２００７年浙江省高等數學（微積分）競賽試題評析

摘要：本文評析了2007年浙江省高等數學微積分競賽試題中的一些典型題目，以饗讀者。

關鍵詞：高等教學評析 微積分競賽試題

2007年浙江省高等數學（微積分）競賽試題結構嚴格執行《考試大綱》的規定和要求，較全面地考查了學生的微積分基礎知識、方法和技能，重點突出地考查了不定積分的湊微分法（第一題第1小題）、用等價無窮小代換求函數極限（第一題第2小題）、參數方程求導、變上限函數求導數（第一題第4小題）、高階導數（第三大題）及函數的極值（第二大題），重點考查了學生對知識的理解、靈活運用程度，同時也考查了學生對所學知識應用于實際的能力（第五大題）以及考慮問題的全面性和對問題的等價轉化能力等等。本考試的成績能較真實地反映選手們的數學思維能力、邏輯思維能力以及處事的嚴謹性和有序性。本文就一些典型題目進行評析如下。

例1（第一大題第3小題）求p的值，使

。

解析：要使定積分等于零，一種情況是被積函數在積分區間上恒為零（此題不成立），一種情況是利用定積分的幾何意義，定積分∫f(x)dx表示的是曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，以及x軸圍成的圖形面積的代數和。本題利用換元法令x+p=t，得原方程等價于∫t e dt=0，顯然被積函數f(t)=t e 的零點唯一（t=0），且為奇函數，故本題要使積分為0就只可能要滿足積分區間關于原點對稱，即a+p=-(b+p)，解得p=- 為所求。

評注：此題難度適中，主要考查了學生對定積分幾何意義的理解，函數奇偶性，以及寂靜積分的換元法的掌握程度，同時本題也能考查出學生對知識的理解與靈活運用程度。

例2（第二大題）設函數f(x)滿足方程，e f(x)+2e f(π-x)=3sinx，x∈R，求f(x)的極值。

解析：這種類型題一般是先求出f(x)的表達式，然后再求它的極值。本題也不例外，對原方程中x換成π-x就能得到另外一個新方程，通過對已知方程和新方程的聯立求解，就能求出f(x)= ，為可導函數，然后按常規的求解極值的辦法，先求出f(x)的一、二階導數，f′(x)= ，f″(x)=- ，然后令f′(x)=0求出駐點，x =kπ+ ，k∈Z，而f″（x ）的符號取決于k的奇偶性，分兩種情況討論就能判別出極值點的類型，并求出相應的極值（留給讀者自己完成）。

評注：此題從題目來看，題型直觀明了，但求解過程完整還是需要學生對各個知識點較熟悉，且考慮問題也得全面，如駐點有無窮多個，即為x=kπ+ ，容易給學生造成誤區，只寫出x= 或x=2kπ+ 的情形。

例3（第三大題）設f(x)= ，求f (x)。

解析：本題是對一個有理分式求高階導數，分母為二次函數且可因式分解為一次式的乘積。而我們知道g(x)= 這種類型的函數高階導數是易求的。本題可以采用先利用多項式除法，將原分式分解成一個多項式和一個真分式之和，然后將真分式分解成兩個類似于g(x)的部分分式之和，即f(x)=x+2+ =x+2+ ( + )。

評注：本題考查了學生對有理分式中假分式分解能力以及g(x)= 這種類型的函數的高階求導。

例4（第六大題）已知y=f(x)是[0，1]上二階可導函數，且f(0)= ，f(1)=1，f′(1)＞1，證明：?堝ξ∈（0，1），使得f′(ξ)=1。

解析：此題要證?∈（0，1），使得f′(ξ)=1，而題中已知了f′(1)＞1，又由y=f(x)是[0，1]上二階可導函數知，y=f(x)的一階導數是連續的。我們只要能證明c∈（0，1），使f′(c)＜1，就能利用連續函數的介值定理證得結論成立。事實上，由f(0)= ，f(1)=1，及拉格朗日定理知，?堝c∈（0，1），使得f′(c)= = 成立。

評注：本題考查了學生對拉格朗日定理及介值定理的綜合應用。這類證明題還是在2003年中出現過的。

高等數學（微積分）對文科和大專的學生來說，一直是一門學習難度較大的科目，一般教師把教學重點放在對基本概念的理解以及一些簡單應用上，對于較復雜的計算和邏輯證明是不做要求的。而由省研究會主辦的高等數學競賽就提高了一些數學愛好者們對數學學習的興趣和積極性，他們在課余也會自學一些高等數學，討論一些數學問題，加深了對數學概念的理解和一些常用定理的應用證明，但是證明題仍然是他們的薄弱環節，這樣的競賽就考查出了學生對數學的一種自學能力。

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