偏ｔ ＡＰＡＲＣＨ模型估計ＶａＲ的優越性分析

摘要：鑒于金融資產的回報存在有偏、尖峰和肥尾的特性，波動呈現集聚和不對稱的特征，尋找科學的VaR測度方法進行風險管理成為金融監管者與金融機構都極為關注的焦點。針對這一問題， 國內外的理論和實證研究表明偏t APARCH模型相對于GARCH類模型、正態APARCH模型和t APARCH模型較能準確有效地估計VaR。因此，隨著中國資本市場的不斷發展，風險管理重要性的日益凸現，偏t APARCH模型有望成為一種強有力的風險量化分析技術。

關鍵詞：VaR；GARCH模型；偏t APARCH模型

一、 引言及文獻回顧

近年來，國內外的金融交易活動得到迅猛發展，但是就連一些著名的金融機構也曾發生大額交易損失。這就導致金融監管者和金融機構迫切需要尋找各種有效的數量分析技術以準確地測度可能的損失。在這些風險量化技術中，受險價值VaR（Value-at-risk）方法由于能簡潔地回答在給定的置信水平下，比如95%或者99.9%，金融資產在特定時間內可能會損失多少，所以成為一種很受歡迎的風險測度方法。

隨著研究的深入，人們發現金融資產的回報經常出現在某個時期內波動相對激烈， 而隨后相對平緩的聚集（Clustering）現象，以及事件的負面沖擊比正面沖擊會引起更大回報波動的不對稱效應，并且回報通常不服從正態分布，存在偏態、尖峰和肥尾的特性。

為了更準確地刻畫金融資產回報序列的聚集性特征，Bollerlev（1986）提出用GARCH方法將高階ARCH模型（ Engle，1982）轉化成參數容易識別和估計的低階GARCH模型。除了低階，GARCH模型的另外一個優勢是考慮到回報波動的動態性。如果用GARCH模型估計VaR，例如J.P.摩根公司提出的風險矩陣法（Risk Metrics），意味著所估計的VaR也是動態的。GARCH模型常使用平方項很可能是為了和傳統做法——回報服從正態分布假設相一致。如果回報序列確實服從正態分布，均值和方差（或標準差）兩個參數就能完全刻畫分布的特征。這樣，用平方項來測度波動性是合適的。但是，Bollerlev（1987）發現條件誤差項的分布是非正態的，這就導致GARCH模型所估計的VaR低估肥尾部分的損失。Sriananthakumar等（2003）運用極值理論（Extreme Value Theory）， 分別在誤差項服從正態、t和偏t（Skewed Student t）分布三種情況下，使用ARCH類模型分析澳大利亞股指（Australia All Ordinaries）、標準普爾500和道瓊斯工業指數的日回報VaR，結果發現誤差項服從偏t分布的GARCH（1，1）能較準確地捕捉到回報分布的一般特征?？梢?，GARCH模型必須引入更高階矩的偏度和峰度才能刻畫數據的真實特征。于是，平方項不再具有優勢，應考慮其它形式的冪轉換。Ding等（1993）提出了Power ARCH（PARCH）模型，將GARCH模型事先就確定好的冪項轉化成待估計的參數。由于GARCH模型沒有考慮波動的不對稱效應，即利空消息（Bad News）對回報產生的負面沖擊比利好消息（Good News）對回報產生的正面沖擊會引起更大的波動，Ding等（1993）將PARCH模型推廣成廣義的非對稱形式（APARCH）以捕捉各種沖擊對回報產生波動的潛在非對稱效應。大量的實證分析表明應用APARCH模型能相當有效地擬合樣本（Ding等，1993；Mckenzie等，2002）。依模型的穩健程度從低到高分，隨機干擾項可以分別假設服從正態分布、t分布和偏t（Skewed Student-t）分布， 從而形成三類APARCH模型： 正態APARCH模型（Normal APARCH）、t APARCH模型（Student-t）和偏t APARCH模型（Skewed Student-t APARCH）。Huang等（2004）運用風險矩陣（Risk Metrics）模型、正態APARCH模型、t APARCH模型分析了兩只針對臺灣股票市場的股指期貨（TAIFEX和SGX-DT）， 結果發現這兩只期貨的日回報都存在肥尾、有偏和波動聚集的現象，在99.5%和99.9%的置信水平下，基于t APARCH模型估計的VaR與基于風險矩陣模型和正態APARCH模型估計的VaR相比準確度更高。Huang等（2004）的不足之處在于沒有考慮到期貨的日回報存在有偏特性，即沒有應用偏t APARCH模型，這樣估計到的VaR準確性欠佳。Giot等（2003）運用正態A- PARCH模型、t APARCH模型和偏t APARCH模型， 分析了三只股指（英國金融時報指數、美國納斯達克指數和日本日經指數）和三只股票（Alcoa、MacDonald和Merch）的日回報VaR，結果發現與正態APARCH模型和t APARCH模型相比， 偏t APARCH模型較能充分反映回報分布的特征， 所估計的VaR也較為準確有效， 從而顯示出偏t APARCH模型的優越性。Tang等（2006）發現標準普爾500、納斯達克100和道瓊斯三只股指期貨的回報序列也存在肥尾現象，并且服從有偏分布。可見，國外大量實證分析表明金融資產的回報不服從正態分布，而是服從肥尾和有偏分布，回報波動存在聚集和不對稱的現象，因此，隨機干擾項服從偏t分布的APARCH模型（偏tAPARCH）與GARCH類模型（如風險矩陣模型）、以及隨機干擾項服從對稱分布的正態APARCH模型和tAPARCH模型相比，較能真實地描述金融資產回報序列的各種典型特征， 所估計的VaR也相應較為準確有效。

國內的研究也證實了偏tAPARCH模型較能充分刻畫金融資產回報序列， 準確有效估計VaR。閆冀楠等（1999）較早地將APARCH模型與ARCH模型和GARCH模型作了比較， 結果發現APARCH模型比ARCH（1）、GARCH（1，1）、GARCH（1，2）和GARCH（2，1）更能描述上海股市的收益分布。但是閆冀楠等（1999）的研究沒有進一步比較隨機干擾項服從不同分布的情況下，那一種類型的APARCH模型更具優越性。陳學華等（2003）以及龔銳等（2005）在隨機干擾項服從正態分布以及能刻畫肥尾特性的t分布和廣義誤差分布（GED）假設下，拓展了閆冀楠等（1999）的研究。陳學華等（2003）運用基本統計分析發現從1997年1月2日~2002年3月22日上證綜合指數日回報存在左偏、尖峰和肥尾性，不服從正態分布，并且波動具有杠桿效應。通過事后模擬和條件單步預測，他們發現APARCH（1，1）模型應用于VaR估計在統計上有效的，并且明顯優于GARCH（1，1）模型，其中，GED APARCH模型估計的VaR統計上較為有效。龔銳等（2005）運用基本統計分析了從1997年1月1日~2003年12月31日的上證指數和深證綜指以及從2002年7月4日~2003年12月31日的上證180指數的日回報， 發現上證指數和深證綜指同樣具有左偏、尖峰和肥尾的特征，上證180指數具有右偏、尖峰和肥尾的特征，并且都存在波動性聚集的現象， 結果發現總體上PARCH模型計算的VaR值優于GARCH模型所計算的VaR值， 其中基于t PARCH模型估計的VaR值較為保守，基于GED PARCH模型適合于數據較少、回報風險較大和具有肥尾性的樣本序列，但計算過程較繁瑣，計算量因而較大。閆冀楠等（1999）、陳學華等（2003）和龔銳等（2005）研究的對象是股指回報的VaR，沒有分析分析金融衍生工具，例如期貨回報的VaR。楊士鵬（2005）研究了滬銅期貨合約的VaR，結果發現從1999年8月2日~2004年6月30日的滬銅期貨合約日回報序列具有左偏、尖峰和肥尾的特征，波動具有杠桿效應；無論是對多方還是對空方，在90%的置信度下，t APARCH模型計算的VaR可以通過Kupiec準確性檢驗（LRuc）。但是，陳學華等（2003）、龔銳等（2005）和楊士鵬（2005）的研究都沒有考慮到金融資產的回報存在偏度的情況。當金融資產的回報存在偏度性的時候，由于偏度和峰度之間相互聯系，t分布和GED等對稱分布雖然對正態分布進行了改進，但與偏t分布相比它們在較高置信水平估計VaR時仍會產生較大的偏差，甚至失效。又由于通過構建APARCH模型反映不對稱沖擊并不能從根本上解決回報分布的偏度問題。所以，基于偏t分布的APARCH模型與基于正態分布、t分布、GED等對稱分布的APARCH模型相比更能顯著提高VaR估計的精度。蘇濤等（2005）的實證研究支持了這一結論。蘇濤等（2005）發現從1996年6月28日~2003年6月3日， 上證指數和深證A股指數的日回報存在左偏、尖峰和肥尾的特性，并且波動呈現不對稱的現象，基于偏t分布的APARCH模型所估計的VaR值準確度較高，因而從根本上解決了分布的偏度問題。

總之，從國外和國內關于ARCH模型、GARCH模型和APARCH模型的理論和實證研究， 可以知道由于金融資產的回報存在有偏、尖峰和肥尾的特性，偏t分布相對于正態分布和t分布能較好地擬合存在這些特性的回報序列；還可以知道因為金融資產的回報波動呈現集聚和不對稱的特征，APARCH模型相對于ARCH模型、GARCH模型能較好地刻畫回報序列的這些波動特征。所以， 偏tAPARCH模型相對于GARCH類模型、正態APARCH模型和tAPARCH模型在準確有效地估計VaR方面具有優越性。

二、 VaR參數估計模型的發展演變

1． VaR。假設投資者僅持有某項金融資產，他們最擔心金融資產價格的下跌，導致資產縮水，所以絕大多數研究者（如Granger等，1996；Christoffersen等，2000；Giot等，2003）通過計算金融資產回報的VaR來測度多方所面臨的下跌風險。

如果用偏tAPARCH模型求解VaR，一般運用最大似然法估計偏tAPARCH模型， 然后在偏t分布下用所估計的模型計算下一期的VaR。對于多方，如果隨機干擾項服從偏t分布，?琢分位數下的VaR計算如下：

V?琢R= ?滋t-skst?琢，v，?灼 ?滓t，其中，?滋t和?滓t是用過去的信息預測的下一期條件均值和條件方差；skst?琢，v，?灼是偏t分布在顯著水平為?琢%，自由度為v，不對稱系數為?灼時的左分位數。如果?灼<1，則t分布左偏，多方面臨較大的下跌風險，所估計的VaR值較大；如果?灼>1，則t分布右偏，多方面臨較小的下跌風險，所估計的VaR值較小。

2． VaR的參數估計方法。

（1）RiskMetrics（RM）法。GARCH（p，q）模型可以處理金融資產價格波動集聚的現象（Bollerlev，1986），其一般形式如下：

?著t=?滓tzt，其中zt獨立同分布，服從N（0，1），?滓t被定義成：

?滓2t=（1-λ）?著2t-1+λ?滓2t-1（1）

其中，λ為衰減因子（Decay Factor），它決定前期觀測值影響力的衰減速度。 λ值越大， 意味著賦予前期觀測值的權重就越大，則衰減速度越慢。在RiskMetrics模型中，對于日數據，λ被設為0.94。這樣，模型沒有參數需要估計就變得較為簡單。對于多方，V?琢Rt= ?滋t- z?琢 ?滓t，其中，z?琢是在?琢%顯著水平，誤差項服從正態分布下的左分位數，?滓t由方程（1）最大似然估計而得。

（2）正態APARCH模型。正態APARCH模型（Ding等，1993）是Bollerlev（1986）提出的GARCH模型的擴展。由于GARCH模型對數據施加平方項的限制，PARCH模型對此作了改進，估計最優的冪項。又由于GARCH模型僅考慮到波動的集聚性， 沒有考慮到波動的非對稱性，APARCH模型的提出正好彌補了GARCH模型這一缺陷。APARCH（p，q）模型形如：

其中，?棕、?琢i、?酌i、?茁j和?啄是待估計的參數。?啄（?啄>0）起著將?滓t進行Box-Cox變換的作用。?酌i（1

（3）tAPARCH模型。有關VaR的實證分析表明基于正態假設的模型（如RiskMetrics法和正態APARCH模型）通常沒有考慮到回報分布的肥尾特性（Giot，2000）。為此，t APARCH模型被引入：?著t=?滓tzt，其中zt獨立同分布，并服從t（0，1，v）分布，?滓t的定義如方程（2）。這時，對于多方V?琢Rt= ?滋t- t?琢，v ?滓t，其中，t?琢，v是在?琢%顯著水平，誤差項服從自由度為v的t分布下的左分位數，?滓t由方程（2）最大似然估計而得。

（4）偏tAPARCH模型。為了彌補t分布不能充分刻畫金融資產回報存在偏度問題的缺陷，Hansen（1994）和La- mbert（2001）提出拓展t分布，增加偏度參數。于是，偏t APARCH 模型被引入：

根據Ding等（1993）和Paolella（1997）的研究，如果方程（3）的平穩解存在，它可以由下式求得：

方程（4）取決于z的密度。如果V=?琢1E（zt-?酌1zt）?啄+?茁<1，則該平穩解存在。Ding等（1993）在正態分布的條件下推導E（zt-?酌1zt）?啄的表達式。Paolella（1997）在各種非標準密度的條件下求得E（zt-?酌1zt）?啄的表達式。對于標準偏t密度：

這時，對于多方V?琢Rt= ?滋t- skst?琢，v，?灼 ?滓t，其中skst?琢，v，?灼是偏t分布在顯著水平為?琢%，自由度為v，偏度為?灼時的左分位數，?滓t由方程（2）最大似然估計而得。

三、 小結

國內外的理論和實證研究表明，當金融資產的回報存在有偏、尖峰和肥尾的特性，波動呈現集聚和不對稱的特征， 偏tAPARCH模型相對于GARCH類模型、 正態APARCH模型和t APARCH模型較能準確有效地估計VaR。因此， 隨著中國資本市場的發展， 特別是隨著滬深300指數期貨的即將推出，偏t APARCH模型將成為金融監管者和金融機構進行風險管理的一種強有力的數量分析技術。但是，這里所介紹的偏t APARCH模型只面向于單個金融資產，屬于一元偏t APARCH模型。對于由多個證券所組成的投資組合， 一元偏t APARCH模型需要考慮多個證券間的動態相關性（Time-varying Correlations），向多元偏t APARCH模型擴展（Giot等，2003）。

參考文獻：

1．龔銳，陳仲常，楊棟銳．GARCH族模型計算中國股市在險價值（VaR）風險的比較研究與評述．數量經濟技術經濟研究，2005，（7）．

2．楊士鵬．VaR-APARCH模型與期貨投資風險量化分析．商業研究，2005，（331）．

3．蘇濤，詹原瑞．證券組合SKST-APARCH模型和VaR估計分析．系統工程學報，2005，（6）．

4．P．Giot，S．Laurent．Value-at-riskforlong and short trading positions．J．Appl．Economet rics，2003，（18）：641-664．

作者簡介：朱志雄，南京大學經濟學院金融與保險系金融學博士生。

收稿日期：2008-05-11。