數與式的區別與聯系

摘 要：在初中階段所學過的“實數（集）”和“代數式（集）”之間既有聯系又有區別。文章分析、對比了“式”與“數”概念與運算上的區別與聯系。

關鍵詞：式 數 聯系 區別

在初中階段所學過的這些“數（集）”和“式（集）”之間既有區別又有聯系，搞清這些區別與聯系對學生以后的繼續學習十分有利。

一、“式”與“數”概念上的區別與聯系

在初中階段，對于“數”的學習擴展到了實數的范圍，而對于“式”的學習則學到了代數式的范圍內，以下的比較正是在這兩個集合間進行的。

（一）定義上的比較

在教科書上，代數式的定義是通過列舉實例描述的。其實，用以下語言描述更完整：

用運算符號（+、－、×、÷、乘方和開方）把數和表示數的字母連接而成的式子叫做代數式，單獨一個數字或字母也是代數式。

由此可見，“數”是代數式中的一部分，凡是“數”（指實數）一定是代數式，且屬于整式的范圍。然而，在整式中不僅包含著實數，還包含有表示實數的字母。關于代數式的概念須強調兩點：

1. 代數式中的字母只能表示數，否則不行，如：在sinα中的各個字母s、i和n并不表示數，所以它不是代數式。

2. 代數式中只能含有＋、－、×、÷、乘方和開方運算，我們把這六種運算稱之為“代數運算”。

(二)兩個集合中主要概念的比較

雖然現行的初中教材不提所謂“無理式”的概念，但以后總是要學到的，為了便于現在的比較，幫助大家更加深刻地理解相關概念，我們提前補上“無理式”，于是，實數系和代數式體系分別如下所示：

實數有理數整數分數?搖無理數?搖?搖代數式有理式整式分式?搖無理式

它們之間的對應概念對照如下表：

由上可見：

1.所有實數都屬于整式；如圖1

2.分式和分數都表示除法運算，但分式比分數的分母中多了字母；

3.無理式與無理數之間不存在任何聯系。無理數是特殊的小數，其小數部分“無限不循環”；無理式是一種開方運算，強調“被開方數中含有字母”。

二、“式”與“數”運算上的區別與聯系

（一）整式運算與整數運算的比較

任意兩個或多個整式可以像整數那樣相加減，不過更習慣于稱為“合并同類項”。

任意兩個或多個整式可以像整數那樣相乘或乘方，且單項式與多項式相乘的各種情況，與乘法的運算律是統一的，如：滿足交換律、結合律、分配律等。

兩個整式可以做除法，與數的除法的要求一樣，分母不得為0，分三種情景：

（1）單項式÷單項式；

（2）多項式÷單項式；

（3）多項式÷多項式（現行的義務教育階段數學課程標準及課本不介紹）。

整式可以像整數的“分解質因數”那樣“分解因式”，方法多，技巧性強，這是數學中的重要運算，一定要熟練掌握。

（二）分式運算與分數運算的比較

分式可以像分數那樣約分或通分，所注意的是：分子、分母同乘（或除）以的式子不得為0。

兩個分式可以像分數那樣進行加、減、乘、除，且方法相同。

（三）有理式運算與有理數運算的比較

有理數的運算就是在整數和分數之間的加、減、乘、除、乘方和開方運算；有理式的運算則是在整式和分式之間的加、減、乘、除、乘方和開方運算。其運算的法則及運算律以上已經做出了歸納。

在混合運算上，有理式的運算次序規定與有理數完全相同，都是要先算乘方、開方，再算乘除，后算加減；有括號時先算括號內的；同級運算要從左到右。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”