的方差為常數(shù)。

2.投資者可以賣空衍生證券，并使用賣空所得。

3.市場(chǎng)是無摩擦的，即不存在稅收和交易成本。

4.所有證券都是無限可分的。

5.市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，且為投資者提供了連續(xù)交易的機(jī)會(huì)。

6.無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)且對(duì)所有到期日均相同。

本文認(rèn)為上述假設(shè)1中的條件過于苛刻，實(shí)際上該假設(shè)條件可以弱化一些， 變?yōu)榛A(chǔ)證券的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。下面將在上述假設(shè)的前提下，基于風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的想法， 利用金融工程中的無套利均衡原理與方法來推導(dǎo)出布萊克-舒爾斯微分方程及歐式期權(quán)的定價(jià)公式， 以強(qiáng)化本文推導(dǎo)過程的金融學(xué)涵義。

（二）B-S定價(jià)微分方程

1. ITO引理及證明

（1）ITO引理

（2）證明

方程（7）中已經(jīng)不含有隨機(jī)項(xiàng)?駐W，說明在該證券投資組合中，賣出一個(gè)單位的衍生證券，同時(shí)買入數(shù)量為的基礎(chǔ)證券恰好實(shí)現(xiàn)了投資不確定性風(fēng)險(xiǎn)的完全對(duì)沖， 使得該證券投資組合所實(shí)現(xiàn)的現(xiàn)金凈流量（現(xiàn)金資本）的變化是確定的，即該證券投資組合必定是無風(fēng)險(xiǎn)的。因此，該證券投資組合的瞬時(shí)收益率應(yīng)等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。 因?yàn)榧偃缭撟C券投資組合的瞬時(shí)收益率大于無風(fēng)險(xiǎn)收益率， 套利者會(huì)把手中的無風(fēng)險(xiǎn)證券出售， 將出售所得現(xiàn)金按該證券投資組合操作，從而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益；假如該證券投資組合的瞬時(shí)收益率小于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，套利者將執(zhí)行該證券投資組合，同時(shí)將所得現(xiàn)金用于購(gòu)買無風(fēng)險(xiǎn)證券，從而實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)收益。由于該證券投資組合所實(shí)現(xiàn)的收益是無風(fēng)險(xiǎn)的，因此該證券投資組合的現(xiàn)金凈流量（現(xiàn)金資本）應(yīng)按無風(fēng)險(xiǎn)收益率進(jìn)行變化，不妨設(shè)r為瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)收益率，即收益率的梯度（數(shù)學(xué)上表示就是收益率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)），則r?駐t為時(shí)間段?駐t的無風(fēng)險(xiǎn)收益率，于是有：

（三）歐式期權(quán)的定價(jià)公式

1. 歐式期權(quán)的定價(jià)公式

二、B-S定價(jià)模型的特征分析

（一）B-S定價(jià)模型的假設(shè)分析

B-S定價(jià)模型為我們提供了一種有效地估算期權(quán)價(jià)值的工具。由于任何模型都是在一系列的假設(shè)前提下，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的一種簡(jiǎn)化和抽象，這就難以保證模型能完全準(zhǔn)確地模擬現(xiàn)實(shí)， 從這個(gè)意義上來說，B-S定價(jià)模型的不足也是任何模型的共性。在現(xiàn)實(shí)中，完全滿足B-S定價(jià)模型的假設(shè)條件是不太可能的，原因主要是：

1. 現(xiàn)實(shí)中的基礎(chǔ)證券的價(jià)格并不可能嚴(yán)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布， 甚至價(jià)格往往是處于不連續(xù)變化的狀態(tài)，即使不存在紅利發(fā)放，基礎(chǔ)證券的價(jià)格也可能由于某種原因而出現(xiàn)跳躍性的變化。

2. 基礎(chǔ)證券投資的瞬時(shí)回報(bào)率的波動(dòng)性在現(xiàn)實(shí)中將受到各種因素的影響， 特別是一些環(huán)境因素的影響， 因而在期權(quán)有效期中很難保持瞬時(shí)回報(bào)率的固定不變。

3. 盡管該模型基于不發(fā)放紅利的情況， 而對(duì)于有確定數(shù)量的紅利發(fā)放情況的期權(quán)定價(jià)問題， 只要對(duì)模型做一簡(jiǎn)單擴(kuò)展也可以實(shí)現(xiàn)定價(jià)問題。 但現(xiàn)實(shí)情況往往是已知有紅利但具體紅利發(fā)放的數(shù)量未知，甚至事先并不確定是否有紅利發(fā)放的情況。

4. 盡管某些投資的收益率可能是穩(wěn)定的，但是完全固定的無風(fēng)險(xiǎn)的利率可能是不存在的，其實(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)的利率同樣受到多種環(huán)境因素的影響。

5. 投資者借入或貸出（交易）行為之間是有利差的，這就是投資者的借貸成本或費(fèi)用。除了這種借貸成本或費(fèi)用之外， 投資者的借入或貸出數(shù)量也將受到限制，任意的借入或貸出的行為過程是不可能的。

（二）B-S定價(jià)模型的特征分析

由B-S定價(jià)模型導(dǎo)出的歐式期權(quán)定價(jià)公式主要由五個(gè)指標(biāo)決定：基礎(chǔ)證券的價(jià)格S（t）、期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K、無風(fēng)險(xiǎn)收益率r、距離到期日的時(shí)間?子=?壯-t、基礎(chǔ)證券價(jià)格的瞬時(shí)波動(dòng)率?滓。 下面分別基于各指標(biāo)對(duì)歐式期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行特征分析：

1.基礎(chǔ)證券的價(jià)格S（t）

（1）當(dāng)基礎(chǔ)證券的價(jià)格S（t）足夠大（即S→+∞）時(shí)，d1→+∞，d2→+∞，于是N（d1）→1，N（d2）→1，因而歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）→max{S（t）-K，0}；同時(shí)，由于N（-d1）→0，N（-d2）→0，因而歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）→0。

2.期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K

（2）當(dāng)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K足夠?。↘→0）時(shí)，d1→

+∞，d2→+∞，于是N（d1）→1，N（d2）→1，因而歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）→S（t）；同時(shí)，由于N（-d1）→0，N（-d2）→0，因而歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）→0。

3.無風(fēng)險(xiǎn)收益率r

當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)收益率r提高時(shí)，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）上升，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）則下降；而當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)收益率r下降的時(shí)候，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）下降，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）則上升。特別的：

（1）當(dāng)r足夠大（即r→+∞）時(shí)，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）→S（t），而歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）→0。

4.距離到期日的時(shí)間?子

在美式看漲和看跌期權(quán)不提前執(zhí)行的理性前提下，則距離到期日的時(shí)間?子越長(zhǎng)，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）上升，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）也上升；距離到期日的時(shí)間?子越短，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）下降，歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）也下降。特別的：

（1）當(dāng)?子足夠大（?子→+∞）時(shí)，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1（S，t）→S（t），歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1（S，t）→0。

（2）當(dāng)?子足夠小（即?子→0）時(shí)，即時(shí)間t→T（期權(quán)即將到期）。如果S（T）≥K，那么歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C1［S（T），T］→S（T）-K，而歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P1［S（T），T］→0；如果S（T）

5.基礎(chǔ)證券價(jià)格的瞬時(shí)波動(dòng)率?滓

三、B-S定價(jià)模型的應(yīng)用——期貨的動(dòng)態(tài)定價(jià)

作為B-S模型的應(yīng)用， 下面將推導(dǎo)期貨價(jià)格的動(dòng)態(tài)定價(jià)公式。期貨作為一種金融衍生工具，在連續(xù)型金融中， 其合約價(jià)值通常是按照B-S微分方程來求解的。

設(shè)Q（S，t）為時(shí)間t時(shí)期貨合約的價(jià)值，F(xiàn)（t）為時(shí)間t時(shí)的期貨價(jià)格，由于對(duì)于給定的時(shí)間t，F(xiàn)（t）相當(dāng)于一常量，故我們簡(jiǎn)寫為F。而S（t）為時(shí)間t時(shí)基礎(chǔ)證券的價(jià)值，Q（S，t）滿足布萊克-舒爾斯微分方程，即：

同時(shí)滿足邊界條件：

Q［S（T），T］=F（T）-F=S（T）-F

然后構(gòu)造執(zhí)行價(jià)格為F、到期日為T的同一基礎(chǔ)證券的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)，設(shè)C1（S，t）、P1（S，t）分別為歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格，由于C1（S，t）、P1（S，t）均滿足B-S微分方程，那么C1（S，t）-P1（S，t）也滿足B-S微分方程，即有：

四、結(jié)論與展望

金融衍生工具有助于投資者有效地管理金融風(fēng)險(xiǎn)，而這又離不開對(duì)金融衍生工具進(jìn)行準(zhǔn)確的定價(jià)。1997年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)?lì)C給羅伯特·默頓和邁倫·斯科爾斯，正是因?yàn)樗麄兒鸵压实牟既R克、舒爾斯一道， 找到了期權(quán)定價(jià)的新方法， 為其他金融衍生工具的定價(jià)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)， 為金融學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。 他們?cè)?0世紀(jì)70年代初進(jìn)行的開創(chuàng)性工作解決了金融學(xué)中由來已久的難題， 無論在理論上還是實(shí)踐上， 都為我們防范金融風(fēng)險(xiǎn)提供了有力的工具。 他們的新方法直接導(dǎo)致了最近20年金融衍生工具市場(chǎng)的迅猛發(fā)展。但是，如何對(duì)金融衍生工具做出準(zhǔn)確的定價(jià)， 國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們一直在不懈地努力。 希望本文的探索能為金融衍生工具的科學(xué)定價(jià)及其金融實(shí)踐提供有益的理論支持。

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（責(zé)任編輯：郄彥平；校對(duì)：龍會(huì)芳）