構(gòu)造輔助元素在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：構(gòu)造輔助元素是構(gòu)造思想中一個(gè)很重要的分支，用此方法解題，巧妙新穎，簡(jiǎn)捷獨(dú)到，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)。構(gòu)造輔助元素可整理為構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造幾何圖形等十一類，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造輔助元素 數(shù)學(xué) 應(yīng)用

構(gòu)造思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，它是以問(wèn)題的已知元素或條件為“元件”，數(shù)學(xué)中的某些關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)建一種新的“構(gòu)造物”，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解的解題思想。其關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征適當(dāng)?shù)貥?gòu)建新的“構(gòu)造物”，而這“構(gòu)造物”的表現(xiàn)形式是多種多樣的：有的是溝通問(wèn)題條件和結(jié)論的“輔助元素”；有的是問(wèn)題的“結(jié)論”所敘述的數(shù)學(xué)對(duì)象；有的是從否定問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，而出現(xiàn)的“矛盾”；有的是符合問(wèn)題的條件，但不符合其結(jié)論的“反例”。其中，以溝通題目條件和結(jié)論為目的的構(gòu)造輔助元素的應(yīng)用最為廣泛，且其構(gòu)造獨(dú)特、方式比較多，在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題過(guò)程中顯示著令人矚目的特殊作用。

所謂構(gòu)造輔助元素就是適當(dāng)增加輔助條件，以此為中介，架起一座連接問(wèn)題的條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得到解決。數(shù)學(xué)中列方程解應(yīng)用題、幾何中添置輔助線等實(shí)際上應(yīng)用了此方法。構(gòu)造輔助元素的過(guò)程模式是：

通過(guò)構(gòu)造輔助元素求解問(wèn)題的方式常見(jiàn)的有構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造幾何變換等。下面我們將結(jié)合一些數(shù)學(xué)題目分別給予討論。

一、構(gòu)造方程

方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。在解題時(shí)，我們可通過(guò)對(duì)題意的分析，構(gòu)造出方程，應(yīng)用其理論達(dá)到解決問(wèn)題的目的，方程可以是一元的，也可以是多元的，還可以是方程組。

例1 已知b=- - c(a≠0，b≠0)。求證：b ≥4ac。

分析：本題乍看起來(lái)無(wú)從下手，由題中待證式b ≥4ac的外形結(jié)構(gòu)聯(lián)想到Δ=b -4ac≥0，再構(gòu)造一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0，b≠0)，證題途徑便初顯端倪。

以方程作為聯(lián)想出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，常見(jiàn)的有下面幾種方式：

（1）方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）；

（2）一元二次方程的判別式Δ=b -4ac；

（3）方程組的解的結(jié)構(gòu)關(guān)系，特別是適當(dāng)?shù)剡x擇自由未知量作為基本量，把其他未知量用基本量表示。

二、構(gòu)造函數(shù)

如果借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)有利于分析原始問(wèn)題時(shí)，則可根據(jù)題意構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題。構(gòu)造函數(shù)是構(gòu)造輔助元素中比較抽象的構(gòu)造性思維，應(yīng)用時(shí)除了要對(duì)問(wèn)題條件的特點(diǎn)分析之外，還要求熟悉典型的函數(shù)及其特點(diǎn)。

中聯(lián)賽試題）

分析：已知的兩個(gè)等式中既含有代數(shù)式x 和y ，又含有三角函數(shù)式sinx和sinycosy，因此要想將x與y解出很困難。仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，通過(guò)a可以將x、y聯(lián)系在一起，由題設(shè)消去a，得x +sinx=(-2y) +sin(-2y)，此式的兩邊具有相同的表現(xiàn)形式，所以，可構(gòu)造函數(shù)f(t)=t +sint。

解：設(shè)函數(shù)f(t)=t +sint，易知f(t)在[- ， ]上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，又由題設(shè)消去a得到x +sinx=(-2y) +sin(-2y)，即f(x)=f(-2y)。

由單調(diào)函數(shù)性質(zhì)知：x=-2y，這樣x+2y=0，所以cos(x+2y)=1。

三、構(gòu)造幾何圖形

當(dāng)題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系有比較明顯的幾何意義，或以某種方式與幾何圖形相聯(lián)結(jié)時(shí)，則可以根據(jù)已知條件構(gòu)造出符合要求的特殊或一般圖形，從而直觀、快速地解決問(wèn)題。

例3已知a、b、c、m、n、p均為正數(shù)，且滿足a+m=b+n=c+p=k。求證：an+bp+cm＜k 。（第21屆江蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

分析：根據(jù)“a+m=b+n=c+p=k”的信息特征，構(gòu)造出以k為邊長(zhǎng)的正三角形，并借助面積公式和圖形的性質(zhì)布列出不等式，使問(wèn)題獲得巧妙解決。

證明：構(gòu)造邊長(zhǎng)為k的正三角形ABC，在邊AB、BC、AC上分別截取一點(diǎn)D、E、F，使AD=a，BD=m，BE=c，EC=p，

構(gòu)造幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過(guò)建立坐標(biāo)系而得到的解析幾何圖形，我們常應(yīng)用的數(shù)形結(jié)合思想中代數(shù)問(wèn)題通過(guò)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的方式也可視為構(gòu)造幾何圖形內(nèi)容。

四、構(gòu)造幾何變換

如果幾何問(wèn)題的已知條件和結(jié)論比較分散，此時(shí)可通過(guò)反射、旋轉(zhuǎn)、平移、相似等幾何變換，將其中某些部分移到新的位置，使原來(lái)聯(lián)系不密切的圖形聚集在一起產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問(wèn)題解決。

例4 △ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，D為斜邊BC上任一點(diǎn)，求證： 。

分析：這是平方和的問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)AD、BD、CD比較分散，彼此關(guān)系不明顯。我們可使AD、BD、CD歸于某一個(gè)三角形中。

證明：將△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)B落在點(diǎn)C，點(diǎn)D落在點(diǎn)E。連結(jié)AE、CE、DE。

易知CE=BD，AE=AD，∠ACE=∠B，

則△ADE為直角三角形，

五、構(gòu)造方差

六、構(gòu)造向量

向量的內(nèi)積在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。根據(jù)題目所給的條件和結(jié)論，構(gòu)造向量，并利用向量?jī)?nèi)積去證明，方法簡(jiǎn)單易行。

七、構(gòu)造數(shù)列

由已知條件分析，若其某些特征與數(shù)列的通項(xiàng)、求和、中項(xiàng)等公式相似時(shí)，可構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)列求解。另外，在研究某些數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如果僅僅對(duì)原數(shù)列周旋，問(wèn)題會(huì)孤立無(wú)援，但適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一個(gè)新數(shù)列，通過(guò)新舊數(shù)列之間的關(guān)系，問(wèn)題就會(huì)得解。

分析：由已知數(shù)列構(gòu)造新的數(shù)列，在高考試卷里經(jīng)常出現(xiàn)，這里將兩數(shù)列相除，構(gòu)造兩個(gè)新數(shù)列，利用比較原理進(jìn)行證明。

八、構(gòu)造錯(cuò)排模式

錯(cuò)排問(wèn)題：n個(gè)數(shù)，分別為1，2，3，…，n，排成一個(gè)長(zhǎng)度為n的排列。若每一個(gè)數(shù)的位置都與數(shù)的本身不相等，則稱這個(gè)排列是一個(gè)錯(cuò)排。例如，n=3，則錯(cuò)排有231，312。

設(shè)f(n)是n個(gè)數(shù)的錯(cuò)排個(gè)數(shù)，則f(1)=0，f(2)=1，

f(n)=(n-1)·f(n-1)+(n-1)·f(n-2)(n＞2)。

例8 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后，每人從中拿出一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（1993年全國(guó)高考實(shí)驗(yàn)卷）。

解：將四張賀年卡分別編號(hào)為1，2，3，4。四人視為位置，這樣，問(wèn)題就可看成1～4的錯(cuò)排，所以

f(4)=(4-1)·f(3)+(4-1)·f(2)=3f(3)+3f(2)，

∴f(3)=2f(2)+2f(1)=2+0=2，∴f(4)=3×2+3×1=9。

∴四張賀年卡不同的分配方式有9種。

九、構(gòu)造行列式

行列式是重要的數(shù)學(xué)工具，元素是字母的行列式實(shí)際上是一個(gè)多項(xiàng)式。對(duì)稱多項(xiàng)式或輪換多項(xiàng)式往往可以應(yīng)用相應(yīng)的行列式來(lái)表示，因此可以構(gòu)造行列式。

十、構(gòu)造概率

概率是數(shù)學(xué)的重要概念，構(gòu)造概率就是應(yīng)用數(shù)學(xué)概率原理來(lái)解題的策略。

十一、構(gòu)造輔助表

若研究的問(wèn)題涉及兩個(gè)集合的元素間對(duì)應(yīng)關(guān)系，可編制有兩個(gè)表頭的表格，每個(gè)表頭對(duì)應(yīng)一個(gè)集合，使表頭的格與集合的元素相對(duì)應(yīng)，表中的任一格都表示取自這兩個(gè)集合的兩元素組成的元素對(duì)，格中填寫與此元素對(duì)有關(guān)的數(shù)據(jù)或關(guān)系，然后再利用制成的表格進(jìn)行分析、研究。表格本身具有邏輯結(jié)構(gòu)，往往能使問(wèn)題的邏輯關(guān)系直觀而簡(jiǎn)明地顯現(xiàn)出來(lái)，提供程序性操作的機(jī)會(huì)。

例11 21個(gè)女孩和21個(gè)男孩參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽

（1）每個(gè)參賽者至多解出了6道題；

（2）對(duì)于每一個(gè)女孩和每一個(gè)男孩，至少有一道題被這一對(duì)孩子都解出。

證明：有一道題至少有3個(gè)女孩和至少3個(gè)男孩都解出。（第42屆IMO試題）

證明：作一張21×21關(guān)聯(lián)表，每行代表一個(gè)男孩b (1≤i≤21)，每列代表一個(gè)女孩g (1≤i≤21)，格子(i，j)（表示第i行、第j列的格子）中填入b 與g 共同解出的一道題的序號(hào)（由（2）知必有這種題目，若不止一道，可任意選定一道），由（1）知，每行填入的21個(gè)序號(hào)至多有6種不同，故出現(xiàn)3次（或更多）的序號(hào)的總次數(shù)不少于21-2×5=11，將這些格子染上紅色，全表共有至少11×21個(gè)格子被染上紅色，同理，將每列中出現(xiàn)3次（或更多）的序號(hào)所在的格子染上藍(lán)色，全表共有至少11×21個(gè)藍(lán)格子，由于11×21+11×21=22×21＞21×21，故必有一個(gè)格子同時(shí)被染上紅色和藍(lán)色，這個(gè)格子所填序號(hào)的題目就滿足了要求。

通過(guò)對(duì)以上這些方面的探討，給人深刻的思想啟示：

（1）構(gòu)造輔助元素在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中起到化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和橋梁的作用；

（2）用構(gòu)造輔助元素解決問(wèn)題，可以使數(shù)學(xué)各分支知識(shí)互相滲透，有利于提高分析和解決問(wèn)題的能力；

（3）數(shù)學(xué)各分支知識(shí)為構(gòu)造輔助元素提供了廣闊而豐富的背景。

要想運(yùn)用好構(gòu)造輔助元素這種方法，應(yīng)全面深入分析問(wèn)題的特點(diǎn)、條件間的關(guān)系以及條件與結(jié)論之間的關(guān)系，挖掘問(wèn)題的寓意，明確問(wèn)題所涉及的知識(shí)領(lǐng)域；同時(shí)必須廣開(kāi)思路，廣泛聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，采用發(fā)散思維、逆向思維等創(chuàng)造性思維方法，尋求欲構(gòu)造的輔助元素。若教師在教學(xué)中能適當(dāng)?shù)貙?duì)其加以介紹，并加強(qiáng)解題訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)素質(zhì)的全面提高會(huì)有意想不到的功效。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”