中學數學建模中的常見模型舉例

摘要：數學的核心任務是培養學生的思維能力和創新意識。而巧構數學模型是解決數學問題的一種重要方法，也是數學解題中的一把金鑰匙，更是培養學生創造思維的一個有效途徑。本文結合自己的學習和教學經驗就對數學模型的含義及應用談談自己的一點粗淺體會。

關鍵詞：中學數學；模型；舉例

1 引言

應該說，我們的中學數學教學是一種“目標教學”。一方面，我們一直想教給學生有用的數學，但學生高中畢業后如不攻讀數學專業，就覺得數學除了高考拿分外別無它用；另一方面，我們的“類型+方法”的教學方式的確是提高了學生的應試“能力”，但是學生一旦碰到陌生的題型或者聯系實際的問題卻又不會用數學的方法去解決它。大部分同學學了十二年的數學，卻沒有起碼的數學思維，更不用說用創造性的思維自己去發現問題，解決問題了。由此看來，中學數學教與學的矛盾顯得特別尖銳。

加強中學數學建模教學正是在這種教學現狀下提出來的。“無論從教育、科學的觀點來看，還是從社會和文化的觀點來看，這些方面（數學應用、模型和建模）都已被廣泛地認為是決定性的、重要的”。我國普通高中新的數學教學大綱中也明確提出要“切實培養學生解決實際問題的能力”，要求“增強用數學的意識，能初步運用數學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結為數學模型，然后運用數學方法進行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗，使問題得到解決”。這些要求不僅符合數學本身發展的需要，也是社會發展的需要。因為我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識而且要提高學生的思維能力，要培養學生自覺地運用數學知識去考慮和處理日常生活、生產中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質，造就一代具有探索新知識、新方法的創造性思維能力的新人。

2 模型的含義

所謂數學模型，就是對現實原型為了某種目的而作的抽象、簡化的數學結構，它是使用數學符號、數學式子及數量關系對原型作的一種簡化而本質的刻畫，比如方程、函數、不等式等概念都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型。其模型的構建過程包括：

(1) 分析問題，了解問題的實際背景知識，挖掘問題中的隱藏條件；

(2) 假設簡化，根據問題的特征和目的，對問題進行簡化，并用精確的數學語言來描述；

(3) 建立模型，在假設的基礎上，利用適當的數學工具、數學知識來刻畫變量之間的數量關系，建立其相應的數學結構；

(4) 求解并檢驗模型，對模型進行求解，并將模型結果與實際情形相比較，以此來驗證模型的準確性；

（5）分析，在驗證準確的基礎上對計算的結果給出其實際含義，并進行解釋。

具體地講，數學模型方法的操作程序大致上為：

實際問題→分析抽象→建立模型→數學問題

↑↓

檢驗 ← 實際解 ← 釋譯 ←數學解

3 常見模型的應用舉例

3.1 代數模型

在解數學題的過程中，我們可以根據原題的題設條件，構造一個與之相似的問題來進行考察，這個新問題就稱之為問題的模型，通過解決這個模型來解決原問題或發現解題方法。現將中學數學最常見的代數模型列舉如下：

3.1.1 方程模型

如果問題含有較多的未知關系，我們可以從多方面思考問題，利用題設條件巧妙構建方程模型，可使問題獲得簡潔明了的解答。

例 某班舉行趣味數學主題班會，輔導員小林首次發言，他說，到2000年我的出生年份的數字之和恰巧等于我到2000年的年齡。請問小林出生在哪一年？到2000年小林幾歲？

經過分析、比較，離開原有的思維軌道，從多方面思考問題，進行思維變通。根據題意，建立方程模型：

解：設小林出生年份為19xy，即出生年份的十位數字為x，個位數字為y。則可列出方程：2000-(1000+900+10x+y)=1+9+x+y

化簡得：11x+2y=0。

如果按照常規思維，方程有無數組解，就無法確定具體的出生年份。這時，作如下思維變通，可得到解答：出生年份的十位數字、個位數字均為小于10的正整數，且x為偶數，取x=0，2，4，6，8代入即得解x=8y=1，故小林出生于1981年，到2000年小林19歲。

3.1.2 不等式模型

如果問題的形式和我們學過的不等式形式相類似，可以利用該形式建立不等式模型，往往可使問題化難為易。

例 求方程(x2+1)(y2+2)(z2+8)=32x·y·z的一切實數解。

3.1.3 函數模型

有時為了問題簡化可以巧妙地建立函數模型，尤其是對于最值問題，等式的證明問題我們可以將其巧妙地轉化成我們學過的二次函數，可使問題迎刃而解。

例 某公司生產一種產品每年投入固定成本0.5萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投資0.25萬元，經預測知，市場對這種產品的年需求量為500件，且當出售的這種產品的數量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為 （萬元）。

（1） 若該公司這種產品的年產量為x（單位：百件，x>0），試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤為當年產量的x函數。

（2） 當該公司的年產量多大時，當年所得利潤最大？

（3） 當該公司這種產品產量多大時，當年不會虧本？（取

生產及銷售問題是我們生活中的最常見的問題，如何保本及如何取得最大利潤，是生產經營者最關心的問題，此問題的提出，學生較為熟悉。那么，我們如何將這個問題轉化為數學問題呢？數學建模如下：

分析：此題的數學模型為：年純利潤=銷售收入-成本。只要分別將銷售收入和成本求出，此題即得解。

（1） 設該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤為y，當年產量為x時：

②x>5時，銷售量為500件，銷售收入為5×5-0.5×52=12.5（萬元），成本為0.25x+0.5（萬元）。∴y=12.5-(0.25x+0.5)=12-0.25x。

綜合上述，得函數為y=-0.5x2+4.75x-0.5，05

（2）將實際問題語言轉化為數學語言，求年利潤最大，即求函數最大值。

分段求解如下：

① 0

10.78125

當x=4.75時，即生產量為475件時，年利潤最大，為10.78125（萬元）。

② x>5時，y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75

∵10.78125>10.75

∴當x=4.75時，即生產量為475件時，年利潤最大，為10.78125（萬元）。

（3）將實際問題語言轉化為數學語言，不會虧本，即年利潤y?叟0。

① 0

∴ 0.1?燮x?燮5

②x>5時，y=12-0.25，x?叟0

∴5

綜合上述，當生產量在10～4800件時，生產不會虧本。

3.1.4 數列模型

例紅星農場原有林地a公頃，由于重視植樹造林，綠化河山，保護環境，預計第1年林地面積增加200%，以后每一年增長率是前一年增長率的一半。同時，每年砍伐木材損失林地占當年林地面積的10%。試問：該林場的林地面積是否是逐年增加的？若是，給出證明；若否，從哪一年起林地面積開始下降？

分析：假設逐年林地面積依次為：

第1年：a(1+200%)×0.9，

第2年：a(1+200%)（1+100%）×0.92，

于是，便產生了這樣的直覺判斷：每年擁有的林地面積構成一個數列。通過觀察、分析、類比，表明解決問題的關鍵在于直覺感知該數列的特征及內在聯系。

從a1，a2，a3，…直到ak，每年新增林地在增加，但因砍伐而使林地面積減少的量也在增加，當減少的量與新增量相等時，林地面積處于平衡狀態。一旦砍伐量超過新增量時，林地面積就開始下降。顯而易見，該問題是一個數列問題，可建立數學模型。只要找出數列的通項公式an，比較an與an-1的大小即可知道哪一年林地面積開始減少。

3.2 幾何模型

有時我們在解題的過程中，對于一些難理解的題目我們可以根據原題的題設條件巧妙地構建與之相吻合的圖形模型。可使問題大大簡化、一目了然。現將中學數學最常見的幾何模型列舉如下：

3.2.1 圖形模型

通過題設關系構造圖像模型，結合圖像直觀地解決問題。

例求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值。

解：原式可變形為sin210°+cos240°-2sin10°sin50°cos120°，它的結構與形狀和三角形的余弦定理相似，所以，我們也可以構造如圖1所示的圖形模型。由余弦定理和正弦定理得：sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC。

因為A＝10°，B＝50°，C＝120°，

所以sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°＝sin120°。

這種方法避免了和差化積、積化和差等知識，僅用到熟知的正、余弦定理，可謂是駕輕就熟，別出心裁，使學生能真正體會到模型的作用之所在。

3.2.2 曲線模型

根據題設條件及數量特征，巧建曲線模型，利用曲線的知識使所給問題在模型的輔助下實現轉化，從而使問題獲得解決。

例設a，b，c，d∈R+，其中a最大且ad=bc，求證：a+c>b+d。

分析：a，b，c，d∈R+，其中a最大且ad=bc，這一結論類似于圓冪定理的結論，所以，我們可以通過構造圓的模型進行證明。

證明：如圖2取線段AC=a，在AC上取AB=d，以BC為直徑作圓，不妨設b?叟c，作割線AD=b，交于圓E，作OF⊥ED于F，由切割線定理和已知等式易證AE=c。

故不等式a+c>b+d得到了證明。

總之，中學數學模型的建立是高中數學的重點，也是難點，它不僅注重學生能力的培養和訓練，還能提高學生對數學知識的應用。為此，在實際教學中我們應該進一步探索，運用各種思維方式大膽創新與實驗，發展和培養學生應用數學知識的能力，以促進學生對未來社會的適應能力。

參考文獻：

[1]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]翟連林，姚正安.數學分析方法論[M]. 北京：北京農業大學出版社，1992.

(甘肅通渭縣李店中學)