中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的常見模型舉例

摘要：數(shù)學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。而巧構(gòu)數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)解題中的一把金鑰匙，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維的一個(gè)有效途徑。本文結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)就對(duì)數(shù)學(xué)模型的含義及應(yīng)用談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)粗淺體會(huì)。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；模型；舉例

1 引言

應(yīng)該說(shuō)，我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是一種“目標(biāo)教學(xué)”。一方面，我們一直想教給學(xué)生有用的數(shù)學(xué)，但學(xué)生高中畢業(yè)后如不攻讀數(shù)學(xué)專業(yè)，就覺得數(shù)學(xué)除了高考拿分外別無(wú)它用；另一方面，我們的“類型+方法”的教學(xué)方式的確是提高了學(xué)生的應(yīng)試“能力”，但是學(xué)生一旦碰到陌生的題型或者聯(lián)系實(shí)際的問題卻又不會(huì)用數(shù)學(xué)的方法去解決它。大部分同學(xué)學(xué)了十二年的數(shù)學(xué)，卻沒有起碼的數(shù)學(xué)思維，更不用說(shuō)用創(chuàng)造性的思維自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題了。由此看來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的矛盾顯得特別尖銳。

加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是在這種教學(xué)現(xiàn)狀下提出來(lái)的。“無(wú)論從教育、科學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，還是從社會(huì)和文化的觀點(diǎn)來(lái)看，這些方面（數(shù)學(xué)應(yīng)用、模型和建模）都已被廣泛地認(rèn)為是決定性的、重要的”。我國(guó)普通高中新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中也明確提出要“切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力”，要求“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會(huì)把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索、猜測(cè)、判斷、證明、運(yùn)算、檢驗(yàn)，使問題得到解決”。這些要求不僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，也是社會(huì)發(fā)展的需要。因?yàn)槲覀兊臄?shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)而且要提高學(xué)生的思維能力，要培養(yǎng)學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去考慮和處理日常生活、生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)，造就一代具有探索新知識(shí)、新方法的創(chuàng)造性思維能力的新人。

2 模型的含義

所謂數(shù)學(xué)模型，就是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型為了某種目的而作的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是使用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子及數(shù)量關(guān)系對(duì)原型作的一種簡(jiǎn)化而本質(zhì)的刻畫，比如方程、函數(shù)、不等式等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。其模型的構(gòu)建過程包括：

(1) 分析問題，了解問題的實(shí)際背景知識(shí)，挖掘問題中的隱藏條件；

(2) 假設(shè)簡(jiǎn)化，根據(jù)問題的特征和目的，對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述；

(3) 建立模型，在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系，建立其相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；

(4) 求解并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢?duì)模型進(jìn)行求解，并將模型結(jié)果與實(shí)際情形相比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性；

（5）分析，在驗(yàn)證準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上對(duì)計(jì)算的結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。

具體地講，數(shù)學(xué)模型方法的操作程序大致上為：

實(shí)際問題→分析抽象→建立模型→數(shù)學(xué)問題

↑↓

檢驗(yàn) ← 實(shí)際解 ← 釋譯 ←數(shù)學(xué)解

3 常見模型的應(yīng)用舉例

3.1 代數(shù)模型

在解數(shù)學(xué)題的過程中，我們可以根據(jù)原題的題設(shè)條件，構(gòu)造一個(gè)與之相似的問題來(lái)進(jìn)行考察，這個(gè)新問題就稱之為問題的模型，通過解決這個(gè)模型來(lái)解決原問題或發(fā)現(xiàn)解題方法。現(xiàn)將中學(xué)數(shù)學(xué)最常見的代數(shù)模型列舉如下：

3.1.1 方程模型

如果問題含有較多的未知關(guān)系，我們可以從多方面思考問題，利用題設(shè)條件巧妙構(gòu)建方程模型，可使問題獲得簡(jiǎn)潔明了的解答。

例 某班舉行趣味數(shù)學(xué)主題班會(huì)，輔導(dǎo)員小林首次發(fā)言，他說(shuō)，到2000年我的出生年份的數(shù)字之和恰巧等于我到2000年的年齡。請(qǐng)問小林出生在哪一年？到2000年小林幾歲？

經(jīng)過分析、比較，離開原有的思維軌道，從多方面思考問題，進(jìn)行思維變通。根據(jù)題意，建立方程模型：

解：設(shè)小林出生年份為19xy，即出生年份的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y。則可列出方程：2000-(1000+900+10x+y)=1+9+x+y

化簡(jiǎn)得：11x+2y=0。

如果按照常規(guī)思維，方程有無(wú)數(shù)組解，就無(wú)法確定具體的出生年份。這時(shí)，作如下思維變通，可得到解答：出生年份的十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字均為小于10的正整數(shù)，且x為偶數(shù)，取x=0，2，4，6，8代入即得解x=8y=1，故小林出生于1981年，到2000年小林19歲。

3.1.2 不等式模型

如果問題的形式和我們學(xué)過的不等式形式相類似，可以利用該形式建立不等式模型，往往可使問題化難為易。

例 求方程(x2+1)(y2+2)(z2+8)=32x·y·z的一切實(shí)數(shù)解。

3.1.3 函數(shù)模型

有時(shí)為了問題簡(jiǎn)化可以巧妙地建立函數(shù)模型，尤其是對(duì)于最值問題，等式的證明問題我們可以將其巧妙地轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的二次函數(shù)，可使問題迎刃而解。

例 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬(wàn)元，經(jīng)預(yù)測(cè)知，市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時(shí)，銷售所得的收入約為 （萬(wàn)元）。

（1） 若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（單位：百件，x>0），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為當(dāng)年產(chǎn)量的x函數(shù)。

（2） 當(dāng)該公司的年產(chǎn)量多大時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大？

（3） 當(dāng)該公司這種產(chǎn)品產(chǎn)量多大時(shí)，當(dāng)年不會(huì)虧本？（取

生產(chǎn)及銷售問題是我們生活中的最常見的問題，如何保本及如何取得最大利潤(rùn)，是生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者最關(guān)心的問題，此問題的提出，學(xué)生較為熟悉。那么，我們?nèi)绾螌⑦@個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題呢？數(shù)學(xué)建模如下：

分析：此題的數(shù)學(xué)模型為：年純利潤(rùn)=銷售收入-成本。只要分別將銷售收入和成本求出，此題即得解。

（1） 設(shè)該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y，當(dāng)年產(chǎn)量為x時(shí)：

②x>5時(shí)，銷售量為500件，銷售收入為5×5-0.5×52=12.5（萬(wàn)元），成本為0.25x+0.5（萬(wàn)元）。∴y=12.5-(0.25x+0.5)=12-0.25x。

綜合上述，得函數(shù)為y=-0.5x2+4.75x-0.5，05

（2）將實(shí)際問題語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，求年利潤(rùn)最大，即求函數(shù)最大值。

分段求解如下：

① 0

10.78125

當(dāng)x=4.75時(shí)，即生產(chǎn)量為475件時(shí)，年利潤(rùn)最大，為10.78125（萬(wàn)元）。

② x>5時(shí)，y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75

∵10.78125>10.75

∴當(dāng)x=4.75時(shí)，即生產(chǎn)量為475件時(shí)，年利潤(rùn)最大，為10.78125（萬(wàn)元）。

（3）將實(shí)際問題語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，不會(huì)虧本，即年利潤(rùn)y?叟0。

① 0

∴ 0.1?燮x?燮5

②x>5時(shí)，y=12-0.25，x?叟0

∴5

綜合上述，當(dāng)生產(chǎn)量在10～4800件時(shí)，生產(chǎn)不會(huì)虧本。

3.1.4 數(shù)列模型

例紅星農(nóng)場(chǎng)原有林地a公頃，由于重視植樹造林，綠化河山，保護(hù)環(huán)境，預(yù)計(jì)第1年林地面積增加200%，以后每一年增長(zhǎng)率是前一年增長(zhǎng)率的一半。同時(shí)，每年砍伐木材損失林地占當(dāng)年林地面積的10%。試問：該林場(chǎng)的林地面積是否是逐年增加的？若是，給出證明；若否，從哪一年起林地面積開始下降？

分析：假設(shè)逐年林地面積依次為：

第1年：a(1+200%)×0.9，

第2年：a(1+200%)（1+100%）×0.92，

于是，便產(chǎn)生了這樣的直覺判斷：每年擁有的林地面積構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。通過觀察、分析、類比，表明解決問題的關(guān)鍵在于直覺感知該數(shù)列的特征及內(nèi)在聯(lián)系。

從a1，a2，a3，…直到ak，每年新增林地在增加，但因砍伐而使林地面積減少的量也在增加，當(dāng)減少的量與新增量相等時(shí)，林地面積處于平衡狀態(tài)。一旦砍伐量超過新增量時(shí)，林地面積就開始下降。顯而易見，該問題是一個(gè)數(shù)列問題，可建立數(shù)學(xué)模型。只要找出數(shù)列的通項(xiàng)公式an，比較an與an-1的大小即可知道哪一年林地面積開始減少。

3.2 幾何模型

有時(shí)我們?cè)诮忸}的過程中，對(duì)于一些難理解的題目我們可以根據(jù)原題的題設(shè)條件巧妙地構(gòu)建與之相吻合的圖形模型。可使問題大大簡(jiǎn)化、一目了然。現(xiàn)將中學(xué)數(shù)學(xué)最常見的幾何模型列舉如下：

3.2.1 圖形模型

通過題設(shè)關(guān)系構(gòu)造圖像模型，結(jié)合圖像直觀地解決問題。

例求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值。

解：原式可變形為sin210°+cos240°-2sin10°sin50°cos120°，它的結(jié)構(gòu)與形狀和三角形的余弦定理相似，所以，我們也可以構(gòu)造如圖1所示的圖形模型。由余弦定理和正弦定理得：sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC。

因?yàn)锳＝10°，B＝50°，C＝120°，

所以sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°＝sin120°。

這種方法避免了和差化積、積化和差等知識(shí)，僅用到熟知的正、余弦定理，可謂是駕輕就熟，別出心裁，使學(xué)生能真正體會(huì)到模型的作用之所在。

3.2.2 曲線模型

根據(jù)題設(shè)條件及數(shù)量特征，巧建曲線模型，利用曲線的知識(shí)使所給問題在模型的輔助下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決。

例設(shè)a，b，c，d∈R+，其中a最大且ad=bc，求證：a+c>b+d。

分析：a，b，c，d∈R+，其中a最大且ad=bc，這一結(jié)論類似于圓冪定理的結(jié)論，所以，我們可以通過構(gòu)造圓的模型進(jìn)行證明。

證明：如圖2取線段AC=a，在AC上取AB=d，以BC為直徑作圓，不妨設(shè)b?叟c，作割線AD=b，交于圓E，作OF⊥ED于F，由切割線定理和已知等式易證AE=c。

故不等式a+c>b+d得到了證明。

總之，中學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，它不僅注重學(xué)生能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，還能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。為此，在實(shí)際教學(xué)中我們應(yīng)該進(jìn)一步探索，運(yùn)用各種思維方式大膽創(chuàng)新與實(shí)驗(yàn)，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)未來(lái)社會(huì)的適應(yīng)能力。

參考文獻(xiàn)：

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[2]翟連林，姚正安.數(shù)學(xué)分析方法論[M]. 北京：北京農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，1992.

(甘肅通渭縣李店中學(xué))