從高等數學看數學之美

摘 要：本文從高等數學的角度，介紹了數學美的四個方面，說明數學是一門優美的學科，數學美的內涵和外延都是極其豐富的。

關鍵詞：簡潔美 對稱美 統一美 奇異美

數學美蘊藏在數學學科的每一個分支里，高等數學也不例外。在高等數學中，它的概念、公式、理論、結構等，對稱和諧，簡單新奇，統一協調，構成美學的內容和形式，充滿了美的色彩，給人以美的感受。同時，高等數學思維與方法的新穎性、獨特性和奇異性等等，都是數學美的具體內容和表現形式。在數學解題過程中，運用數學美的基本形式———簡潔美、統一美、對稱美、奇異美，利用數學美的思想方法去發現問題的內在聯系，使其與數學問題條件和結論的特點結合，能夠取得事半功倍的效果。

1 簡潔美。數學的簡潔性，是數學美的重要特征之一。一方面，數學以高度抽象、簡潔的形式表現了復雜的內容。在高等數學中，我們總能看到符號、定義、公式、定理的簡明扼要的敘述。例如：極限定義有簡潔美：用簡潔的符號?坌ε＞0，?堝δ＞0，當0＜｜x-x ｜＜δ時，恒有｜f(x)-A｜＜δ成立，從而清楚地描述了極限這一概念；牛頓-萊布尼茨公式f(x)dx=F(b)-F(a)形式也很簡單，卻深刻揭示了微分與積分內在聯系的。另一方面，數學又以簡潔、清晰的方式處理和解決了復雜的問題。正如數學家荻德羅所說:“數學中所謂美的問題是指一個難于解決的問題， 所謂美的解答則是指一個困難、復雜問題的簡單回答。”在高等數學中，“化繁為簡”的思想隨處可見。例如：定積分概念的引入，采用了眾所周知的“微元法”，其中，在計算曲邊梯形面積時，在每個小區間內“以直代曲”；在處理變速直線運動時，在小的時間段內以勻速代替變速；在引入二重積分概念時，在曲頂柱體體積計算中，在每個小區域中以平面代替曲面；在三重積分、曲線積分、曲面積分等問題中都貫徹了“微元法”的運用，都以“線性”的線、面、體去代替非線性的線、面、體，從而使問題的求解變得簡單了，可操作了，達到化繁為簡的效果。再如，等價無窮小代換在求極限中的應用，也充分體現了化繁為簡的理念。又如，在求極限、求積分（一元函數積分、多元函數積分)、求微分方程的解等運算中，常常利用作變量變換來簡化運算。

從上面的解題中我們也可以看到簡潔的方法帶來的美感。

2 對稱美。對稱性是最能給人以美感的一種形式，從古希臘時代起，對稱性就一直被數學家看成是數學美的一個基本內容。對稱對于我們來說并不陌生，它是指整體事物中各部分之間的相稱、平衡或相適應。同時，對稱美在數學研究中有重要作用，它是數學創造與發現的美學方法之一。正如韋爾所說：“對稱是一種思想，多少世紀以來，人們希望借助它來解釋和創造秩序、美和完善。”在高等數學中，也處處滲透著圓滿和自然的對稱美。如：線性方程組的克萊姆法則x ；從運算關系角度看：微分與積分，矩陣與逆矩陣……這些互逆運算也可視為“對稱”關系。對稱美在高等數學里更多地體現在微分、積分、線性代數的運算中。下面將一一舉例說明。

（1）在微分中

（2）在積分中

在高等數學中，一些函數圖形關于某坐標軸或坐標面對稱，求定積分、重積分及線面積分時，根據積分的幾何意義，利用被積函數的對稱性可簡化積分運算。

如：利用函數圖像的對稱性，簡化定積分的計算；

對于三重積分、第一型曲線和曲面積分也有類似結論。

（3）在線性代數中，行列式與它的轉置行列式具有對稱性，而某些行列式本身就是對稱的。在行列式的計算中，利用對稱性，也可以起到簡化的作用。

3 統一美。數學中的統一性是指部分與部分、部分與整體之間的協調一致，這是一種美的重要特征。數學中一些表面看來不相同的概念、定理、法則，在一定的條件下可以處在一個統一體中。笛卡爾通過解析幾何把幾何學、代數學、邏輯學統一起來；高斯從曲率的觀點把歐幾里得幾何、羅巴契夫斯基幾何和黎曼幾何統一起來了；克萊因（C.F.Klein）用變換群的觀點統一了19世紀發展起來的各種幾何學（該理論認為：不同的幾何只不過是在相應的變換群下的一種不變量）；拓撲學在分析學、代數學、幾何學中的滲透，特別是在微分幾何種種空間，產生了所謂拓撲空間的統一流形。統一美表現在數學結構上，成為數學美的基本源泉。值得一提的是世界上公認的最優美的公式e +1=0，這個式子將算術中的“1”、“0”，代數中的“i”，幾何中的“π”，分析中的“e”神奇地統一在了一起，即它們相會于天橋：e =cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數與指數函數之間的內在聯系，充分體現了數學的統一美。同時，高等數學中的統一美也隨處可見。比如：牛頓—萊布尼茲公式就具有統一美：將微分、不定積分和定積分之間建立了聯系；矩陣乘積求逆與轉置，則是數學運算所表現的統一的“脫衣規則”；行列式 表示了平面上過點 的直線方程，也體現點、直線方程與行列式的統一美。 在一元積分中，不定積分、變上限積分、定積分這三個數學量之間是對立統一的：變上限積分是不定積分所表示的原函數中的一個，而定積分則是變上限積分中的上限x在給定區間中的某一點的函數值。多元函數的二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分，盡管這些積分運算由于其積分域不同，但可以將其統一表示為∫f(M)dΩ，其表示f(M)在Ω上的黎曼積分；而格林公式建立了平面曲線積分與二重積分的聯系，高斯公式建立了曲面積分與三重積分的聯系，斯托克斯公式建立了空間曲線積分與曲面積分的聯系，它們體現了各種積分運算之間的統一美。

在解決數學問題時，最關鍵的是把原問題轉化為一個更易解決的問題，而實現轉化的依據就在于原問題及其轉化后的問題在本質上的統一，數學美的統一與和諧能透露出這方面的信息，為實現這種統一指引方向， 為發現解題方法奠定基礎。在不定積分的計算題中，湊微分法就是還原思想的運用，也是數學統一性的體現；在證明“在某個區間上，至少存在一點使某式成立”的命題中，對學生來說往往感到比較困難，解此類題的難點在于如何構造輔助函數， 應用微分中值定理求解，當學生學習了積分以后，從微分與積分的關系上來設計輔助函數，即通過尋求原函數來構造輔助函數就顯得比較簡單。通過做題，學生能體會到微分與積分之間隱蔽而深刻的內在聯系，使兩個截然對立的概念達到和諧統一，從而感受到數學的統一美。

4 奇異美。數學中的奇異美是指數學研究的形式、表述的結果，無法用任何現有理論給予解釋，它表現了數學形式、數學結論的奇異，同樣也表現了人們對數學成果所感到的奇異。在高等數學中，曲線上的奇點，微分方程的奇解，線性代數中的奇異矩陣，分析中的奇異積分等所帶給我們的美學思考，很值得研究，其中不少奇異之處恰好是最值得注意的地方。數學的奇異性還常常與數學的反例緊密地聯系在一起。例如18世紀后期的一些數學家認為，連續函數至少在某些點處可以微分，然而德國數學家魏爾斯特拉斯卻在1874年找到了一個處處連續而又處處不可微的函數f(x 其中a是奇數，0＜b＜1，ab＞1 π，這就給人以奇異感； 狄里克萊函數D（x)=1，x為有理數時0，x為無理數時 在實軸上處處有定義，但在實軸上卻處處不連續， 這使原有的積分失靈了。這種奇異現象給積分帶來了新的生機， 于是就出現了勒貝格積分等。數學中許多新的分支的誕生，往往都是人們對于數學奇異性探討的結果。由此可見，數學中的奇異現象， 可以使人們的認識深入，思想變得精細、嚴謹，亦可以使人們沖破舊的數學理論框架，對空間形式和量的關系的認識產生質的飛躍。奇異也往往伴隨數學方法的出現而出現。數學解題方法的奇異性，與文學中那種奇峰突起的“神來之筆”相似，想法奇巧、怪異，卻令人拍案叫絕，體會到一種奇特的美感。例如：在計算行列式

把第一列的元素看成兩項的和，然后把行列式拆成兩個行列式的和，問題就迎刃而解了。

因此，在數學解題教學中注入數學美的觀點，通過數學問題的解決來點撥深蘊于其中的美的因素和美的思想，可以增強學生學習數學的情趣；同時，在教學中注重美學思想的滲透，能夠幫助學生形成正確的思想方法，為解決數學問題提供依據和指導。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社，2005.

[2]課程教材研究所數學課程教材研究開發中心.數學文化[M].北京:人民教育出版社，2003.

[3]王憲昌.數學思維方法[M].北京：人民教育出版社，2002.

[4]張玉峰，孟愛紅.數學美的本質[J].數學教育學報，2006，(8).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”