馬爾柯夫鏈在經濟預測中的應用

[摘要] 對于經濟方面的預測方法很多，本文利用馬爾柯夫鏈理論對經濟做出預測，以期得到良好效果。

[關鍵詞] 馬爾柯夫鏈 轉移矩陣 轉移概率 無后效性

馬爾柯夫鏈預測法是指利用馬爾柯夫鏈來確定狀態的變化趨勢，從而對未來事件進行預測的一種方法。所謂馬爾柯夫鏈，它認為未來狀態只與現在狀態有關，它是一種與先前狀態無關的無后效性的隨機時間序列。在馬爾柯夫鏈中，狀態對應的往往是一個數值區間而不是一個數值點。利用馬爾柯夫隨機模型從某時刻的初始狀態可以預測到下一時刻最大可能出現的狀態，這個狀態對應著一個數值區間。事物的發展狀態總是隨著時間的推移而不斷變化的。本文應用馬爾柯夫鏈理論，建立了期望銷售利潤預測的數學模型，并結合有關實例進行了計算分析。

一、馬爾柯夫預測法原理簡介

馬爾柯夫（A.A.Markov）預測法是應用概率論中馬爾柯夫鏈的理論和方法來研究隨機事件變化并借此分析預測未來變化趨勢的一種方法。根據馬爾柯夫的兩個重要特性（無后效性和吸收性）可以進行動態的諸如狀態預測、市場占有率和期望利潤預測。關于馬爾柯夫預測法具體參考文獻。

二、馬爾柯夫預測步驟

馬爾柯夫鏈模型分析步驟:第一，分析預測對象可能有幾種狀態存在，進行狀態劃分并計算初始狀態的概率。若以Si表示預測對象在基期呈現第i種狀態的初始概率（i=1，2，…，N；N為系統可能存在的相互獨立的狀態數），則相應的初始狀態概率向量為。

第二，采用一定的方法，確定一步轉移概率矩陣。在預測實踐中，通常可按以下兩種方法確定一步轉移概率：一是主觀估計法，即將專家根據自己的知識和經驗對系統狀態間相互轉移可能性大小的主觀估計值，作為一步轉移概率;二是統計估計法，即根據歷史統計資料或市場調查資料計算的有關頻率作為一步轉移概率。若以Pij表示預測對象由第t時刻狀態i轉向第t+1時刻狀態j的一步轉移概率（i，j=1，2，…，N），則一步轉移概率矩陣為：

第三步，進行預測。若預測對象的狀態轉移具有無后效性特征，且初始狀態已知和一步轉移概率矩陣不變，經過k次轉移以后，對象處于狀態 i 的概率為 ，則可以利用如下公式進行預測和計算穩態概率。馬爾柯夫預測模型為:穩態概率模型為：

在市場占有率預測中，穩態概率為市場競爭達到均衡狀態的終級市場占有率。

三、應用研究

解(1)在這里初始

從本月開始下個月的市場占有率：

第二個月份的市場率：

(2)終極市場占有率的計算：

首先判斷概率矩陣P是否為標準概率矩陣，顯然是根據標準概率矩陣的性質，必然存在非零行向量，使得，此時所得到的即為P的平衡向量，也就是終極市場占有率。

于是有

可得到線性方程組:

解這個線性方程組得:=0.5，=0.25，=0.25

所以三家企業生產同種商品的終極市場占有率分別為:0.5，0.25，0.25

解:狀態轉移概率矩陣:

狀態轉移利潤概率：

(1)即時期望利潤：

代入數據

結果表明當本月處于暢銷時，下個月可期望獲利4。當本月處于滯銷時，下個月有可能虧損2。

當n=3時，有

代入數據可得：

結果表明當本月處于暢想時，預計3個月后可以期望獲利5.7。當本月滯銷時，3個月后可能虧損0.96。

馬爾柯夫鏈預測法具有廣泛的應用，它不但可以應用于企業經營利潤的預測，而且亦適用于市場占有率的預測。在企業的經營管理中，除了需要摸清銷路的變化情況外，還要對利潤的變化進行預測，馬爾柯夫鏈預測法能實現這一目的。

參考文獻:

吳清烈蔣尚華:預測與決策分析[M].2004年2月版，東南大學出版社

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。