論考慮下側風險的投資組合

摘要：文章按照投資組合選擇理論的發展脈絡，簡述并分析了與現代投資組合選擇相關的各種主要理論、模型與方法以及它們之間的內在關系，并對一些最新進展作了重點介紹。在此基礎上，對投資組合選擇的理論研究和在我國的應用實踐問題提出了建議。

關鍵詞：投資組合；下側風險；資產配置；損失厭惡

一、 引言

傳統的投資理論都是假設投資者是風險厭惡的，即在期望收益率相同的情況下，投資者會選擇風險較小的投資組合。然而，在現實情況中卻并非如此。在中國的證券市場中，在投資者的平均持有期內，很多投資者收益率的期望值并不比儲蓄的確定收益率高，甚至很多情況下低于儲蓄的期望收益率。股市中的大部分投資者并沒有因此退出股市，因此可以認為投資者是風險厭惡的并不完全符合實際情況。

二、 Markowitz的投資組合理論

現代資產組合理論中的投資者的行為一般描述為對風險和期望收益的權衡，Markowitz創立的證券組合理論為投資者提供了相應的理論和方法。他以期望收益率度量投資收益，以收益率的方差衡量風險，通過求二次規劃的方法尋找最佳投資方案。這之后研究工作大都是遵循均值風險的分析框架，建立與現實更吻合的資產組合模型，如將Markowitz的標準模型擴展成動態模型以及選用更為合理的風險指標來度量風險。由于動態均值—方差問題求解的種種困難，這塊領域長期無人問津，直至近期才出現文獻對多階段情形和連續時間情形建立了均值方差模型。張盛開、張亞東（2000）；張盛開、葉田祥（1986），并推導了顯式的最優解和有效邊界。近年來也出現了許多不同的風險概念，如絕對偏差、半方差以及近年來流行起來的 （Value at Risk），Roy（1952）首次提出的安全第一（Safety first）準則。Roy認為投資者為了避免某些“災難”水平的損失發生，在資產配置時會力圖使這種水平發生的概率最小，這個思想和之后的一些變形形成了所謂的安全第一準則。盡管安全第一準則是一個對資產組合和風險管理十分有意義的指標，但對它的研究并不如方差或 那樣受到關注，而涉及到如何將安全第一準則應用于動態資產組合選擇問題近乎空白。

Markowitz（1952、1959）均值—方差理論為評估資產的風險收益關系和分散風險提供了強有力的工具，同時奠定了單階段投資組合選擇理論的基石，其問世不久，一些學者便試圖將其推廣到多期情形。Meton（1969、1971、1990）對連續時間投資組合模型做了大量的工作，它應用隨機動態規劃原理，提出了類似資本資產定價理論中的兩基金分離定理，為后續進一步研究奠定了基礎。但他只給出了雙曲絕對風險厭惡（HARA）效用函數的最優化投資組合的解析式。Zhou Li（2000）利用植入技術將連續時間均值—方差模型的投資組合問題轉化為一個隨機線性—二次（LQ）優化問題，并給出了解析解和有效前沿。然而如果存在關于狀態變量或控制變量的約束時，使用動態規劃技術將變得非常困難。解決這一問題的途徑是利用鞅理論。Harrison（1979、1981）借助于無風險資產，定義了風險中性概率測度，在該測度下，資產通過折現的現金流的期望值進行定價。Bajerx—Besnainou Potait（1998）利用鞅理論在均值-方差框架下研究了動態投資組合前沿問題。但是，這些模型沒有考慮下側風險控制問題。

一些學者提出對MV模型進行修正。Markowitz（1959）也承認將方差視為風險的測度并不合適，因此他另外提出兩個衡量風險的統計測度，一是衡量收益率低于預期收益率時的方差，稱為低于均值的半方差簡稱SVm。另一個是衡量收益率低于目標收益率時的方差，稱為低于目標收益率的方差簡稱SVT。Hogan Warren（1972）研究半方差最適宜運算規則來發展均值—低于目標收益率的半方差投資組合架構（簡稱MSVT），并且這兩位學者于1974年提出對應 MSVT的投資定價模型。同一時期Porter發展了隨機占優運算規則，1974年Porter將隨機占優的運算規則應用于SVm和SVT投資組合模型，發現SVT模型所得到的效率投資集合也屬于隨機占優效率投資組合的一部分，而SVm模型效率投資組合不屬于隨機占優效率投資組合的一部分。

三、 下偏距投資組合理論

1975年前，各家學者各自發展以半方差為基礎的投資組合理論及其相對應的運算規則，直到Bawa（1975，1978）、Bawa Lindenberg（1977）及Fishburn（1977）等學者將研究中心從半方差轉移到下偏距（Lower Partial Moment 簡稱LPM）之后，并以謹慎的數學推導證明LPM與隨機優勢的相關性來發展均值—下偏距投資組合架構（Mean—Lower Partial Moment Portfolio Framework，簡稱M-LPM），使得過去文獻中有關下側風險的投資組合模型都成了均值—下偏距的特例，例如Roy（1952）提出的安全第一法則、Markowitz（1959）的均值—半方差以及Hogan Warren（1972）的均值—低于目標收益率半方差構架等。

Hanoch Levy（1969）是第一個說明如果收益分布不是正態的或如果投資者的效用函數不是二次的，均值—方差分析中分布的額外的偏動是很重要的。Mao（1970）的綜述指出投資者更關心低于目標收益率的概率。Markowitz（1959）也指出了這種說法的重要性，同時說明了比方差應用更廣泛的半方差，或下偏距的使用。Hogan Warren（1974）和Bawa Lindeberg（1977）也提出了下側風險的使用。他們將下側風險（下偏距）與資本資產定價模型相結合，發展了均值—下偏距資產定價模型（D-CAPM）。Nantell Price（1979）和Price et al．，（1982）在下側風險結構下和均值—方差結構下檢驗了系統性風險之間的不同。他們發現，如果收益的分布為對數正態的，兩個結構下的系統性風險是不同的。Lee et al.（2005）提出了下側風險在組合分析中的應用。

較早的一篇說明下側風險測量方法用于資產配置的優點的文章是Markowitz（1959）。Markowitz（1959）意識到方差作為風險測量方法的缺點，因為它對組合中的上側和下側的波動給予同樣程度的懲罰。他提出半方差是一種更合適的風險測量方法，只測量低于均值的偏差風險。然而，Markowitz沒有解決用均值—半方差方法解決不可微問題的困難。Basak Shapiro（2001）研究在滿足VaR約束下傳統的冪效用的投資行為。盡管他們只考慮以VaR作為邊際約束的預期效用，他們的發現證實了冒險影響。Dert Oldenkamp（1999）考慮了一個單期離散狀態模型，最大化在一定的收益約束下最大化預期收益。他們也發現了冒險影響（Gambling Effect）。然而，他們沒有給優化組合選擇提供閉合解。Robert Jarrow和Feng Zhao（2006）利用Kahneman Tversky（1979）的觀點，說明LPM可以適當的用于測量下側損失偏好。

現有的文獻中也提到了一些其他的下側風險的測量方法，例如，VaR，CVaR，expected shortfall（ES）（Bask Shapiro 2001，Rockafellar Uryasev 2002）。通常，這些方法不是測量投資偏好，而是作為效用最大化問題的約束加入。在資產組合管理中，Krokhmal，Palmquist Uryasev（2002）對CVaR進行了研究。考慮動態資產配置方面，Basak Shapiro （2001）和Cuoco，He Issaenko（2001）研究了在高斯分布下帶有下側風險約束的動態效用最大化問題。Liu，Longstaff Pan（2003）研究了事件風險，但是他們沒有考慮損失厭惡。Arjan Berkelaar Roy Kouwenberg（2004）考慮了在相對于均值的下側風險框架下的動態資產配置問題。當收益服從對數正態分布時，他們得到了優化組合的閉合解，并且發現優化組合中投資于股票的部分是V型的：即在財富的低水平和高水平上，投資者增加股票的比重。優化戰略也顯示了相反的時間影響：當接近期限值時投資者在股票中配置更多。進一步，對于負向偏度和厚尾的收益分布投資戰略變得更有風險。

國內也有許多學者對下偏距進行了理論和實證的研究。吳世農、陳斌（1999）等人的研究表明，在有效邊界分析方法下，下偏距風險計量指標優于方差類風險計量指標。李麗華（1999）以風險值作為投資組合決策的下側風險考量，選取1980年~1999年臺灣股票市場8大類股指的日收益率，應用風險值分析兩個組合在不同的歷史模擬期間的最佳分配。汪貴浦等（2003）針對Harlow下偏矩證券組合優化模型求解的困難，通過恰當變換，使得該模型易于求解，而且能得到相應證券組合的下偏矩統計量的精確值。

四、 行為偏好下的組合決策

標準金融學研究的范式涉及兩個重要的假設：市場有效性假設和人的行為心理的完全理性假設。Kahneman Tversky（1979）提出預期理論用來作為人們在面對不確定性下從事決策的模型，以解釋傳統期望效用理論與實證結果的分歧，預期理論同實際中機構投資者的表現極其吻合。Shefrin Statman（2000）基于Lopes的SP/A理論和Kahneman Tverskey的預期理論創立了行為證券組合理論（BPT），利用多個心理賬戶（Multiple Mental Account）推演了投資者對證券投資組合的最優選擇模式，研究表明；多個心理賬戶投資人將投資組合分離成不同的賬戶，且忽視各個賬戶之間的共變異數。由此，可以解決Friedman Savage之謎，也解釋了投資者資產配置的非理性特征，即投資者的決策心理也是金字塔式的分層結構（各層由心理賬戶劃分）。

K—T通過實驗發現，投資者在大多數情況下對預期損失的估值會比預期收益大約高出兩倍。因為在不確定的條件下，人們的偏好是由財富的增量而不是總量決定的，所以人們對于損失的敏感度要高于收益，這種現象稱作損失厭惡（Loss Aversion），它是前景理論的主要組成部分。相對于理性人的假設，損失厭惡能更準確刻畫投資者的風險取向（Risk Taking）。而且損失厭惡是人們普遍存在的一種心理現象，來源于人類趨利避害的本能。Benartzi Thaler（1995）給出了損失厭惡在資產定價中的進一步應用，盡管他們的工作是在一個簡化的階段組合決策模型的基礎上。Barberis et al（2001）將其擴展到了養老金的跨期模型中。然而，由于收益和損失的不對稱，為什么更關注損失，損失厭惡將會一直持續，并且這種理論不能解釋股票溢價的問題。Barberis，Huang Thaler（2003）認為基于損失厭惡的模型可以同時解釋股權溢價和家庭參與證券市場的程度，也就是說損失厭惡會影響投資者的投資組合選擇。

Thaler（1985）發現的心理賬戶（Mental Accounting）效應，可能使得投資人劃地自限，未能迅速有效轉換不同型態的資產投資，無法因應景氣狀況做更好的資產配置。Tversky Wakker（1995）及Tversky Fox（1995）提出決策加權函數（Weighting Function），發現人們在不確定情況下比風險情況下更缺少敏感性。投資人的窄框架（Narrow Framing），將決策相關的損失、利得紀錄在不同心理賬戶內，不同來源或形式的金錢被視為不同的決策而缺乏整體性規劃，表現在投資決策上則形成一種習慣性的遲滯。外在環境產生實質變化后，投資選擇并未迅速轉換，這不僅影響個人投資報酬率，也可能讓個人暴露在過度的風險中。投資人的偏好差異也會表現在不同資產上。Eichhorn，Gupta Stubbs（1998）曾提出不同投資人都有屬于自己特殊的資產偏好，會對不同類型的資產特別有信心。從統計觀點來看此現象，主要因為不同資產存在的時間不同，存在較久的資產，投資人對估計準確度信心較強。

損失厭惡模型的特征構造了一個復雜的隨機動態優化問題，如資產價值的反饋影響，資產價值的消費路徑選擇，使用Grune Semmler（2004）提出的動態規劃方法可以解決這個問題。因為解的方法的正確性是一個帶有復雜的決策結構的模型的復雜的問題，解這類模型時解的方法的正確性的判斷是很重要的。Grune Semmler（2004，2007）用Flexible Grid Size（柔性網格大小）隨機動態規劃方法來解決這種模型。在這個模型中使用了一個有效的并且可靠的局部誤差估計，并作為網格本地細化的基礎來應對價值函數斜率高的部分獲價值函數其它的不光滑的屬性。這個程序適用于決策的全局動態分析以及隨機的跨期決策問題。

五、 動態資產配置

動態投資是在主要的資產種類，如股票、債券、現金、期權之間進行全部的投資基金分配的決策過程。正如Markowitz（1952，1959）和Tobin（1959，1965）提出的，均值-方差分析是一個典型的靜態模型。通過收益率的均值、方差、協方差構造的模型，理智的投資者關注有效邊界（對于給定的方差的最大的均值的組合的子集），并且在他的風險偏好的基礎上進行金融選擇。上世紀60年代以來，不少人研究了動態投資組合選擇問題，例如Mossin（1968）、Samuelson（1969）、Merton（1990）、Fama（1970）、Hakansson（1971）、Elton Gruber（1974）、Dumas Luciano（1991）、Ostermark（1991）、Xu Shreve（1992）、Dantzig Infanger（1993）、Grauer Hakansson（1993）、Pliska（1997）、Li Ng（2000） 以及Zhou Li（2000）等。

Samuelson（1963，1969）、Mossin（1968）、Merton（1969）和Fama（1970）最早描繪了具有長期視角的投資者做出與具有短期視角的投資者相同決策的限制條件。Modigliani Sutch（1966）宣稱長期債券對于長期投資者是安全資產，Stiglitz（1970）和Rubinstein（1976）建立了一個嚴格的理論模型證明并闡述了這一點。Fama Schwert（1977b）提出了人力財富怎樣影響資產組合選擇的問題。Merton（1971，1973）開創性地提出了投資機會隨時間變化時，長期投資者資產組合需求的一般框架。Rubinstein（1976）和Breeden（1979）證明了Merton的結論可以用消費風險的術語來解釋，Lucas（1978）、Grossman Shiller（1981）、Hansen Singleton（1983）、Mehre Prescott（1985）以及其他一些人的貢獻，使長期資產組合成為宏觀經濟學中具有重要影響的一種思想。Basak Shapiro（2001）、Cuoco、He Issaenko（2001）研究了高斯分布下帶有下側風險約束的動態效用最大化問題。Liu，Longstaff Pan（2003）研究了一致性風險，但是他們沒有考慮損失厭惡。

在離散時間動態情形中，Steinbach（2001）研究了基于離散情景（離散收益分布）的多階段均值—方差投資組合選擇問題。Li等（2000）把安全第一模型推廣到多階段情形。Leippold等（2004）在Li Ng（2000）的分析框架上研究了資產/負債管理問題。結合均值—方差模型和安全第一模型的思想，在Li 等（2000）及Li Ng（2000）的基礎上，Zhu（2004）研究了整體破產風險控制問題。Zhu等（2003）還研究了多階段均值—方差投資組合選擇的短視有效性問題，得到了短視有效性在一定條件下成立這一具有正、負兩方面意義的結果，指出了一些關于動態均值—方差投資組合選擇問題有待進一步研究的問題。

從現有的文獻來看，在動態均值—方差分析的框架下，連續時間模型的研究已經取得了比較豐富的成果。比較而言，離散時間均值—方差模型的研究成果相對缺乏，比如說不允許賣空交易規則下的問題就沒有解決。由于實際交易行為是在離散時間點上發生的，因此離散時間均值－方差模型有待進一步深入研究。在傳統的金融經濟文獻中，動態資產配置模型得到了閉合解。然而，主要考慮的是在冪效用（Samuelson，1969；Metron，1969）和預期資產收益（Brennan，Schwartz Lagnado，1997；Kim Omberg，1996；Campbell Viceira，1999；Serensen，1999）下的組合選擇，這些文獻中下側風險管理的問題基本上都沒有考慮。

六、 結論

下側風險測量方法和損失厭惡效用從不同的角度體現了投資者對于資產收益向下運動的規避，分別從方法和理論的角度出發，對投資者的風險偏好進行了刻畫。資產配置是決定一個投資組合收益與風險的最重要因素。動態資產配置，是進行正確的戰略資產配置的前提。損失厭惡是人們普遍存在的一種心理現象。現有的文獻對損失厭惡和下側風險測量方法的研究基本都是獨立進行的。將損失厭惡引入動態資產配置中可以更深刻的認識動態資產配置的本質，還可以為投資者提供更好的資產配置決策建議。下側風險的測量不能充分反映投資者的風險偏好，通過研究兩者的一致性，發展能刻畫投資者復雜心理的動態的風險測量方法，不但可以豐富行為金融理論的研究內容，同時也為動態資產配置的研究提供了新的方向。

參考文獻：

1. 李麗華.風險值應用于資產分配的研究——以股票市場為例.國立東華大學企業管理研究所碩士論文，1999.

2. 張盛開，張亞東.對策論與決策方法.大連，東北財經大學出版社，2000.

3. Liu，J.，F. Longstaff，and J. Pan. Dynamic Asset Allocation with Event Risk.Journal of Finance.2003，58，231-259.

基金項目：本文受國家自然科學基金（70601021）“基于下方損失厭惡的動態資產配置研究”資助支持。

作者簡介：王平，天津大學管理學院博士生；張小濤，博士，天津大學管理學院講師。

收稿日期：2008-03-01。