關于問題驅動數學教學的幾種策略

摘要：提出并論述了關于問題驅動數學教學的三種策略，即搭建知識框架、提供變式、數與形相結合。

關鍵詞：問題驅動；數學教學；策略

美國數學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）曾經指出：“問題是數學的心臟”。著名科學方法論學者源波普爾（K.R.Popper）認為：“正是問題激發我們去學習，去發展知識，去實踐，去觀察”。數學家們無一不懂得問題在整個數學發展以及個人創造活動中的地位和作用，正是問題驅使數學家付出畢生的精力去追求答案。中國古代數學經典《九章算術》就是一本問題集；1900年希爾伯特的23個數學問題為20世紀數學的發展指明了方向。數學發展的歷史使人們意識到問題是數學發展的生長點。問題對于數學教學也至關重要，一方面，從學科屬性來看，學科數學的材料來源于科學數學，問題同樣是學科數學的生長點；另一方面，從教育屬性來看，根據維果斯基“最近發展區”理論，教學可以促進學生發展，從“已知區”到“最近發展區”。由于維果斯基早逝，沒有具體論述采用何種教學促進學生發展。我們認為，促進學生發展的動因是問題驅動，問題也是數學教學的生長點。因此，數學教學必須使用問題驅動。

下面談談設計問題驅動的策略。

搭建知識框架的策略

關于知識的建構，建構主義及情境認知理論均認為知識的建構是在新、舊知識經驗的相互作用下完成的，學習者在建構新知識時，既要圍繞當前問題解決活動獲取有關的信息，同時又要不斷激活原有的知識經驗，對當前問題作出分析和推論、綜合和概括，同時新、舊經驗的合理性又在問題解決過程中得到檢驗。在知識建構活動中，新、舊知識經驗之間的相互作用得以充分展開，為知識建構提供了理想的途徑。因此，知識建構教學的關鍵在于教師怎樣在學生的新舊知識互動過程中提供必要的引導和有力的支持——搭建知識框架。根據知識結構“網絡”論，教師應在學生“最近發展區”內設置問題系列，為學生搭建知識框架，建立新舊知識之間的聯系，協助學生構建知識，并給學生提供實現由現有認知水平向潛在認知水平發展的機會，促進學生的認知發展。

關于“弧度制”的教學，有些教師上課時單刀直入給出角度制與弧度制的換算關系，然后就是反復演練，這樣的教學枯燥乏味，屬于典型的被動灌輸和機械訓練。如果按照數學知識自身的生長點設計問題驅動，展示數學知識發生、發展以及形成過程，會收到意想不到的好效果。

問題1：為什么要引入弧度制？原有的角度制不是很好嗎？角度與實數有很多不便，而數學比較強調統一性。

問題2：怎樣把一個角表示成實數？讓學生自己想辦法解決，根據情況點撥，發現原有知識固著點——圓周率等于圓的周長與直徑的比值與新問題的聯系，引用角的弧度制表示問題，然后再進入角度制與弧度制換算的知識學習。啟發式的思想實質就是搭建知識框架的問題驅動。具有啟發性的問題源于教師對教材的熟練應用，更源于教師對知識的深刻理解，教學創新就存在于問題設計之中。

提供變式的策略

數學教學的深化和發展是通過變式來完成的。變式是促進有效數學教學的中國方式。數學學習往往要歷經“過程”而達成，然后轉變為“概念”（對象）的認知過程。顧泠沅先生把變式分為概念性變式和過程性變式兩類。概念性變式被論述為“在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征。目的在于使學生理解哪些是事物的本質特征，哪些是事物的非本質特征，從而對一事物形成科學概念”。過程性變式的主要含義是，在數學活動過程中，通過有層次地推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗。因此，對于數學概念、命題推演和問題解決等每一類數學學習對象，均存在著概念性變式和過程性變式。

我們認為，變式教學就是問題驅動，可以運用變式策略從兩個方面設計問題驅動：一是從概念性變式方面，通過直觀或具體的變式引入概念，通過非標準變式突出概念的本質屬性，通過非概念變式明確概念的外延，常用的有“反例變式”。二是從過程性變式方面揭示概念的形成過程，在問題解決過程中設置問題，構建特定的經驗系統的變式，如一題多變、一題多解、一法多用等。

例如，關于“多邊形的外角和”定理的教學，可以利用定理變式設計問題驅動。

問題1：假如你從一條封閉曲線上的任一點A出發，行走方向時時在改變，當你重新回到出發點A時，所有角度的改變量之和是多少？

問題2：當你沿著多邊形的任一頂點A出發，再回到出發點A時，情況又怎樣？學生從中可以發現“多邊形的外角和”定理。然后再探索證明結論的方法。

從問題1到問題2的變式中，把“變的部分”——閉曲線、閉折線（多邊形）和“不變的部分”——外角和加以區別，從“不變”中探求本質屬性，從而深刻地理解外角和定理。

數與形相結合的策略

數與形構成了數學研究的基本對象，數形結合是一種極富數學特點的信息轉換，在數學上總是用數的抽象性質來說明形的事實，同時又用圖形的性質來說明數的事實。數形結合過程中潛在地蘊含著兩種主要的思維方式：一是嚴謹的邏輯思維，一是直覺的感知思維。數形結合是達到溝通邏輯思維與直覺思維、形成數學深度理解的一種有效途徑。

運用數形結合的策略設計問題驅動的經典范例是柏拉圖《理想國》中的蘇格拉底與奴隸的一番對話：蘇格拉底要求奴隸畫出一個正方形，使其面積是一個已知正方形面積的兩倍，奴隸不假思索地認為前者邊長應當是后者邊長的兩倍，顯然，這個回答并不正確。后來，蘇格拉底在奴隸面前畫了一個圖形，借助這個直觀形象的圖形和不斷反復的引導，終于幫助奴隸改變了錯誤的觀點，給出了正確的回答。美國數學家斯蒂恩曾經指出：如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。蔡金法先生通過研究發現，中國學生在評價復雜問題解決的開發性任務方面不如美國學生，其原因是美國學生在問題解決的過程中更喜歡使用圖形策略與圖形表征。因此，圖形表征是一種重要的思想方法，數形結合也是設計問題驅動的良好策略。

例如，已知函數f（x）=|x|和一次函數g（x）=ax+3，試問當參a取何值時，由函數f（x）和g（x）的圖像所圍成的圖形面積最小。教學中可設計如下問題驅動。

問題1：觀察圖形，直線系在哪個位置所圍成的圖形面積最小？

當直線系變化時，BE比BD長，所以左邊的三角形（△ABD）比右邊的三角形（△EBC）的面積要小，也就是水平線（y＝3）下面的三角形（△ABD）比水平線上面的三角形（△EBC）的面積要小。即處在水平位置（a＝0）所圍成的圖形面積最小。

問題2：直觀“看出”的結論，怎樣用代數方法加以證明？

以上提出了三種設計問題驅動的策略，問題設計可以使用不同的方法，有多種多樣的呈現方式，設計問題的要求有三點：一是激發學習動機。問題情境能夠在具體的數學問題上體現它的生命力，激起學生學習數學的興趣，同時能夠揭示數學的本質。二是形成問題意識。學生面臨問題情境，會產生懷疑、困惑、猜想、探究的心理，容易激發學生的積極思維，以便設法解決問題。三是有助于知識遷移。面對問題情境，學生在新舊知識之間能建立起合理的、實質的聯系。其中，“合理的聯系”就是要尋找可以關聯新舊知識的“知識固著點”，“實質的聯系”就是可以“換一個形式來檢驗”，如通過變式來檢驗實質的聯系。

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作者簡介：

黃貴（1961—），男，江西鷹潭人，碩士，教授，主要從事教學教育研究。