數學開放性教學探究

通過數學開放性教學，引導學生對所要探究的問題由淺入深、層層深入地進行多方面、多角度、多側面的思考，可以逐步提高學生對數學的學習興趣，可以使其對數學知識以及數學知識之間的關系理解得更為深刻，同時可以培養良好的思維品質和數學能力。

一、數學開放性教學有助于學習興趣的提高

1 開放性問題容易喚起中下等成績的學生的熱情

設計數學開放題應做到入口寬、起點低。寬入口、低起點的問題可使相對落后的學生也能夠參與其中，并能因此體會成功，進而提高對數學的學習興趣。成功的經驗容易提高學生的自我效能感，其解決問題的正確性和遇到難題的堅持性容易得到提高。例如，在等腰三角形性質的開放探討中，許多學習成績處于中下等的學生能夠自己尋找到等腰三角形的一些性質；經過長期的開放性教學后，這部分學生常常能夠找到一兩種甚至多種解題的方法，能發現一些帶規律性的問題，并具備推廣問題的意識；在他們當中，80％以上的學生都表示對數學的學習興趣有較大的提高，并認為自己在遇到數學問題時解題的思路增多。

2 開放性教學適合學生的心理

開放性教學可以讓學生以自己喜歡的方式，比較自由、隨意地思考和探究問題，能激發學生積極、主動地思考問題。保持兒童的自由選擇感能很好地激發和發展每個兒童參與認識活動的動機基礎。在開放性教學中應用這一心理學原則可大大提高學生的學習積極性，增強教學的效果，且符合人本主義的思想。教師的教學一定要適合學生的年齡特征、興趣和愛好。在開放性教學的課堂里，教師要為學生創設自由選擇的情景，使學生有可能根據興趣和需要，在一定范圍內從中作出自由的選擇。

3 學習興趣和智力發展互為促進

開放性教學能很好地激發學生的學習興趣，而這種良好的興趣和動機反過來又促進學生智力的發展。在數學教學中，與封閉題比較，開放題的問題情景常常能引起學生的好奇心，造成較強的認知沖突和對問題解決、問題發展的期待，使學生的注意力集中地指向學習對象，造成緊張的思維活動以增強思維的強度，從而提高思維的效率。筆者注重精心構思開放的問題情景，設法引起學生的認知沖突，造成對問題解決、問題發展、問題內在奧秘的揭示等的渴望，使大部分學生的大腦處于最佳的醒覺狀態，同時選用新穎的教具，變換敘述的方式，組織學生參與其中，或獨立思考，或小組討論和交流，或全班集體討論和交流。

二、開放性教學有助子培養學生的創造能力和創新精神

1 開放性教學有利于對學生發散思維的培養

良好的發散思維能力體現在學生的思維具有較好的流暢性、靈活性、批判性、奇異性，而這最容易引發學生的創造性思維。從理論上分析，數學開放題和發散思維在內涵上是十分接近的。在開放性教學中對數學問題的開放是多方面的，例如對數學概念的多種等價表述和拓廣，對數學命題的等價表述、推廣和引申，對解題方法、證明方法、面對現實問題的解決過程的策略開放、結論開放及條件開放。開放的方式、方法多種多樣，可以引導學生多角度、多方向、多層次地思考問題，所以它有利于良好的發散思維的形成。

案例：教學平面幾何時，引導學生討論：在Rt△AABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點D求證：BC=AB+AD。筆者首先隱去題目的結論而要求學生思考可以從圖中得出哪些結論。大部分學生都能夠得出圖形中有關角的關系及線段之間的相等關系。

其次，引導啟發學生對該問題的條件進行開放。有學生提出：其它條件不改變，如果頂角是120°的等腰三角形，圖形中的線段之間的和差關系還存在嗎?經討論。學生發現線段的和差關系仍然成立。再進一步思考后，有的學生發現：頂角分別為108°、100°的等腰三角形的線段之間仍然有和差關系。

筆者乘機提議：若減弱條件，線段之間還有和差關系嗎?如何減弱?怎樣減弱?學生充分思考后，提出：該條件可減弱為∠A=2∠B。在此基礎上，把學生提出的問題條件整理為a：∠A=2∠B，b：BD平分∠ABC→c：BC=AB+AD。簡單表示為：a+b→c。那么，由此命題可以得出哪些命題呢?學生得到啟發后提出：a+c→b可能嗎?b+c→a呢?

在引導學生對問題進行質疑和反思時，有學生提出：a：∠A=2∠C，b：BD上AC于點D，可以推出c：BC=AB+AD嗎?有的小組在討論時不僅猜想而且還證明出：a+c→b；b+c→a均能成立。學生能夠由角的平分線聯想到三角形的高，這是創造。最后，筆者引導學生對以上的問題抽出一些并采用多種方法進行證明，學生在證明過程中連結輔助線也是創造。

長期實施開放性教學可以培養學生多角度、多方位、多層次的思維方式和習慣，這樣的思維方式是有“累積效應”的。學生的智慧技能和智慧策略會隨之得到發展和提高。而且隨著問題的開放程度越大，學生的思維發散程度就越高，思維的提升就越高，為學生創造性解決問題提供了可能性。

2 開放性教學有利于學生發現問題、提出問題和反思問題的習慣的形成

在開放性教學中，對問題的分析全都是組織學生來探究和討論的，同時，教師精心地創設不確定和模糊的問題情景，讓學生產生疑惑、不安，使其不得不提出問題。教師在教學中應注意問話的方式，設置“圈套”讓學生提出問題，還應該給學生留出反思、提問的空間和機會，使學生養成善于思考的習慣。如在教學某相遇問題時，有學生提出：多少次的相遇后相遇問題會變成追擊問題?有學生還提出：相遇問題和追擊問題可以相互轉化的規律是什么?在教學測量建筑物、樹木等的高度時，有學生提出：為什么要用到相似三角形的性質?用別的方法不可以嗎?在教學全等三角形的判定方法時，有學生提出：既然兩個三角形的三對角對應相等不能判定兩個三角形全等，那么改成有兩對角對應相等，再加上它們的面積相等可以嗎?

筆者把進行開放性教學的班級的學生與對照班進行比較，得出結論：長期進行開放性教學班級的學生更善于提問。在開放性教學中，學生的思維空間開放，能較為充分地思考問題，進行反思，提出自己的想法。在這樣的教學下，學生越來越愛提出問題，一次比一次會提出問題，由于同齡的學生之間的相互影響較大，學生爭相提問的學風一旦形成，對培養學生的創造性是十分有利的。

3 開放性教學能很好地培養學生的再創造學習的能力

筆者在教學中，不是將各種規則、定律灌輸給學生，而是創造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學生在開放的環境下再創造出許多的規則和性質。每一個定理的探討，筆者都是引導學生把它作為一個或結論開放、或條件開放、或問題開放的問題來探討。例如在教學等腰三角形的判定時，筆者啟發學生思考：一個三角形添上什么條件后能成為等腰三角形?學生在教師的引導下從多角度去思考，創造性地研究了等腰三角形的判定。筆者啟發學生以開放的思想，再創造的方法進行數學學習。學生發現了超出課本內容的大量的性質，學生發現的性質越多對問題的研究相應地就越深入。實踐證明，開放性教學進行的時間越長，學生再創造的速度越快、效率越高。

三、數學開放題在數學雙基中的教育價值

1 數學開放題可以使學生理解知識的發生過程

良好的數學雙基是中國數學教學的特色。筆者在研究開放性教學的過程中發現，把常規數學問題設計成為開放題可使學生更好地理解數學知識的發生過程，由此促進學生的雙基的奠定。

案例1：雙垂直圖形的形成原因。

問題1：已知在△ABC中，點D和點E分別是AB、AC上的點，問：當滿足什么條件時，由直線DE截AB、AC所得的三角形與原三角形相似?

思考后，字生探尋出：當∠1=∠2，或∠3=∠4、DE∥BC、AD/AB=AE/AC、AD/AC=AE/AB、AD/DB=AE/EC時可以推出：△ADE～△ABC。這時，學生提出了各種各樣的問題。其中，有學生提出：當點E運動到點B，滿足什么條件時，△ADC～△ACB?

學生繼續研究出：當∠1=∠B，或∠2=∠ACB、AC²=AD×AB時可以推出△ADC～△ACB。有學生又發現：當∠1=∠B，或∠4=∠ACB、BC²=BD×AB時可以推出△ADC～△ACB。教師問：再特殊下去怎么樣?這時，有學生表示想知道：滿足什么條件兩個三角形都和原來的三角形相似。教師鼓勵學生思考下去。一段時間后，有學生發現：當上面的A和A1同時成立時，兩個三角形都和原來的三角形相似。又有學生發現：A可以和A1，B1，C1搭配，這樣的搭配可以有9種。

很明顯，如果教師不對知識進行重新組織，而是按照教材的順序以封閉的問題呈現給學生，那么，學生所習得的將是孤立的規則，更不可能理解知識的發生過程以及知識之間的內在聯系。

2 數學開放題可以促進學生形成牢固的數學基礎

知識的真正理解和掌握應在使用中才能更好地完成。為了使學生能夠建立起比較牢固的數學雙基，教師可以啟發、調動學生盡可能地應用自己的數學知識來設計并求解問題。

案例：設計并求二次函數的解析式。

筆者引導學生把求解二次函數的解析式的問題，轉變成為讓學生參與設計條件開放的問題。

問題：根據二次函數圖像上的三個點的坐標，寫出二次函數的解析式。

(1)(-1，3)，(1，3)，(2，6)。

首先引導學生理解，二次函數有三個待定系數，要確定一個二次函數。需要三個獨立條件。然后提出：除了上面的已知某個二次函數經過三個點等條件外，還能提出另外的條件嗎?引導學生由淺入深地設計出各種含三個獨立條件的確定二次函數問題。

對學生所設計的二次函數的解析式，筆者挑選有代表性的在課堂上練習或討論，有的作為課后習題。設計二次函數的解析式并求解，是學生綜合應用所學基礎知識的過程。在此過程中，學生在已經儲存的知識結構中進行挑選、分析、運用，以多角度、從多種聯系中理解基礎知識。這樣的教學，既能充分調動學生的主動性和積極性，能給學生較多的思維空間和創造機會，同時又能有效促進數學雙基的建立。

3 數學開放題可以更好地整合學生的基礎知識

教師應力求設計綜合性較強的數學開放題，好的數學開放題可有效整合學生的基礎知識。

案例：折紙問題。

問題1：一張紙片，如果對其進行折疊，最容易想到的是如何折疊? 有的學生將其對折，有的沿著對角線折疊，等。觀察折疊后的圖形，教師提出：能說明這是為什么嗎?這里面有怎樣的數學知識呢?

問題2：還可以怎樣折疊?有什么好的建議?

學生提出多種建議和想法，其中有學生提議把正方形的一個角折到對邊的中點處。教師對學生的提議給予較高評價，并鼓勵學生思考該問題。 有學生小組發現：假設正方形的邊長AB=I，則沒有被蓋住的兩個三角形是相似三角形，且可分別求出其三條邊長。教師肯定這個小組的發現，要求學生說出發現上述問題的理由。有的學生小組計算出兩個三角形的面積、周長、其外接圓的半徑和斜邊上的高，有的學生小組還計算出折痕MN。

問題3：折疊到邊AD的1/3處、1/4處，又會如何?

教師啟發：我們能發現什么規律性呢?怎樣去分析所面對的問題呢?在教師的啟發下，學生用列表的方法去分析比較，尋找規律。

學生在折疊正方形紙片的過程中所涉及的知識有：正方形的性質，勾股定理，三角形的面積計算，相似三角形的性質，三角形的內切圓的性質，三角形的外接圓的性質，等腰三角形和等邊三角形的性質和判定，等差數列等。所涉及到的數學思想和方法有：對稱變換，方程思想，由特殊到一般的歸納的思想，猜想發現，直覺思維等，總之，學生需要用到幾何和代數的比較多的知識才能分析問題和解決問題，解決問題的過程其實就是整合學生的數學知識的過程。

用開放題作為切入點來改造初中數學的教學，能讓學生形成比較牢固的“雙基”，培養邏輯思維能力和空間想象能力，鍛煉和提高探究問題、發現問題的能力，直覺和頓悟水平，創造意識和創造能力。

責編 雷 靖