基于ＭＡＴＬＡＢ的回歸分析模型在經濟預測分析中的應用

［摘 要］ 經濟預測是企業決策的前提與基礎， MATLAB 具有強大的數據處理和分析功能，可以方便、快捷、準確、直觀地進行回歸數學建模和預測分析。本文通過案例分析， 運用MATLAB統計工具箱中提供的命令regress建立回歸分析數學模型， 并進行回歸預測分析，取得很好的效果。

［關鍵詞］ MATLAB；經濟預測；回歸分析

［中圖分類號］F270.7［文獻標識碼］A［文章編號］1673-0194（2008）05-0069-03

一、引 言

現代企業經營管理離不開決策，決策的正確與否關系到企業的生存與發展。而正確的決策要依據正確的預測，預測分析是決策的前提與基礎。預測分析的方法種類繁多，隨分析對象和預測期限不同而有差異，但基本方法可分為定量預測分析法和定性預測分析法。定量預測分析法是指運用數學模型預測未來的方法。回歸分析法是根據事物的因果關系對變量的預測方法，它是定量預測方法的一種。因果關系普遍存在，比如，產量對生產成本的影響預測、銷量的預測、資金需要量的預測和財政收入的預測等， 都可以運用回歸分析法建立數學模型， 進行預測分析。但在實際工作中，由于數據量大、涉及的因素多以及計算的復雜性，給手工建立數學模型和進行預測分析造成了很大的困難，有的根本無法進行。

MATLAB，即“矩陣實驗室”，是美國MathWorks公司自20世紀80年代中期推出的數學軟件，用于線性代數、自動控制理論、概率論及數理統計、數字信號處理、時間序列分析、動態系統仿真等高級課程的基本教學工具，可解決工程、科學計算和數學學科中許多問題。在MATLAB統計工具箱中提供了命令regress，可以實現多元線性回歸，具體用法是：C = regress（Y，X） 或 ［C， bint， r， rint， stats］ = regress（Y， X， α）。其中Y是因變量數據向量，X是自變量數據矩陣，α為顯著性水平（缺省時設定為0.05）。輸出向量C，bint為回歸系數估計值及其置信區間；r，rint為殘差（向量）及其置信區間；stats是用于檢驗回歸模型的統計量，有3個數值，第一個是R2，R是相關系數，第二個是F統計量值，第三個是與統計量F對應的概率p，當p<α時拒絕H0，說明回歸模型假設成立。

二、一元線性回歸分析模型及應用

1. 一元線性回歸分析模型

一元線性回歸研究一個因變量和一個自變量間呈現直線趨勢的數量關系，其數學模型為：

（1）式中，a，b稱為一元線性回歸的回歸系數；ε表示回歸值與測量值之間的誤差。采用最小二乘法確定回歸系數。

2. 模型應用

【例】某企業歷史年度的產量與單位變動成本固定成本總額的關系如表1， 預測2005 年產量為180 萬件時的總成本［1］。

表1

Step 1 根據統計數據，利用MATLAB計算出回歸系數。具體如下：

> Y =［4 600， 5 500， 5 850 ，5 350 ，6 400］′；

> X =［20， 75， 60， 45，100］′；

> X =［ones（5，1） X］；

>［C，bint，r，rint，stats］ = regress（y，x，0.05）；

計算出：回歸系數C=［4 319.452 054 794 52；

20.342 465 753 424 7］；相關系數R=0.927 180 192 204 934；統計量F對應的概率p=0.023 329 564 442 655。

Step 2 確定模型。

Y= 4 319.452 054 794 52+20.342 465 753 424 7X

說明：R=0.927 180 192 204 934，復相關系數接近1且p=0.023 329 564 442 655<0.05，可以認為X與Y之間相關關系顯著，擬合程度高，模型可靠。

Step 3 根據模型預測2005年產量為180萬件的總成本。

Y= 4 319.452 054 794 52+20.342 465 753 424 7×180=7 981.095 890 410 97

預測2005年產量為180萬件的總成本為7 981。

Step 4 預計值與真實值比較。

如圖1，實線表示真實值，虛線表示預測值，兩條線間存在間隙，說明預測值與真實值存在著差異，但在一定的顯著性水平內，該模型是可靠的。

三、多元線性回歸分析模型及應用

1. 多元線性回歸分析模型

在實際中，常常會遇到一個因變量與多個自變量間數量關系的問題，直線回歸分析模型無法解決這個問題，需要構造一個因變量與多個自變量間的線性數量關系模型，其數學模型［2］為：

（2）式中，βi（i=0，1，2，…，m）稱為偏回歸系數，其意義為當其他自變量對應的因變量的線性影響固定時，βi反映了第i個自變量Xi對因變量Y線性影響的度量；ε表示回歸值與測量值之間的誤差。采用最小二乘法確定回歸系數。

2. 模型應用

【例】據中國統計出版社出版的《中國統計年鑒》提供的數據（如表2，1978－1995年的數據）［3］表明，在一定時期內，財政收入規模大小受到國民生產總值大小、社會從業人員多少、稅收規模大小、稅率高低等因素的影響，據此進行預測分析（見表2）。

Step 1 根據統計數據，利用MATLAB計算出回歸系數。具體如下：

>Y=［1 132.62，1 146.38，1 159.93，1 175.79，1 212.33，

1 866.95，1 642.86，2 004.82，2 122.01，2 199.35，2 357.24，

2 664.9，2 937.1，3 149.48，3 483.37，4 348.95，5 218.1，6 242.2］′；

>X=［3 624.1 519.2840.9940 152；

4 038.2 537.82113.5340 581；

4 517.8 571.7152.9942 361；

4 860.3629.89192.2243 280；

5 301.8700.02215.8444 706；

5 957.1755.59257.8446 004；

7 206.7947.35296.2947 597；

8 989.12 040.79280.5179 873；

10 201.42 090.73156.9551 282；

11 954.52 140.36212.3852 783；

14 922.32 390.47176.1854 334；

16 917.82 727.4179.4155 329；

18 598.42 821.87299.5356 740；

21 662.52 990.17240.158 360；

26 651.93 296.91265.1559 482；

34 650.54 255.3191.0460 220；

46 532.95 126.88280.1861 470；

57 277.36 038.04369.1962 388］；

>X=［ones（18，1） X］；

>［C，bint，r，rint，stats］ = regress（y，x，0.05）；

計算出：回歸系數C=［767.774 150 109 936；

0.054 261 773 314 491 5；0.367 994 086 072 842；

1.101 267 095 357 03；-0.003 651 753 120 055 86］；相關系數R=0.996 597 390 804；統計量F對應的概率p=

06.039 613 253 960 85e-014。

Step 2 確定模型

Y=767.774 150 109 936+0.054 261 773 314 491 5X1+

0.367 994 086 072 842X2+ 1.101 267 095 357 03X3-

0.003 651 753 120 055 86X4

說明：R=0.927 180 192 204 934，復相關系數接近1且p=0.02 332 956 444 265 5<0.05，可以認為X與Y之間相關關系顯著，擬合程度高，模型可靠。

Step 3 預計值與真實值比較。

如圖2，實線表示真實值，虛線表示預測值，兩條線幾乎重合，表明預測值與真實值很接近，該模型可以較準確地進行預測。

四、結 語

從以上兩個實例可以看出，利用MATLAB可以方便、快捷、準確、直觀地進行回歸分析數學建模和預測分析。同樣，經濟中的許多問題，如經濟進貨批量、財務杠桿效應、企業經營業績評價、量本利多因素分析等，都可以利用MATLAB求解。

主要參考文獻

［1］ 王海紅. Excel 回歸分析法在財務預測中的應用［J］. 中國管理信息化，2005，（9）：11-12.

［2］ 郭科，龔灝. 多元統計方法及其應用［M］. 成都：電子科技大學出版社，2003.

［3］ 王彬會. Excel在多元回歸預測分析教學中的應用［J］. 統計與預測，2003，（4）：58-60.

［4］ 李南南，吳清等. MATLAB 7簡明教程［M］. 北京：清華大學出版社，2006.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”